Метрика Де Ситтера – Шварцшильда

В общей теории относительности решение де Ситтера-Шварцшильда описывает черную дыру в причинном участке пространства де Ситтера . В отличие от черной дыры в плоском пространстве, существует самая большая из возможных черных дыр Де Ситтера, которая представляет собой пространство-время Нариаи . Предел Нариаи не имеет сингулярностей , космологический горизонт и горизонт черной дыры имеют одинаковую площадь, и их можно сопоставить друг с другом с помощью дискретной отражательной симметрии в любом причинном участке.

Введение

В общей теории относительности пространство-время может иметь черных дыр горизонты событий , а также космологические горизонты . Решение де Ситтера – Шварцшильда – самое простое решение, сочетающее в себе и то, и другое.

Метрика

Метрика любого сферически симметричного решения в Шварцшильда форме :

$ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{dr^{2} \over f(r)}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

Вакуумные уравнения Эйнштейна дают линейное уравнение для f ( r ), которое имеет решения:

$f(r)=1-2a/r$

$f(r)=1-br^{2}$

Первое представляет собой решение с нулевой энергией напряжения, описывающее черную дыру в пустом пространстве-времени, второе (с положительным b ) описывает пространство де Ситтера с энергией стресса положительной космологической постоянной величины 3 b . Наложение двух решений дает решение де Ситтера – Шварцшильда:

$f(r)=1-{\frac {2a}{r}}-br^{2}$

Два параметра a и b дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В d измерениях + 1 обратный степенной закон спада в части черной дыры равен d - 2. В измерениях 2 + 1, где показатель степени равен нулю, аналогичное решение начинается с пространства де Ситтера 2 + 1, вырезает клин, и склеиваем две стороны клина вместе, образуя коническое пространство .

Геодезическое уравнение

$g_{aj}{\ddot {x}}^{j}+\left(\partial _{i}g_{aj}-{\frac {1}{2}}\partial _{a}g_{ij}\right){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{i}=0$

дает

${\ddot {r}}+{\frac {1}{2}}{\frac {-f'(r)}{f(r)}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}f(r)f'(r){\dot {t}}^{2}-rf(r){\dot {\theta }}-rf(r){\text{sin}}^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}=0$

для радиального и

${\ddot {t}}+{\frac {1}{f(r)}}f'(r){\dot {t}}{\dot {r}}=0$

для временной составляющей.

Свойства горизонта

Пространство де Ситтера — простейшее решение уравнения Эйнштейна с положительной космологической постоянной . Она сферически симметрична, имеет космологический горизонт, окружающий любого наблюдателя, и описывает расширяющуюся Вселенную . Решение Шварцшильда является простейшим сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна с нулевой космологической постоянной и описывает горизонт событий черной дыры в пустом пространстве. Пространство-время де Ситтера-Шварцшильда представляет собой комбинацию этих двух и описывает горизонт черной дыры со сферическим центром во вселенной де Ситтера. Наблюдатель, который не упал в черную дыру и который все еще может видеть черную дыру, несмотря на инфляцию, зажат между двумя горизонтами.

В полуклассической трактовке космологический горизонт Де Ситтера можно рассматривать как поглощающий или излучающий, в зависимости от точки зрения. Аналогичным образом, для черной дыры, существующей уже долгое время, горизонт можно рассматривать как излучающий или поглощающий, в зависимости от того, принимаете ли вы точку зрения падающего вещества или исходящего излучения Хокинга . Хокинг, основываясь на термодинамике, утверждал , что прошлый горизонт белой дыры на самом деле физически такой же, как будущий горизонт черной дыры , так что прошлый и будущий горизонты физически идентичны. Это было развито Сасскиндом в виде дополнительности черной дыры , которая утверждает, что любые внутренние части решения черной дыры, как в интерпретации горизонта прошлого, так и в будущем, могут быть голографически связаны посредством унитарного изменения базиса с квантовомеханическим описанием самого горизонта. .

Решение Нариаи — это предел самой большой черной дыры в пространстве де Ситтера на больших расстояниях. Она имеет два горизонта: космологический горизонт де Ситтера и горизонт черной дыры Шварцшильда. Для черных дыр небольшой массы эти два явления очень разные — в центре черной дыры есть сингулярность, а за космологическим горизонтом сингулярности нет. Но предел Нариай предполагает увеличение и увеличение черной дыры до тех пор, пока ее горизонт событий не станет той же площади, что и космологический горизонт Де Ситтера. В этот момент пространство-время становится регулярным, сингулярность черной дыры уходит в бесконечность, и два горизонта связаны симметрией пространства-времени.

