Jump to content

Риччи-плоское многообразие

(Перенаправлено с квартиры Риччи )

В математической области геометрии дифференциальной Риччи-плоскость является условием кривизны риманова многообразия . Риччи-плоские многообразия — это особый вид многообразий Эйнштейна . В теоретической физике риччи-плоские лоренцевы многообразия представляют фундаментальный интерес, так как являются решениями уравнений поля Эйнштейна в вакууме с исчезающей космологической постоянной .

В лоренцевой геометрии ряд риччи-плоских метрик известен из работ Карла Шварцшильда , Роя Керра и Ивонны Шоке-Брюа . В римановой геометрии разрешение -Тунг Яу Шинг гипотезы Калаби привело к появлению ряда риччи-плоских метрик на кэлеровых многообразиях .

Определение

[ редактировать ]

Псевдориманово многообразие называется Риччи-плоским, если его кривизна Риччи равна нулю. [1] Непосредственно проверить, что, за исключением размерности два, метрика является Риччи-плоской тогда и только тогда, когда ее тензор Эйнштейна равен нулю. [2] Риччи-плоские многообразия — один из трёх специальных типов многообразий Эйнштейна , возникающих как частный случай скалярной кривизны, равной нулю.

Из определения тензора кривизны Вейля сразу видно, что любая Риччи-плоская метрика имеет кривизну Вейля, равную тензору кривизны Римана . Взяв следы , легко увидеть, что обратное также верно. Это также можно сформулировать так: Риччи-плоскость характеризуется исчезновением двух невейлевских частей разложения Риччи .

Поскольку кривизна Вейля исчезает в двух или трех измерениях, каждая Риччи-плоская метрика в этих измерениях является плоской . И наоборот, из определений автоматически следует, что любая плоская метрика является Риччи-плоской. Изучение плоских метрик обычно рассматривается как отдельная тема. Таким образом, изучение риччи-плоских метрик является отдельной темой только в измерении четыре и выше.

Как отмечалось выше, любая плоская метрика является Риччи-плоской. Однако идентифицировать Риччи-плоские многообразия, полная кривизна которых отлична от нуля, нетривиально.

В 1916 году Карл Шварцшильд нашел метрики Шварцшильда , которые представляют собой Риччи-плоские лоренцевы многообразия ненулевой кривизны. [3] Позже Рой Керр обнаружил метрики Керра , двухпараметрическое семейство, содержащее метрики Шварцшильда как особый случай. [4] Эти метрики полностью явны и представляют фундаментальный интерес для математики и физики черных дыр . В более общем смысле, в общей теории относительности Риччи-плоские лоренцевы многообразия представляют собой вакуумные решения уравнений поля Эйнштейна с исчезающей космологической постоянной . [5]

Многие псевдоримановы многообразия строятся как однородные пространства . Однако эти конструкции не приносят прямой пользы для Риччи-плоских римановых метрик в том смысле, что любое однородное риманово многообразие, которое является Риччи-плоским, должно быть плоским. [6] Однако существуют однородные (и даже симметричные ) лоренцевы многообразия, которые являются Риччи-плоскими, но не плоскими, как следует из явного построения и вычисления алгебр Ли . [7]

До Шинг-Тунг Яу разрешения гипотезы Калаби в 1970-х годах не было известно, является ли каждая Риччи-плоская риманова метрика на замкнутом многообразии плоской. [8] Его работа, используя методы уравнений в частных производных , создала всеобъемлющую теорию существования риччи-плоских метрик в специальном случае кэлеровых метрик на замкнутых комплексных многообразиях . Благодаря его аналитическим методам метрики неявны даже в самых простых случаях. Такие римановы многообразия часто называют многообразиями Калаби–Яу , хотя разные авторы используют это название несколько по-разному. [9]

Аналитический характер

[ редактировать ]

Относительно гармонических координат условие Риччи-плоскости римановой метрики можно интерпретировать как систему эллиптических уравнений в частных производных . является Прямым следствием стандартных результатов об эллиптической регулярности то, что любая Риччи-плоская риманова метрика на гладком многообразии является аналитической в ​​том смысле, что гармонические координаты определяют совместимую аналитическую структуру , а локальное представление метрики является вещественно-аналитическим . Это справедливо и в более широком контексте римановых метрик Эйнштейна. [10]

Аналогично относительно гармонических координат Риччи-плоскость лоренцевой метрики можно интерпретировать как систему гиперболических уравнений в частных производных . Основываясь на этой точке зрения, Ивонн Шоке-Брюа разработала корректность условия Риччи-плоскости. Она достигла окончательного результата в сотрудничестве с Робертом Герохом в 1960-х годах, установив, как определенный класс максимально расширенных Риччи-плоских лоренцевых метрик задается и строится на основе определенных римановых данных. Они известны как максимальные глобально гиперболические развития . В общей теории относительности это обычно интерпретируется как начальная формулировка уравнений поля гравитации Эйнштейна. [11]

Исследование Риччи-плоскости в римановом и лоренцевом случаях весьма различно. На это уже указывает фундаментальное различие между геодезически полными метриками, типичными для римановой геометрии, и максимальными глобально-гиперболическими разработками, возникающими из работ Шоке-Брюа и Героха. Более того, аналитичность и соответствующее ей однозначное продолжение римановой метрики с Риччи имеют принципиально иной характер, чем плоские с Риччи лоренцевы метрики, которые имеют конечные скорости распространения и полностью локализуемые явления. Это можно рассматривать как нелинейный геометрический аналог разницы между уравнением Лапласа и волновым уравнением .

