Теоретическая мотивация общей теории относительности

Теоретическая мотивация общей теории относительности , включая мотивацию уравнения геодезических и уравнения поля Эйнштейна , может быть получена из специальной теории относительности путем изучения динамики частиц на круговых орбитах вокруг Земли. Ключевым преимуществом исследования круговых орбит является то, что можно априорно узнать решение уравнения поля Эйнштейна . Это обеспечивает средства для информирования и проверки формализма.

Общая теория относительности решает два вопроса:

1. Как искривление пространства -времени влияет на движение материи ?
2. Как наличие материи влияет на искривление пространства-времени?

На первый вопрос отвечает уравнение геодезических . На второй вопрос отвечает уравнение поля Эйнштейна . Уравнение геодезических и уравнение поля связаны принципом наименьшего действия . Обоснование уравнения геодезических приведено в разделе « Уравнение геодезии для круговых орбит» . Мотивация для уравнения поля Эйнштейна представлена ​​в разделе « Тензор энергии-напряжения» .

Уравнение геодезии для круговых орбит

Основная статья: Геодезика в общей теории относительности

Кинетика круговых орбит

Мировая линия круговой орбиты вокруг Земли изображается в двух пространственных измерениях X и Y (плоскость орбиты) и временном измерении, обычно принятом в качестве вертикальной оси. Обратите внимание, что орбита вокруг Земли представляет собой круг в пространстве, но ее мировая линия представляет собой спираль в пространстве-времени.

Для определенности рассмотрим круговую земную орбиту (винтовую мировую линию ) частицы. Частица движется со скоростью v. Наблюдатель на Земле видит, что длина в системе частицы сокращается. Измерительная линейка, путешествующая вместе с частицей, кажется земному наблюдателю короче. Поэтому окружность орбиты, находящаяся по направлению движения, кажется длиннее, чем $\pi$ раз больше диаметра орбиты.

В специальной теории относительности 4-собственная скорость частицы в инерциальной (неускоряющейся) системе отсчета Земли равна

$u=\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)$

где с — скорость света , $\mathbf {v}$ - 3-скорость, а $\gamma$ является

$\gamma ={1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}$.

Величина вектора 4-скорости всегда постоянна.

$u_{\alpha }u^{\alpha }=-1$

где мы используем метрику Минковского

$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.

Следовательно, величина 4-скорости является скаляром Лоренца .

4-ускорение в земной (неускоряющейся) системе отсчета равно

$a\equiv {{du} \over {d\tau }}={d \over {d\tau }}{\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}={\left(0,\gamma ^{2}{\mathbf {a} \over c^{2}}\right)}={\left(0,-\gamma ^{2}{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}{{\mathbf {r} } \over r^{2}}\right)}$

где $d\tau$ в c раз превышает собственный интервал времени, измеренный в системе отсчёта частицы. Это связано с интервалом времени в системе координат Земли соотношением

$cdt=\gamma d\tau$.

Здесь 3-ускорение для круговой орбиты равно

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{{\mathbf {r} } \over r^{2}}$

где $\omega$ - угловая скорость вращающейся частицы и $\mathbf {r}$ — 3-положение частицы.

Величина 4-скорости постоянна. Это означает, что 4-ускорение должно быть перпендикулярно 4-скорости. Поэтому внутренний продукт 4-ускорения и 4-скорости всегда равен нулю. Внутренний продукт — скаляр Лоренца .

Кривизна пространства-времени: уравнение геодезии

Уравнение ускорения можно обобщить, получив уравнение геодезических

${{du^{\mu }} \over {d\tau }}-a^{\mu }=0$

${{du^{\mu }} \over {d\tau }}+{R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }=0$

где $x^{\mu }$ - 4-позиция частицы и ${R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }$ тензор кривизны , определяемый формулой

${R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }={1 \over r^{2}}\eta _{\alpha \beta }{\delta ^{\mu }}_{\nu }$

где ${\delta ^{\mu }}_{\nu }$ — дельта-функция Кронекера , и у нас есть ограничения

$u_{\alpha }u^{\alpha }=-1$

и

$a_{\alpha }u^{\alpha }=0$.

