Асимптотически плоское пространство-время

Асимптотически плоское пространство-время — это лоренцево многообразие , в котором, грубо говоря, кривизна исчезает на больших расстояниях от некоторой области, так что на больших расстояниях геометрия становится неотличимой от геометрии пространства-времени Минковского .

Хотя это понятие имеет смысл для любого лоренцева многообразия, оно чаще всего применяется к пространству-времени , являющемуся решением уравнений поля некоторой метрической теории гравитации , особенно общей теории относительности . В этом случае мы можем сказать, что асимптотически плоское пространство-время — это такое пространство, в котором гравитационное поле , а также любая материя или другие поля, которые могут присутствовать, становятся незначительными по величине на больших расстояниях от некоторой области. В частности, в асимптотически плоском вакуумном решении гравитационное поле (кривизна) становится незначительным на больших расстояниях от источника поля (обычно это какой-то изолированный массивный объект, например звезда).

значение

Условие асимптотической плоскостности аналогично аналогичным условиям в математике и других физических теориях. Такие условия говорят, что некоторое физическое поле или математическая функция асимптотически исчезает в подходящем смысле.

В общей теории относительности асимптотически плоское вакуумное решение моделирует внешнее гравитационное поле изолированного массивного объекта. Поэтому такое пространство-время можно рассматривать как изолированную систему : систему, в которой внешними влияниями можно пренебречь . Действительно, физики редко представляют вселенную, содержащую одну-единственную звезду и ничего больше, когда строят асимптотически плоскую модель звезды. Скорее, они заинтересованы в моделировании внутренней части звезды вместе с внешней областью, в которой гравитационными эффектами из-за присутствия других объектов можно пренебречь. Поскольку типичные расстояния между астрофизическими телами, как правило, намного превышают диаметр каждого тела, нам часто удается избежать этой идеализации, которая обычно помогает значительно упростить построение и анализ решений.

Формальные определения

Многообразие $M$ асимптотически проста, если допускает конформную компактификацию ${\tilde {M}}$ такая, что каждая нулевая геодезическая в $M$ имеет будущие и прошлые конечные точки на границе ${\tilde {M}}$.

Поскольку последнее исключает черные дыры, слабо асимптотически простое многообразие определяется как многообразие $M$ с открытым набором $U\subset M$ изометрична окрестности границы ${\tilde {M}}$, где ${\tilde {M}}$ является конформной компактификацией некоторого асимптотически простого многообразия.

Многообразие называется асимптотически плоским, если оно слабо асимптотически просто и асимптотически пусто в том смысле, что его тензор Риччи обращается в нуль в окрестности границы многообразия. ${\tilde {M}}$.

Некоторые примеры и непримеры

Только пространство-время, моделирующее изолированный объект, асимптотически плоское. Многие другие знакомые точные решения, такие как модели FRW , таковыми не являются.

Простым примером асимптотически плоского пространства-времени является метрическое решение Шварцшильда . В более общем смысле метрика Керра также асимптотически плоская. Но другое хорошо известное обобщение вакуума Шварцшильда — пространство Тауба–НУТ — не является асимптотически плоским. Еще более простое обобщение, метрическое решение де Ситтера-Шварцшильда , которое моделирует сферически симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера , является примером асимптотически простого пространства-времени, которое не является асимптотически плоским.

С другой стороны, существуют важные большие семейства решений, которые являются асимптотически плоскими, такие как метрики А.Ф. Вейля и их вращающиеся обобщения, вакуумы А.Ф. Эрнста (семейство всех стационарных осесимметричных и асимптотически плоских вакуумных решений). Эти семейства задаются пространством решений значительно упрощенного семейства уравнений в частных производных, а их метрические тензоры могут быть записаны в терминах явного мультипольного разложения .

Координатно-зависимое определение

Самый простой (и исторически первый) способ определения асимптотически плоского пространства-времени предполагает, что у нас есть координатная карта с координатами $t,x,y,z$, которая вдали от начала координат ведет себя очень похоже на декартову карту пространства-времени Минковского в следующем смысле. Запишите метрический тензор как сумму (физически ненаблюдаемого) фона Минковского плюс тензор возмущений: $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$, и установите $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Тогда нам потребуется:

• $\lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab}=O(1/r)$
• $\lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,p}=O(1/r^{2})$
• $\lim _{r\rightarrow \infty }h_{ab,pq}=O(1/r^{3})$

Одна из причин, по которой мы требуем, чтобы частные производные возмущения затухали так быстро, заключается в том, что эти условия, как оказывается, подразумевают, что плотность энергии гравитационного поля (в той степени, в которой это несколько туманное понятие имеет смысл в метрической теории гравитации) убывает как $O(1/r^{4})$, что было бы физически разумно. (В классическом электромагнетизме энергия электромагнитного поля точечного заряда распадается как $O(1/r^{4})$.)

