Окружающая конструкция

В конформной геометрии окружающая конструкция относится к конструкции Чарльза Феффермана и Робина Грэма. для которого конформное многообразие размерности n реализуется ( объемлемо ) как граница некоторого многообразия Пуанкаре или, альтернативно, как небесная сфера некоторого псевдориманова многообразия.

Объемлющая конструкция канонична в том смысле, что она осуществляется только с использованием конформного класса метрики: она конформно инвариантна. Однако конструкция работает только асимптотически , до определенного порядка аппроксимации . В целом существует препятствие для продолжения этого расширения после критического порядка. Само препятствие имеет тензорный характер и известно как (конформный) тензор препятствия . Это, наряду с тензором Вейля , один из двух примитивных инвариантов в конформной дифференциальной геометрии.

Помимо тензора препятствий, объемлющая конструкция может использоваться для определения класса конформно-инвариантных дифференциальных операторов, известных как операторы GJMS .

Родственной конструкцией является тракторная связка .

Обзор

Плоская геометрия модели для окружающей конструкции представляет собой будущий нулевой конус в пространстве Минковского с удаленным началом координат. Небесная сфера на бесконечности — это конформное многообразие M нулевые лучи в конусе определяют линейное расслоение над M. , а Более того, нулевой конус несет в себе метрику, вырождающуюся в направлении образующих конуса.

Тогда конструкция окружающего пространства в этом плоском модельном пространстве задает вопрос: если у кого-то есть такое линейное расслоение вместе с его вырожденной метрикой, до какой степени возможно расширить метрику от нулевого конуса каноническим способом, восстанавливая тем самым окружающее пространство? Пространство Минковского? Формально, вырожденная метрика обеспечивает граничное условие Дирихле для задачи расширения, и, как это бывает, естественным условием является то, чтобы расширенная метрика была плоской по Риччи (из-за нормализации нормальной конформной связности ).

Окружающая конструкция обобщает это на случай, когда M конформно искривлено, сначала путем построения естественного нулевого линейного расслоения N с вырожденной метрикой, а затем решения соответствующей задачи Дирихле на N × (-1,1).

Подробности

В этом разделе представлен обзор конструкции сначала нулевого линейного пакета, а затем его внешнего расширения.

Пучок нулевых строк

Предположим, что M — конформное многообразие и что [ g ] обозначает конформную метрику, определенную M. на Обозначим через π : N → M тавтологическое подрасслоение в T ^* М ⊗ Т ^* M определяется всеми представителями конформной метрики. В терминах фиксированной фоновой метрики 0 _N g состоит из всех положительных кратных ω ² g ₀ метрики. Существует естественное действие R ⁺ на N , заданный формулой

$\delta _{\omega }g=\omega ^{2}g$

Более того, все пространство N соответствующая содержит тавтологическую вырожденную метрику, поскольку если p — точка слоя π : N → M, конформному представителю g _p , то пусть

$h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).$

Эта метрика вырождается по вертикали. При этом он однороден степени 2 относительно R ⁺ действие на N :

$\delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h$

Пусть X — вертикальное векторное поле, генерирующее масштабирующее действие. Тогда следующие свойства являются непосредственными:

час ( Икс ,-) = 0

L _X h = 2 h , где L _X — производная Ли вдоль векторного X. поля

Окружающее пространство

Пусть N ^~ = N × (-1,1), с естественным включением i : N → N ^~ . Расширения δ _ω естественным образом продолжаются на N ^~ , а значит, и генератор X. расширения

Окружающая метрика на N ^~ является лоренцевой метрикой h ^~ такой, что

• Метрика однородна : δ _ω ^* час ^~ = о ² час ^~
• Метрика является внешним расширением : i ^* час ^~ = h , где я ^* – обратный ход вдоль естественного включения.
• Метрика является плоской Риччи : Ric( h ^~ ) = 0.

Предположим, что фиксированный представитель конформной метрики g и локальная система координат x = ( x ^я ) выбираются на M . Они индуцируют координаты на N, идентифицируя точку в слое N с ( x , t ² g ( x )) где t > 0 — координата слоя. (В этих координатах X = t ∂ _t .) Наконец, если ρ является определяющей функцией N в N ^~ который однороден степени 0 при растяжениях, то ( x , t ,ρ) — координаты N ^~ . При этом любую метрику расширения, однородную степени 2, можно записать в этих координатах в виде:

$h^{\sim }=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,$

где g _ij равны n ² функции с g ( x ,0) = g ( x ), данным конформным представителем.

После некоторых расчетов можно показать, что плоскость Риччи эквивалентна следующему дифференциальному уравнению, где штрих представляет собой дифференцирование по ρ:

$\rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.$

Затем можно формально решить это уравнение как степенной ряд по ρ, чтобы получить асимптотическое развитие окружающей метрики от нулевого конуса. Например, замена ρ = 0 и решение дает

г _ij ^′ ( x ,0) = 2 п _ij

где P — тензор Схоутена . Далее снова дифференцируем и подставляем известное значение g _ij ^′ ( x ,0) в уравнение, вторая производная может оказаться кратной тензору Баха . И так далее.

См. также

• Переписка AdS/CFT
• Голографический принцип

Ссылки

• Чарльз Фефферман; Робин Грэм, К. (2007). «Окружающая метрика». arXiv : 0710.0919 [ math.DG ].