Легко проверить, что круговые орбиты удовлетворяют уравнению геодезических. Уравнение геодезических на самом деле является более общим. Круговые орбиты являются частным решением уравнения. Решения, отличные от круговых орбит, допустимы и действительны.

Тензор и след кривизны Риччи

Основные статьи: кривизна Риччи и скалярная кривизна

Тензор кривизны Риччи — это специальный тензор кривизны, определяемый сокращением

$R_{\alpha \beta }\equiv {R^{\nu }}_{\alpha \nu \beta }$.

След тензора Риччи, называемый скалярной кривизной , равен

$R\equiv {R^{\alpha }}_{\alpha }$.

Уравнение геодезических в местной системе координат

Круговые орбиты одного и того же радиуса

Рассмотрим ситуацию, когда на близких круговых полярных орбитах Земли радиусом $r$ и скорость $v$.

Частицы совершают простое гармоническое движение вокруг Земли и друг относительно друга. Они находятся на максимальном расстоянии друг от друга, когда пересекают экватор. Их траектории пересекаются на полюсах.

Представьте себе космический корабль, движущийся вместе с одной из частиц. Потолок корабля, ${\acute {\mathbf {z} }}$ направление, совпадает с $\mathbf {r}$ направление. Передняя часть корабля находится в ${\acute {\mathbf {x} }}$ направление, и ${\acute {\mathbf {y} }}$ направление — слева от корабля. Космический корабль мал по сравнению с размером орбиты, поэтому локальная система отсчета является локальной системой Лоренца. 4-разделение двух частиц определяется выражением ${\acute {x}}^{\mu }$. В локальной системе отсчета космического корабля уравнение геодезических имеет вид

${{d^{2}{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau ^{2}}}+{\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=0$

где

${\acute {u}}^{\mu }={{d{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau }}$

и

${\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }$

– тензор кривизны в локальной системе отсчета.

Уравнение геодезических как ковариантная производная

Уравнение движения частицы в плоском пространстве-времени и в отсутствие сил имеет вид

${{d{u}^{\mu }} \over {d\tau }}=0$.

Если мы требуем, чтобы частица путешествовала по геодезической в ​​искривленном пространстве-времени, то аналогичное выражение в искривленном пространстве-времени будет иметь вид

${{D{\acute {u}}^{\mu }} \over {D\tau }}={{d{\acute {u}}^{\mu }} \over {d\tau }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {u}}^{\beta }=0$

где производная слева — это ковариантная производная , которая является обобщением нормальной производной до производной в искривленном пространстве-времени. Здесь

${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }$

является символом Кристоффеля .

Кривизна связана с символом Кристоффеля соотношением

${\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }={{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \beta } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \nu } \over {\partial x^{\beta }}}+{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \nu }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \beta }-{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \beta }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \nu }$.

Метрический тензор в локальной системе отсчета

Интервал в локальном кадре равен

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\equiv g_{\mu \nu }d{\acute {x}}^{\mu }d{\acute {x}}^{\nu }$

$=d{\acute {x}}^{2}+d{\acute {y}}^{2}+d{\acute {z}}^{2}-c^{2}d{\acute {t}}^{2}+2\gamma \cos(\theta )\cos(\phi )\,v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {x}}+2\gamma \cos(\theta )\sin(\phi )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {y}}-2\gamma \sin(\theta )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {z}}$

где

$\theta$ это угол с $z$ ось (долгота) и

$\phi$ это угол с $x$ ось (широта).

дает показатель Это

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}\\\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&1&0&0\\\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&0&1&0\\-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}&0&0&1\end{pmatrix}}$

в локальном кадре.

Обратный метрический тензор $g^{\mu \nu }$ определяется так, что

$g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }$

где член справа — это дельта Кронекера .

Преобразование бесконечно малого 4-объемника $d\Omega$ является

$d{\acute {\Omega }}={\sqrt {-g}}d{\Omega }$

где g — определитель метрического тензора.

Дифференциал определителя метрического тензора равен

$dg=gg^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=-gg_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }$.

Связь между символами Кристоффеля и метрическим тензором следующая:

${{\Gamma }^{\alpha }}_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }$

${\Gamma }_{\beta \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left({{\partial {g}}_{\beta \nu } \over {\partial x^{\mu }}}+{{\partial {g}}_{\beta \mu } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {g}}_{\mu \nu } \over {\partial x^{\beta }}}\right)$.

Принцип наименьшего действия в общей теории относительности

Основная статья: действие Эйнштейна – Гильберта

Принцип наименьшего действия гласит, что мировая линия между двумя событиями в пространстве-времени — это та мировая линия, которая минимизирует действие между двумя событиями. В классической механике принцип наименьшего действия используется для вывода законов движения Ньютона и является основой лагранжевой динамики . В теории относительности это выражается как

$S=\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}\,d\Omega$

между событиями 1 и 2 является минимумом. Здесь S — скаляр и

${\mathcal {L}}$

известна как плотность Лагранжа . Плотность Лагранжа делится на две части: плотность вращающейся частицы ${\mathcal {L}}_{p}$ и плотность ${\mathcal {L}}_{e}$ гравитационного поля, создаваемого всеми другими частицами, включая те, из которых состоит Земля,

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{e}$.

В искривленном пространстве-времени «самая короткая» мировая линия — это та геодезическая , которая минимизирует кривизну геодезической. Тогда действие пропорционально кривизне мировой линии. Поскольку S является скаляром, скалярная кривизна является подходящей мерой кривизны. Следовательно, действие частицы

$S_{p}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}\,d{\acute {\Omega }}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }=C\int _{1}^{2}g^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }$

где $C$ — неизвестная константа. Эта константа будет определяться путем требования сведения теории к закону тяготения Ньютона в нерелятивистском пределе.

Таким образом, лагранжева плотность частицы равна

${\mathcal {L}}_{p}=Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}$.

Действие для частицы и Земли есть

$S=\int _{1}^{2}Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega +\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}_{e}\,d\Omega$.

Таким образом, мировая линия лежит на поверхности сферы радиуса r путем изменения метрического тензора. Минимизация и пренебрежение членами, исчезающими на границах, включая члены второго порядка по производной g, дает

$0=\delta S=\int _{1}^{2}C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g^{\alpha \beta }\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega -\int _{1}^{2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega$

где

${\acute {T}}_{\alpha \beta }={1 \over {\sqrt {-g}}}\left({d \over {dx^{\nu }}}{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial \left({{dg^{\alpha \beta }} \over {dx^{\nu }}}\right)}}-{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\right)$

– тензор энергии-импульса Гильберта поля, генерируемого Землей.

Связь с точностью до неизвестного постоянного коэффициента между энергией напряжения и кривизной равна

${\acute {T}}_{\alpha \beta }=C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}\,g_{\alpha \beta }\right)$.

Тензор энергии-напряжения

Закон гравитации Ньютона

Диаграмма 1. Изменение представлений о пространстве-времени вдоль мировой линии быстро ускоряющегося наблюдателя. В этой анимации пунктирная линия — это пространственно-временная траектория (« мировая линия ») частицы. Шары располагаются через равные промежутки времени вдоль мировой линии. Сплошные диагональные линии представляют собой световые конусы текущего события наблюдателя и пересекаются в этом событии. Маленькие точки — это другие произвольные события в пространстве-времени. Для текущей мгновенной инерциальной системы отсчета наблюдателя вертикальное направление указывает время, а горизонтальное направление указывает расстояние. Наклон мировой линии (отклонение от вертикали) — это скорость частицы на этом участке мировой линии. Итак, на изгибе мировой линии частица ускоряется. Обратите внимание, как меняется представление о пространстве-времени, когда наблюдатель ускоряется, изменяя мгновенную инерциальную систему отсчета. Эти изменения определяются преобразованиями Лоренца. Также обратите внимание, что: * шары на мировой линии до/после будущих/прошлых ускорений расположены дальше друг от друга из-за замедления времени. * события, которые были одновременными до ускорения, впоследствии происходят в разное время (из-за относительность одновременности ), * события проходят через линии световых конусов вследствие хода собственного времени, а не из-за изменения взглядов, вызванного ускорениями, и * мировая линия всегда остается внутри будущих и прошлых световых конусов текущее событие.

Закон гравитации Ньютона в нерелятивистской механике гласит, что ускорение объекта массы $m$ из-за другого объекта массы $M$ равно

$\mathbf {f} ={d^{2}\mathbf {r} \over d\tau ^{2}}=-{GM \over {c^{2}r^{3}}}\mathbf {r}$

где $G$ гравитационная постоянная , $\mathbf {r}$ вектор из массы $M$ массировать $m$ и $r$ - величина этого вектора. Время t масштабируется со скоростью света c

$\tau \equiv ct$.

Ускорение $\mathbf {f}$ не зависит от $m$.

Для определенности. рассмотрим частицу массы $m$ вращающийся в гравитационном поле Земли с массой $M$. Закон гравитации можно записать

$\mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)\mathbf {r}$

где $\rho (r)$ - средняя плотность массы внутри сферы радиуса $r$.

Гравитационная сила через 00-компоненту тензора энергии-импульса

Закон Ньютона можно записать

$\mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{4}}}\left({Mc^{2} \over V}\right)\mathbf {r}$.

где $V$ - объем сферы радиуса $r$. Количество $Mc^{2}$ будет признана в специальной теории относительности энергией покоя большого тела, Земли. Это сумма энергий покоя всех частиц, составляющих Землю. Тогда величина в скобках представляет собой среднюю плотность энергии покоя сферы радиуса $r$ о Земле. Гравитационное поле пропорционально средней плотности энергии в пределах радиуса r. Это 00-компонента тензора энергии-импульса в теории относительности для особого случая, когда вся энергия является энергией покоя. В более общем плане

$T_{00}=-{T^{0}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}\left({\gamma _{i}m_{i}c^{2} \over V}\right)$

где

$\gamma _{i}\equiv {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}} \over c^{2}}}}}$

и $\mathbf {v_{i}}$ - скорость частицы i, составляющей Землю, и $m_{i}$ в массе покоя частицы i. Всего существует N частиц, составляющих Землю.

Релятивистское обобщение плотности энергии

Компоненты тензора энергии-импульса

Существуют две простые релятивистские сущности, которые в нерелятивистском пределе сводятся к компоненту 00 тензора энергии-импульса.

$u^{\alpha }T_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow T_{00}$

и след

$T\equiv {T^{\alpha }}_{\alpha }=-u_{\alpha }u^{\alpha }T=-u^{\alpha }T\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow -T_{00}$

где $u^{\alpha }$ это 4-скорость.

Компонента 00 тензора энергии-импульса может быть обобщена на релятивистский случай как линейная комбинация двух членов

$T_{00}\rightarrow u^{\alpha }\left(AT_{\alpha \beta }+BT\eta _{\alpha \beta }\right)u^{\beta }$

где

$A+B=1$

4-ускорение под действием силы тяжести

4-ускорение силы тяжести можно записать

$f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\delta _{\nu }^{\mu }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }$.

К сожалению, это ускорение отлично от нуля для $\mu =0$ как это требуется для круговых орбит. Поскольку величина 4-скорости постоянна, ускорению способствует только составляющая силы, перпендикулярная 4-скорости. Поэтому мы должны вычесть компонент силы, параллельный 4-скорости. Это известно как транспорт Ферми-Уокера . Другими словами,

$f^{\mu }\rightarrow f^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }f^{\nu }$.

Это дает

$f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }\right)u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }$.

Сила в локальной системе отсчета равна

${\acute {f}}^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+{\acute {u}}^{\mu }{\acute {u}}_{\nu }\right){\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }$.

Уравнение поля Эйнштейна

Двумерная визуализация искажения пространства-времени. Присутствие материи меняет геометрию пространства-времени, причем эта (искривленная) геометрия интерпретируется как гравитация.

Уравнение поля Эйнштейна получено путем приравнивания ускорения, необходимого для круговых орбит, с ускорением силы тяжести.

$a^{\mu }=f^{\mu }$

${\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=-{\acute {f}}^{\mu }$.

Это связь между кривизной пространства-времени и тензором энергии-импульса.

Тензор Риччи становится

${\acute {R}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)$.

След тензора Риччи

${\acute {R}}={\acute {R}}_{\alpha }^{\alpha }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha }^{\alpha }+{B \over 2}{\acute {T}}\delta _{\alpha }^{\alpha }\right)=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}+2B\right){\acute {T}}$.

Сравнение тензора Риччи с тензором Риччи, рассчитанным на основе принципа наименьшего действия, Теоретическая мотивация общей теории относительности # Принцип наименьшего действия в общей теории относительности, отождествляя тензор энергии-напряжения с энергией стресса Гильберта и помня, что A + B = 1 устраняет двусмысленность в A, B и C.

$A=2$

$B=-1$

и

$C=\left(8\pi {G \over {c^{4}}}\right)^{-1}$.

Это дает

${\acute {R}}=-8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}$.

Уравнение поля можно записать

${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}_{\alpha \beta }$

где

${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }\equiv {\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g_{\alpha \beta }$.

Это уравнение поля Эйнштейна, которое описывает кривизну пространства-времени, возникающую в результате плотности энергии-напряжения. Это уравнение, наряду с уравнением геодезических, было основано на кинетике и динамике частицы, вращающейся вокруг Земли по круговой орбите. В целом они верны.

Решение уравнения поля Эйнштейна

Решение уравнения поля Эйнштейна требует итерационного процесса. Решение представляется в виде метрического тензора

$g_{\mu \nu }$.

Обычно для тензора существует начальное предположение. Предположение используется для расчета символов Кристоффеля , которые используются для расчета кривизны. Если уравнение поля Эйнштейна не удовлетворяется, процесс повторяется.

Решения существуют в двух формах: вакуумные растворы и невакуумные растворы. Вакуумное решение — это решение, в котором тензор энергии-импульса равен нулю. Соответствующим вакуумным решением для круговых орбит является метрика Шварцшильда . Существует также ряд точных решений , которые являются невакуумными решениями, решениями, в которых тензор напряжений отличен от нуля.

Решение уравнения геодезических

Основная статья: Решение уравнений геодезических

Решение уравнений геодезических требует знания метрического тензора, полученного в результате решения уравнения поля Эйнштейна. Либо символы Кристоффеля, либо кривизна вычисляются на основе метрического тензора. Затем уравнение геодезических интегрируется с соответствующими граничными условиями .

Электродинамика в искривленном пространстве-времени

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Уравнения Максвелла , уравнения электродинамики, в искривленном пространстве-времени являются обобщением уравнений Максвелла в плоском пространстве-времени (см. Формулировку уравнений Максвелла в специальной теории относительности ). Искривление пространства-времени влияет на электродинамику. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени ковариантными производными . Уравнения с источником и без источника принимают вид (единицы СГС):

${4\pi \over c}J^{b}=\partial _{a}F^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{\mu a}F^{\mu b}+{\Gamma ^{b}}_{\mu a}F^{a\mu }\equiv D_{a}F^{ab}\equiv {F^{ab}}_{;a}\,\!$,

и

$0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}=D_{c}F_{ab}+D_{b}F_{ca}+D_{a}F_{bc}$

где $\,J^{a}$ 4 -ток , $\,F^{ab}$ – тензор напряженности поля , $\,\epsilon _{abcd}$ является символом Леви-Чивита , и

${\partial \over {\partial x^{a}}}\equiv \partial _{a}\equiv {}_{,a}\equiv (\partial /\partial ct,\nabla )$

это 4-градиент . Повторяющиеся индексы суммируются в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании . Мы отобразили результаты в нескольких общепринятых обозначениях.

Первое тензорное уравнение представляет собой выражение двух неоднородных уравнений Максвелла: закона Гаусса и закона Ампера с поправкой Максвелла . Второе уравнение является выражением однородных уравнений, закона индукции Фарадея и закона магнетизма Гаусса .

Уравнение электромагнитной волны модифицируется из уравнения в плоском пространстве-времени двумя способами: производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, зависящий от кривизны.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }={4\pi \over c}J^{\alpha }$

где 4-потенциал определен так, что

$F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!$.

Мы предположили обобщение калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени

${A^{\mu }}_{;\mu }=0$.

См. также

• Ньютоновские мотивы общей теории относительности

Ссылки

• Р.П. Фейнман; Ф. Б. Моринго и В. Г. Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-62734-5 .
• ПАМ Дирак (1996). Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-01146-Х .