Антиде Ситтеровское пространство

«AdS» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. ADS (значения) .

Трехмерное антидеситтеровское пространство похоже на стопку гиперболических дисков , каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени.

В математике и физике антидеситтеровское n -мерное пространство (AdSn ₎ — максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной отрицательной скалярной кривизной . Пространство Антиде Ситтера и пространство де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессора астрономии Лейденского университета и директора Лейденской обсерватории . Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно работали вместе в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой Вселенной. Поль Дирак был первым человеком, тщательно исследовавшим антиде Ситтеровское пространство, сделав это в 1963 году.

Многообразия постоянной кривизны наиболее известны в случае двух измерений, где эллиптическая плоскость или поверхность сферы является поверхностью постоянной положительной кривизны, плоская (т. е. евклидова ) плоскость является поверхностью постоянной нулевой кривизны, а гиперболическая Плоскость — поверхность постоянной отрицательной кривизны.

Эйнштейна Общая теория относительности ставит пространство и время в равное положение, так что можно рассматривать геометрию единого пространства-времени, а не рассматривать пространство и время по отдельности. Случаями пространства-времени постоянной кривизны являются пространство де Ситтера (положительное), пространство Минковского (нулевое) и пространство анти-де Ситтера (отрицательное). По сути, они являются точными решениями уравнений поля Эйнштейна для пустой Вселенной с положительной, нулевой или отрицательной космологической постоянной соответственно.

Пространство Антиде Ситтера обобщается на любое количество измерений пространства. В более высоких измерениях он наиболее известен своей ролью в соответствии AdS/CFT , которое предполагает, что можно описать силу в квантовой механике (например, электромагнетизм , слабое взаимодействие или сильное взаимодействие ) в определенном количестве измерений ( например четыре) с теорией струн , где струны существуют в антидеситтеровском пространстве с одним дополнительным (некомпактным) измерением.

Нетехническое объяснение

Технические термины переведены

Максимально симметричное лоренцево многообразие — это пространство-время, в котором ни одна точка пространства и времени не может быть отличима каким-либо образом от другой, и (будучи лоренцевым) единственный способ, которым направление (или касательная к пути в точке пространства-времени) может быть выражено. различается, является ли оно пространственно-подобным, светоподобным или времениподобным. пространство специальной теории относительности ( пространство Минковского Примером может служить ).

Постоянная скалярная кривизна означает изгиб пространства-времени, подобный гравитации общей теории относительности, кривизна которого описывается одним числом, одинаковым повсюду в пространстве-времени в отсутствие материи или энергии.

Отрицательная кривизна означает гиперболическую изогнутость, как поверхность седла или поверхность Рога Гавриила , подобная поверхности трубного колокола.

Пространство-время в общей теории относительности

Общая теория относительности — это теория природы времени, пространства и гравитации, в которой гравитация — это искривление пространства и времени, возникающее в результате присутствия материи или энергии. Энергия и масса эквивалентны (как это выражается в уравнении E = mc ² ). Значения пространства и времени могут быть связаны соответственно с единицами времени и пространства путем умножения или деления значения на скорость света (например, секунды, умноженные на метры в секунду, равны метрам).

Распространенная аналогия связана с тем, что провал плоского листа резины, вызванный находящимся на нем тяжелым предметом, влияет на путь, по которому катятся небольшие объекты, катящиеся поблизости, заставляя их отклоняться внутрь от пути, по которому они бы следовали, если бы тяжелый предмет объект отсутствовал. Конечно, в общей теории относительности и малые, и большие объекты взаимно влияют на кривизну пространства-времени.

Сила притяжения, создаваемая материей, возникает из-за отрицательной кривизны пространства-времени, представленной в аналогии с резиновым листом отрицательно изогнутым (подобным трубному колоколу) провалом в листе.

Ключевой особенностью общей теории относительности является то, что она описывает гравитацию не как традиционную силу, подобную электромагнетизму, а как изменение геометрии пространства-времени, происходящее в результате присутствия материи или энергии.

Используемая выше аналогия описывает искривление двумерного пространства, вызванное гравитацией в общей теории относительности в трехмерном суперпространстве, в котором третье измерение соответствует эффекту гравитации. Геометрический подход к общей теории относительности описывает эффекты гравитации в реальном четырехмерном пространстве геометрически, проецируя это пространство в пятимерное суперпространство, где пятое измерение соответствует искривлению пространства-времени, создаваемому гравитацией и гравитацией. -подобные эффекты в общей теории относительности.

В результате в общей теории относительности известное уравнение гравитации Ньютона $\textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\$ (т.е. гравитационное притяжение между двумя объектами равно гравитационной постоянной , умноженной на произведение их масс, разделенное на квадрат расстояния между ними) — это просто приближение гравитационных эффектов, наблюдаемых в общей теории относительности. Однако это приближение становится неточным в экстремальных физических ситуациях, таких как релятивистские скорости (в частности, света) или очень большие и плотные массы.

В общей теории относительности гравитация вызвана искривлением («искажением») пространства-времени. Приписывать гравитацию искривленному пространству — распространенное заблуждение; ни пространство, ни время не имеют абсолютного значения в теории относительности. Тем не менее, для описания слабой гравитации, как на Земле, достаточно учитывать искажение времени в конкретной системе координат. Мы находим гравитацию на Земле очень заметной, в то время как релятивистское искажение времени требует для обнаружения точных инструментов. Причина, по которой мы не осознаем релятивистских эффектов в нашей повседневной жизни, заключается в огромной величине скорости света ( c = примерно 300 000 км/с ), которая заставляет нас воспринимать пространство и время как разные сущности.

Пространство Де Ситтера в общей теории относительности

Пространство Де Ситтера представляет собой вариант общей теории относительности, в которой пространство-время слегка искривлено в отсутствие материи и энергии. Это аналогично взаимосвязи между евклидовой геометрией и неевклидовой геометрией .

Внутренняя кривизна пространства-времени в отсутствие материи и энергии моделируется космологической константой общей теории относительности. Это соответствует вакууму, имеющему плотность энергии и давление. Эта геометрия пространства-времени приводит к появлению на мгновение параллельных времениподобных геодезических. расходящиеся, с пространственноподобными участками, имеющими положительную кривизну.

Антиде Ситтеровское пространство отличается от деситтеровского пространства.

Пространство антиде Ситтера в общей теории относительности аналогично пространству де Ситтера , за исключением того, что у него изменен знак кривизны пространства-времени. В антидеситтеровском пространстве, в отсутствие материи и энергии, кривизна пространственноподобных сечений отрицательна, что соответствует гиперболической геометрии и мгновенно параллельным времениподобным геодезическим. в конечном итоге пересекаются. Это соответствует отрицательной космологической постоянной , где само пустое пространство имеет отрицательную плотность энергии, но положительное давление, в отличие от стандартной модели ΛCDM нашей собственной Вселенной, для которой наблюдения далеких сверхновых указывают на положительную космологическую постоянную, соответствующую (асимптотическому) пространству де Ситтера .

В антидеситтеровском пространстве, как и в деситтеровском пространстве, собственная кривизна пространства-времени соответствует космологической постоянной.

Антидеситтеровское пространство AdS ₂ также является деситтеровским пространством dS ₂ благодаря обмену времениподобными и пространственноподобными метками. Такая перемаркировка меняет знак кривизны, который условно относят к направлениям, называемым пространственноподобными.

Пространство Де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, рассматриваемые как включенные в пять измерений

Приведенная выше аналогия описывает искривление двумерного пространства, вызванное гравитацией в плоском окружающем пространстве на одно измерение выше. Точно так же (искривленные) четырехмерные пространства де Ситтера и анти-де Ситтера могут быть вложены в (плоское) псевдориманово пространство пяти измерений. Это позволяет напрямую определять расстояния и углы во встроенном пространстве на основе расстояний и углов в пятимерном плоском пространстве.

Предостережения

Оставшаяся часть этой статьи объясняет детали этих концепций с помощью гораздо более строгого и точного математического и физического описания. Люди плохо приспособлены к визуализации вещей в пяти или более измерениях, но математические уравнения не являются такими же сложными и могут представлять пятимерные концепции таким же подходящим образом, как и методы, которые математические уравнения используют для описания более простых для визуализации трехмерных измерений. и четырехмерные концепции.

Существует особенно важное следствие более точного математического описания, которое отличается от основанного на аналогии эвристического описания пространства де Ситтера и антиде ситтеровского пространства, приведенного выше. Математическое описание антидеситтеровского пространства обобщает идею кривизны. В математическом описании кривизна является свойством конкретной точки и может быть отделена от некоторой невидимой поверхности, с которой сливаются искривленные точки пространства-времени. Так, например, такие понятия, как сингулярности (наиболее известная из которых в общей теории относительности — черная дыра ), которые не могут быть полностью выражены в геометрии реального мира, могут соответствовать определенным состояниям математического уравнения.

Полное математическое описание также отражает некоторые тонкие различия, сделанные в общей теории относительности между измерениями, подобными пространству, и измерениями, подобными времени.

Определение и свойства

Подобно тому, как сферические и гиперболические пространства можно визуализировать посредством изометрического вложения в плоское пространство одного более высокого измерения (как сферу и псевдосферу соответственно), антиде Ситтеровское пространство можно визуализировать как лоренцев аналог сферы в пространстве одного измерения. дополнительное измерение. Дополнительное измерение времениподобно. В этой статье мы принимаем соглашение о том, что метрика в времениподобном направлении отрицательна.

Изображение (1 + 1) -мерного антидеситтеровского пространства, вложенное в плоское (1 + 2) -мерное пространство. Оси t ось ₁ и t ₂ лежат в плоскости вращательной симметрии, а x ₁ нормальна к этой плоскости. Вложенная поверхность содержит замкнутые времяподобные кривые, окружающие ось x ₁ , однако их можно устранить, «развернув» вложение (точнее, взяв универсальное накрытие).

Анти-де Ситтеровское пространство сигнатур ( p , q ) затем может быть изометрически вложено в пространство $\mathbb {R} ^{p,q+1}$ с координатами ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) и метрикой

$ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{2}$

как квазисфера

$\sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},$

где $\alpha$ — ненулевая константа с размерами длины ( радиуса кривизны ). Это (обобщенная) сфера в том смысле, что это набор точек, для которых «расстояние» (определяемое квадратичной формой) от начала координат постоянно, но визуально это гиперболоид , как на показанном изображении.

Метрика антидеситтеровского пространства — это метрика, индуцированная из объемлющей метрики . Он невырожден и в случае q = 1 имеет лоренцеву сигнатуру.

При q = 0 эта конструкция дает стандартное гиперболическое пространство. Оставшаяся часть обсуждения применима, когда q ≥ 1 .

Замкнутые времениподобные кривые и универсальное покрытие.

Когда q ≥ 1 , приведенное выше вложение имеет замкнутые времениподобные кривые ; например, путь, параметризованный $t_{1}=\alpha \sin(\tau ),t_{2}=\alpha \cos(\tau ),$ и все остальные координаты равны нулю, это такая кривая. При q ≥ 2 эти кривые присущи геометрии (неудивительно, поскольку любое пространство с более чем одним временным измерением содержит замкнутые времениподобные кривые), но при q = 1 их можно устранить, перейдя к универсальному накрывающему пространству , эффективно «разворачивая "вложение. Аналогичная ситуация происходит с псевдосферой , которая скручивается сама по себе, хотя гиперболическая плоскость этого не делает; в результате он содержит самопересекающиеся прямые линии (геодезические), а гиперболическая плоскость - нет. Некоторые авторы определяют антидеситтеровское пространство как эквивалент самой вложенной квазисферы, а другие определяют его как эквивалент универсального накрытия вложения.

Симметрии

Если универсальное накрытие не взято, ( p , q ) антиде Ситтеровское пространство имеет O( p , q + 1) в качестве группы изометрий . Если взять универсальное накрытие, группа изометрий является покрытием O( p , q + 1) . Это легче всего понять, определив анти-де Ситтеровское пространство как симметричное пространство , используя конструкцию факторпространства , приведенную ниже.

нестабильность

Недоказанная «гипотеза о нестабильности AdS», выдвинутая физиками Петром Бизоном и Анджеем Ростворовским в 2011 году, утверждает, что сколь угодно малые возмущения определенных форм в AdS приводят к образованию черных дыр. Математик Георгиос Мошидис доказал, что с учетом сферической симметрии гипотеза справедлива для конкретных случаев пылевой системы Эйнштейна с нулевой массой с внутренним зеркалом (2017 г.) и безмассовой системы Власова Эйнштейна (2018 г.).

Координатные патчи

Координатное пятно , покрывающее часть пространства, дает полупространственную координатизацию антидеситтеровского пространства. Метрический тензор для этого патча равен

$ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),$

с $y>0$ давая полупространство. Эта метрика конформно эквивалентна плоскому полупространству-пространству-времени Минковского.

Срезы постоянного времени этого координатного участка представляют собой гиперболические пространства в метрике полупространства Пуанкаре. В пределе как $y\to 0$, эта метрика полупространства конформно эквивалентна метрике Минковского ${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$. Таким образом, анти-де Ситтеровское пространство содержит конформное пространство Минковского на бесконечности («бесконечность» имеет нулевую координату y в этом патче).

В AdS пространство-время периодично, а универсальная оболочка имеет непериодическое время. Участок координат выше охватывает половину одного периода пространства-времени.

Поскольку конформная бесконечность AdS времениподобна , указание начальных данных на пространственноподобной гиперповерхности не будет определять будущую эволюцию однозначно ( т.е. детерминированно), если не существуют граничные условия, связанные с конформной бесконечностью.

Область «полупространства» антидеситтеровского пространства и ее граница.

Другая часто используемая система координат, охватывающая все пространство, представляет собой координаты t: $r\geqslant 0$ и гиперполярные координаты α , θ и φ .

$ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$

Соседнее изображение представляет собой «полупространство» антидеситтеровского пространства и его границу. Внутренняя часть цилиндра соответствует антидеситтеровскому пространству-времени, а его цилиндрическая граница соответствует его конформной границе. Зеленая заштрихованная область внутри соответствует области AdS, охваченной координатами полупространства, и ограничена двумя нулевыми, то есть светоподобными, геодезическими гиперплоскостями; заштрихованная зеленым область на поверхности соответствует области конформного пространства, охватываемой пространством Минковского.

Область, заштрихованная зеленым, охватывает половину пространства AdS и половину конформного пространства-времени; левые концы зеленых дисков соприкоснутся так же, как и правые.

Как однородное симметричное пространство

Точно так же, как 2-сфера

$S^{2}={\mathrm {O} (3)}/{\mathrm {O} (2)}$

является фактором двух ортогональных групп , анти-де Ситтера с четностью (отражательная симметрия) и симметрией обращения времени можно рассматривать как фактор двух обобщенных ортогональных групп.

$\mathrm {AdS} _{n}={\mathrm {O} (2,n-1)}/{\mathrm {O} (1,n-1)}$

тогда как AdS без P или C можно рассматривать как частное

${\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}/{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}$

спиновых групп .

Эта формулировка фактора дает $\mathrm {AdS} _{n}$ структура однородного пространства . Алгебра Ли обобщенной ортогональной группы ${\mathcal {o}}(1,n)$ задается матрицами

${\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}$,

где $B$ является кососимметричной матрицей . Дополнительный генератор в алгебре Ли ${\mathcal {G}}={\mathcal {o}}(2,n)$ является

${\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.$

Эти двое выполняют ${\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}$. Явное матричное вычисление показывает, что $[{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}$ и $[{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}$. Таким образом, антиде Ситтер — редуктивное однородное пространство и нериманово симметрическое пространство .

Обзор пространства-времени AdS в физике и его свойств

$\mathrm {AdS} _{n}$ представляет собой n -мерное вакуумное решение теории гравитации с действием Эйнштейна – Гильберта с отрицательной космологической постоянной. $\Lambda$, ( $\Lambda <0$), т.е. теория, описываемая следующей лагранжевой плотностью:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )$,

где G _{( n )} — гравитационная постоянная в n -мерном пространстве-времени.Следовательно, это решение уравнений поля Эйнштейна :

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,$

где $G_{\mu \nu }$ является тензором Эйнштейна и $g_{\mu \nu }$ является метрикой пространства-времени. Знакомство с радиусом $\alpha$ как ${\textstyle \Lambda ={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}}$, это решение можно погрузить в $(n+1)$-мерное плоское пространство-время с метрикой $\mathrm {diag} (-1,-1,+1,\ldots ,+1)$ в координатах $(X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})$ следующим ограничением:

$-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.$

Глобальные координаты

$\mathrm {AdS} _{n}$параметризуется в глобальных координатах параметрами $(\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})$ как:

${\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}$,

где ${\hat {x}}_{i}$ параметризовать a $S^{n-2}$ сфере, а по координатам $\varphi _{i}$ они есть ${\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}$, ${\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}$, ${\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}$ и так далее. $\mathrm {AdS} _{n}$ метрика в этих координатах равна:

$ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)$

где $\tau \in [0,2\pi ]$ и $\rho \in \mathbb {R} ^{+}$. Учитывая периодичность времени $\tau$ и чтобы избежать замкнутых времениподобных кривых (КТК), следует взять универсальное накрытие $\tau \in \mathbb {R}$. В пределе $\rho \to \infty$ можно приблизиться к границе этого пространства-времени, обычно называемого $\mathrm {AdS} _{n}$ конформная граница.

С преобразованиями $r\equiv \alpha \sinh \rho$ и $t\equiv \alpha \tau$ мы можем иметь обычное дело $\mathrm {AdS} _{n}$ метрика в глобальных координатах:

$ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}$

где $f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Координаты Пуанкаре

По следующей параметризации:

${\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},$

тот $\mathrm {AdS} _{n}$ метрика в координатах Пуанкаре:

$ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}$

в котором $0\leq r$. Поверхность коразмерности 2 $r=0$ – это горизонт Пуанкаре-Киллинга и $r\to \infty$ подходы к границе $\mathrm {AdS} _{n}$ пространство-время. Таким образом, в отличие от глобальных координат, координаты Пуанкаре не охватывают все $\mathrm {AdS} _{n}$ многообразие . С использованием $u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}$ эту метрику можно записать следующим образом:

$ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)$

где $x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)$. По преобразованию $z\equiv {\frac {1}{u}}$ также это можно записать как:

$ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).$

Эти последние координаты являются координатами, которые обычно используются в соответствии AdS/CFT , при этом граница AdS находится на уровне $z\to 0$.

Координаты открытого разреза FRW

Поскольку AdS максимально симметричен, его также можно представить в пространственно однородной и изотропной форме, как пространство-время FRW (см. метрику Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера ). Пространственная геометрия должна быть отрицательно изогнутой (открытой), а метрика

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},$

где $dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}$ является стандартной метрикой $(n-1)$-мерная гиперболическая плоскость. Конечно, это не охватывает всю AdS. Эти координаты связаны с глобальными координатами встраивания соотношением

${\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}$

где $\sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1$ параметризовать $S^{n-3}$.

Они сидят и нарезают

Позволять

${\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}$

где $\sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1$ параметризовать $S^{n-3}$. Тогда метрика гласит:

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},$

где

$ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}$

является метрикой $n-1$ размерное пространство де Ситтера с радиусом кривизны $\alpha$ в координатах открытого среза. Гиперболическая метрика определяется следующим образом:

$dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.$

Геометрические свойства

Метрика AdS _n с радиусом $\alpha$ является одним из максимальных симметричных n -мерных пространств-временей. Он обладает следующими геометрическими свойствами:

Тензор кривизны Римана

$R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })$

Фигурные кривые

$R_{\mu \nu }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(n-1)g_{\mu \nu }$

Скалярная кривизна

$R={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}n(n-1)$

Ссылки

• Цинмин Ченг (2001) [1994], «Пространство Анти-де Ситтера» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллис, СКФ ; Хокинг, SW (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press , стр. 131–134.
• Фрэнсис, К. (2005). «Конформная граница антидеситтеровского пространства-времени». Соответствие AdS/CFT: метрики Эйнштейна и их конформные границы . Лекции ИРМА по математике и теоретической физике. Том. 8. Цюрих: Европейское математическое общество. стр. 205–216. дои : 10.4171/013-1/8 . ISBN  978-3-03719-013-5 .
• Мацуда, Х. (1984). «Заметка об изометрическом вложении верхнего полупространства в пространство антиде Ситтера» (PDF) . Математический журнал Хоккайдо . 13 (2): 123–132. дои : 10.14492/hokmj/1381757712 . Проверено 4 февраля 2017 г.
• Вольф, Джозеф А. (1967). Пространства постоянной кривизны . п. 334.

Внешние ссылки

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтера - педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физико-математическим образованием.