В пределе Нариаи черную дыру и горизонт де Ситтера можно поменять местами, просто изменив знак координаты. $z$. При наличии дополнительной плотности материи решение можно представить как сферическую вселенную Эйнштейна с двумя противоположными черными дырами. Какая бы черная дыра ни стала больше, она станет космологическим горизонтом.

Решение для участников

Начнем с де Ситтера-Шварцшильда:

$ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{dr^{2} \over f(r)}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$

с

$f(r)=1-{2a \over r}-br^{2}$

Два параметра a и b дают массу черной дыры и космологическую постоянную соответственно. В более высоких измерениях степенной закон для части черной дыры действует быстрее.

Когда a мало, f ( r ) имеет два нуля при положительных значениях r , которые являются местоположением черной дыры и космологического горизонта соответственно. По мере увеличения параметра a при неизменной космологической постоянной два положительных нуля сближаются. При некотором значении a они сталкиваются.

Приближаясь к этому значению a , черная дыра и космологические горизонты имеют почти одно и то же значение r . Но расстояние между ними не стремится к нулю, потому что f ( r ) между двумя нулями очень мала, а квадратный корень из обратной величины интегрируется до конечного значения. Если два нуля f находятся в точках R + ε и R − ε, то переход к малому пределу ε при изменении масштаба r для удаления зависимости от ε дает решение Нариай.

Форма f около почти двойного нуля в терминах новой координаты u, заданной r = R + u , следующая:

$f(r)={u^{2}-\epsilon ^{2} \over R^{2}}$

Метрика на причинном участке между двумя горизонтами сводится к

$ds^{2}=-(R^{2}-z^{2})\,dt^{2}+{dz^{2} \over (R^{2}-z^{2})}+R^{2}\,d\Omega ^{2},$

что является метрикой $dS_{2}\times S_{2}$. Эта форма является локальной для наблюдателя, зажатого между черной дырой и космологическим горизонтом, что показывает их присутствие в виде двух горизонтов при z = - R и z = R соответственно.

Координату z можно заменить глобальной координатой 1+1-мерной части пространства де Ситтера, и тогда метрику можно записать как:

$dS^{2}=-dt^{2}+\cosh ^{2}t\,dx^{2}+R^{2}\,d\Omega ^{2}\,$

В этих глобальных координатах изотропия пространства де Ситтера смещает изометрии координаты x , так что можно отождествить x с x + A и превратить измерение пространства в круг. Радиус круга в постоянном времени экспоненциально расширяется в будущее и прошлое, и это первоначальная форма Нариай.

Вращение одного из горизонтов в пространстве Нариай приводит к вращению другого горизонта в противоположном направлении. Это проявление принципа Маха в самостоятельных причинных участках, если космологический горизонт рассматривать как «материю», как и его симметричный аналог — черную дыру.

Температура Хокинга

Температуру малого и большого горизонта в модели де Ситтера – Шварцшильда можно рассчитать как период мнимого времени решения или, что то же самое, как поверхностную силу тяжести вблизи горизонта. Температура меньшей черной дыры относительно выше, поэтому существует тепловой поток от меньшего горизонта к большему. Величину, которая является температурой черной дыры, трудно определить, поскольку не существует асимптотически плоского пространства, относительно которого можно было бы ее измерить.

Кривизна

Ненулевые компоненты тензора кривизны Риччи для метрики де Ситтера – Шварцшильда равны

$R_{tt}={\frac {1}{2}}f(r)\left(2{\frac {f'(r)}{r}}+f''(r)\right)$

$R_{rr}=-{\frac {2f'(r)+rf''(r)}{2rf(r)}}$

$R_{\theta \theta }=1-f(r)-rf'(r)$

$R_{\phi \phi }=-\sin ^{2}(\theta )\left(-1+f(r)+rf'(r)\right)$

и скаляр кривизны Риччи

$R={\frac {2-2f(r)-4rf'(r)-r^{2}f''(r)}{r^{2}}}$

См. также

• Пространство Де Ситтера
• Антиде Ситтеровское пространство
• Вселенная Де Ситтера
• Метрика Керра – Ньюмана – де Ситтера
• Переписка AdS/CFT