Бескоординатное определение

Примерно в 1962 году Герман Бонди , Райнер К. Сакс и другие начали изучать общее явление излучения компактного источника в общей теории относительности, которая требует более гибких определений асимптотической плоскостности. В 1963 году Роджер Пенроуз импортировал из алгебраической геометрии важное нововведение, которое теперь называется конформной компактификацией , а в 1972 году Роберт Герох использовал это, чтобы обойти сложную проблему соответствующего определения и оценки подходящих пределов при формулировке действительно бескоординатного определения асимптотической плоскости. В новом подходе, когда все настроено правильно, нужно только оценить функции в локусе, чтобы проверить асимптотическую плоскостность.

Приложения

Понятие асимптотической плоскостности чрезвычайно полезно как техническое условие при изучении точных решений в общей теории относительности и родственных ей теориях. Для этого есть несколько причин:

• Модели физических явлений в общей теории относительности (и родственных ей физических теориях) обычно возникают как решение соответствующих систем дифференциальных уравнений , а предположение об асимптотической плоскостности обеспечивает граничные условия , которые помогают в постановке и даже в решении результирующей краевой задачи .
• В метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности, обычно невозможно дать общие определения важных физических понятий, таких как масса и угловой момент; однако предположение об асимптотической плоскости позволяет использовать удобные определения, которые имеют смысл для асимптотически плоских решений.
• Хотя это менее очевидно, оказывается, что использование асимптотической плоскостности позволяет физикам импортировать сложные математические концепции из алгебраической геометрии и дифференциальной топологии , чтобы определять и изучать важные особенности, такие как горизонты событий , которые могут присутствовать или отсутствовать.

См. также

• Жидкий раствор
• Уравнения поля Эйнштейна

Ссылки

• Хокинг, С.В. и Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09906-6 . См. раздел 6.9 для обсуждения асимптотически простых пространств-временей.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5 . См. главу 11 .
• Фрауэндинер, Йорг. «Конформная бесконечность» . Живые обзоры в теории относительности . Архивировано из оригинала 31 декабря 2005 года . Проверено 23 января 2004 г.
• Марс, М. и Сеновилла, JMM (1998). «О построении глобальных моделей, описывающих вращающиеся тела; уникальность внешнего гравитационного поля». Буквы по современной физике А. 13 (19): 1509–1519. arXiv : gr-qc/9806094 . Бибкод : 1998МПЛА...13.1509М . дои : 10.1142/S0217732398001583 . S2CID   5289048 . eprint Авторы утверждают, что краевые задачи в общей теории относительности, такие как проблема соответствия заданной внутренней части идеальной жидкости асимптотически плоской внешней поверхности вакуума, являются переопределенными . Это не означает, что моделей вращающейся звезды не существует, но помогает объяснить, почему их сложно построить.
• Марк Д. Робертс, Пространственно-временной экстерьер звезды: против асимптотической плоскостности . Версия от 16 мая 2002 года. Робертс пытается доказать, что внешним решением в модели вращающейся звезды должна быть идеальная жидкость или пыль, а не вакуум, а затем утверждает, что идеальной жидкости. в общей теории относительности не существует асимптотически плоских вращающихся решений . ( Примечание: Марк Робертс время от времени публикует статьи в Википедии, в том числе и в этой статье.
• Марс, Марк (1998). «Решение Уолквиста-Ньюмана». Физ. Преподобный Д. 63 (6): 064022. arXiv : gr-qc/0101021 . Бибкод : 2001PhRvD..63f4022M . CiteSeerX   10.1.1.339.8609 . дои : 10.1103/PhysRevD.63.064022 . S2CID   1644106 . eprint Mars представляет вращающееся пространство-время Петрова типа D , которое включает в себя хорошо известную жидкость Уолквиста и электровакуумные решения Керра-Ньюмана в качестве частного случая.
• МакКаллум, MAH; Марс, М.; и Вера Р. Возмущения второго порядка вращающихся тел, находящихся в равновесии: проблема внешнего вакуума. Это краткий обзор трех ведущих экспертов по современному состоянию техники по построению точных решений, моделирующих изолированные вращающиеся тела (с асимптотически плоский вакуумный внешний вид).

Внешние ссылки

• Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия