Решение уравнений геодезических

Решение уравнений геодезических — процедура, используемая в математике , особенно в римановой геометрии , и в физике , особенно в общей теории относительности , которая приводит к получению геодезических . Физически они представляют собой пути (обычно идеальных) частиц без собственного ускорения , их движение удовлетворяет уравнениям геодезических. Поскольку частицы не подвергаются собственному ускорению, геодезические обычно представляют собой кратчайший путь между двумя точками в искривленном пространстве-времени .

Дифференциальное уравнение геодезических

Основная статья: Геодезические

На n -мерном римановом многообразии $M$, уравнение геодезии, записанное на координатной карте с координатами $x^{a}$ является:

${\frac {d^{2}x^{a}}{ds^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{ds}}{\frac {dx^{c}}{ds}}=0$

где координаты x ^а ( s ) рассматриваются как координаты кривой γ ( s ) в $M$ и $\Gamma _{bc}^{a}$ являются символами Кристоффеля . Символы Кристоффеля являются функциями метрики и задаются формулой:

$\Gamma _{bc}^{a}={\frac {1}{2}}g^{ad}\left(g_{cd,b}+g_{bd,c}-g_{bc,d}\right)$

где запятая обозначает частную производную по координатам:

$g_{ab,c}={\frac {\partial {g_{ab}}}{\partial {x^{c}}}}$

Поскольку многообразие имеет размерность $n$, уравнения геодезических представляют собой систему $n$ обыкновенные дифференциальные уравнения для $n$ координатные переменные. Таким образом, в сочетании с начальными условиями система может быть решена согласно теореме Пикара-Линделёфа . Можно также использовать лагранжев подход к проблеме: определив

$L={\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}}$

и применяя уравнение Эйлера-Лагранжа .

Эвристика

Поскольку законы физики можно записать в любой системе координат , удобно выбрать ту, которая упрощает уравнения геодезических. Математически это означает, что координатная карта выбирается , в которой уравнения геодезических имеют наиболее удобную форму.

Эффективные потенциалы

Когда уравнения геодезических можно разделить на члены, содержащие только недифференцированную переменную, и члены, содержащие только ее производную , первые можно объединить в эффективный потенциал, зависящий только от положения. В этом случае применяются многие эвристические методы анализа энергетических диаграмм , в частности расположения точек поворота.

Методы решения

Решение уравнений геодезических означает получение точного решения, возможно, даже общего решения уравнений геодезических. Большинство атак тайно используют точечную группу симметрии системы уравнений геодезических. Это часто дает результат, дающий семейство решений неявно, но во многих примерах общее решение дает в явной форме.

В общей теории относительности для получения времениподобных геодезических зачастую проще всего начать с метрики пространства-времени после деления на $ds^{2}$ чтобы получить форму

$-1=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }$

где точка представляет собой дифференцирование по $s$. Поскольку времениподобные геодезические максимальны , можно напрямую применить уравнение Эйлера-Лагранжа и, таким образом, получить набор уравнений, эквивалентных уравнениям геодезических. Преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет избежать утомительного расчета символов Кристоффеля .

См. также

• Геодезика вакуума Шварцшильда.
• Математика общей теории относительности
• Переход от специальной теории относительности к общей теории относительности

Ссылки

• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .