Ламбдавакуумный раствор

В общей теории относительности представляет решение лямбдавакуума собой точное решение уравнения поля Эйнштейна , в котором единственным членом тензора энергии-импульса является космологическая постоянная . Физически это можно интерпретировать как своего рода классическое приближение к ненулевой энергии вакуума . Они обсуждаются здесь в отличие от вакуумных решений , в которых космологическая постоянная обращается в нуль.

Терминологическое примечание: эта статья касается стандартной концепции, но, по-видимому, не существует стандартного термина для обозначения этой концепции, поэтому мы попытались предоставить его на благо Википедии .

Определение

Уравнение поля Эйнштейна часто записывается как $$G^{ab}+\Lambda \,g^{ab}=\kappa \,T^{ab},$$с так называемым космологическим постоянным членом $\Lambda \,g^{ab}$. Однако можно переместить этот член в правую часть и включить его в тензор энергии-импульса $T^{ab}$, так что член космологической постоянной становится всего лишь еще одним вкладом в тензор энергии-импульса. Когда другие вклады в этот тензор исчезают, результат $$G^{ab}=-\Lambda \,g^{ab}$$представляет собой лямбдавакуум. Эквивалентная формулировка в терминах тензора Риччи : $$R^{ab}=\left({\tfrac {1}{2}}R-\Lambda \right)\,g^{ab}.$$

Физическая интерпретация

Ненулевой космологический постоянный член можно интерпретировать в терминах ненулевой энергии вакуума . Есть два случая:

• $\Lambda >0$: положительная плотность энергии вакуума и отрицательное изотропное давление вакуума, как в пространстве де Ситтера ,
• $\Lambda <0$: отрицательная плотность энергии вакуума и положительное изотропное давление вакуума, как в антиде-ситтеровском пространстве .

Идея о том, что плотность энергии вакуума не равна нулю, может показаться нелогичной, но в квантовой теории поля это имеет смысл. Действительно, ненулевая энергия вакуума может быть даже экспериментально подтверждена в эффекте Казимира .

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля системы координат, а не координатного базиса, часто называют физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем. Кадр состоит из четырех полей единичных векторов. $${\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$$Здесь первое — времяподобное поле единичного вектора, а остальные — пространственноподобное поле единичного вектора, а ${\vec {e}}_{0}$ всюду ортогональна мировым линиям семейства наблюдателей (не обязательно инерциальных наблюдателей).

Примечательно, что в случае лямбдавакуума все наблюдатели измеряют одинаковую плотность энергии и одинаковое (изотропное) давление. То есть тензор Эйнштейна принимает вид $$G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$$Сказать, что этот тензор принимает одинаковую форму для всех наблюдателей, — то же самое, что сказать, что группа изотропии лямбдавакуума — это SO(1,3) , полная группа Лоренца .

Собственные значения

Характеристический многочлен тензора Эйнштейна лямбдавакуума должен иметь вид $$\chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}$$Используя тождества Ньютона , это условие может быть перевыражено через следы степеней тензора Эйнштейна как $$t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}$$где $${\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}$$являются следами степеней линейного оператора, соответствующего тензору Эйнштейна, имеющему второй ранг.

Связь с многообразиями Эйнштейна

Определение решения лямбдавакуума имеет математический смысл независимо от какой-либо физической интерпретации, а лямбдавакуумы представляют собой особый случай концепции, которую изучают чистые математики.

Многообразия Эйнштейна — это псевдоримановы многообразия, в которых тензор Риччи пропорционален метрическому тензору . Лоренцевы многообразия, которые также являются многообразиями Эйнштейна, являются в точности решениями лямбдавакуума.

Примеры

К заслуживающим внимания отдельным примерам лямбдавакуумных решений относятся:

• пространство де Ситтера , часто называемое космологической моделью dS ,
• антидеситтеровское пространство , часто называемое космологической моделью AdS ,
• метрика де Ситтера – Шварцшильда , которая моделирует сферически симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера (а также для AdS),
• Метрика Керра – де Ситтера , вращающееся обобщение последней,
• Нариаи пространство-время ; это единственное решение в общей теории относительности, кроме электровакуума Бертотти-Робинсона , которое имеет декартову структуру произведения.

См. также

• Точные решения в общей теории относительности