Топология Риччи-плоских римановых многообразий

[ редактировать ]

Теорема Яу о существовании риччи-плоских кэлеровых метрик установила точное топологическое условие, при котором такая метрика существует на данном замкнутом комплексном многообразии : первый класс Чженя голоморфного касательного расслоения должен быть равен нулю. Необходимость этого условия была ранее известна теорией Черна–Вейля .

За пределами кэлеровой геометрии ситуация не так хорошо понята. Четырехмерное замкнутое и ориентированное многообразие, поддерживающее любую риманову метрику Эйнштейна, должно удовлетворять неравенству Хитчина-Торпа на своих топологических данных. Как частные случаи известных теорем о римановых многообразиях неотрицательной кривизны Риччи, любое многообразие с полной Риччи-плоской римановой метрикой должно: [12]

Михаил Громов и Блейн Лоусон ввели понятие расширяемости замкнутого многообразия. Класс расширяемых многообразий замкнут относительно гомотопической эквивалентности , взятия произведений и связной суммы с произвольным замкнутым многообразием. Каждое Риччи-плоское риманово многообразие в этом классе является плоским, что является следствием теоремы расщепления Чигера и Громолла . [13]

Риччи-плоскость и голономия

[ редактировать ]

На односвязном кэлеровом многообразии кэлерова метрика является Риччи-плоской тогда и только тогда, когда группа голономии содержится в специальной унитарной группе . На общем кэлеровом многообразии направление if по-прежнему сохраняется, но только ограниченная группа голономии риччи-плоской кэлеровой метрики обязательно содержится в специальной унитарной группе. [14]

Гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие, группа голономии которого содержится в симплектической группе . Это условие на римановом многообразии можно также охарактеризовать (грубо говоря) существованием 2-сферы комплексных структур , все из которых параллельны . Это, в частности, говорит о том, что каждая гиперкэлерова метрика является кэлеровой; более того, согласно теореме Амброуза-Зингера каждая такая метрика является Риччи-плоской. Теорема Калаби–Яу специализируется на этом контексте, давая общую теорему существования и единственности гиперкелеровых метрик на компактных кэлеровах многообразиях, допускающих голоморфно симплектические структуры. Примеры гиперкелеровых метрик на некомпактных пространствах ранее были получены Эудженио Калаби . конструкции . Открытое тогда же пространство Эгучи–Хэнсона является частным случаем его [15]

Кватернион -кэлерово многообразие — это риманово многообразие, группа голономии которого содержится в группе Ли Sp(n) · Sp(1) . Марсель Бергер показал, что любая такая метрика должна быть эйнштейновской. Более того, любое Риччи-плоское кватернион-кэлерово многообразие должно быть локально гиперкелеровым, а это означает, что ограниченная группа голономии содержится в симплектической группе. [16]

Многообразие G 2 это риманово или Spin(7) многообразие, группа голономии которого содержится в группах Ли Spin(7) или G 2 . Из теоремы Амброуза -Зингера следует, что любое такое многообразие является Риччи-плоским. [17] Существование замкнутых многообразий такого типа было установлено Домиником Джойсом в 1990-х годах. [18]

Марсель Бергер заметил, что все известные примеры неприводимых Риччи-плоских римановых метрик на односвязных замкнутых многообразиях имеют специальные группы голономии в соответствии с указанными выше возможностями. Неизвестно, предполагает ли это неизвестную общую теорему или просто ограничение известных методов. По этой причине Бергер считал Риччи-плоские многообразия «чрезвычайно загадочными». [19]

Примечания.

  1. ^ О'Нил 1983 , с. 87.
  2. ^ О'Нил 1983 , с. 336.
  3. ^ Бесс 1987 , Раздел 3F; Миснер, Торн и Уиллер, 1973 , глава 31; О'Нил 1983 , глава 13; Шварцшильд 1916г .
  4. ^ Керр 1963 ; Миснер, Торн и Уилер, 1973 , глава 33.
  5. ^ Бесс 1987 , Раздел 3C.
  6. ^ Бесс 1987 , Теорема 7.61.
  7. ^ Бесс 1987 , Теорема 7.118.
  8. ^ Бесс 1987 , Параграф 0.30.
  9. ^ Бесс 1987 , разделы 11B – C; Яу 1978 .
  10. ^ Бесс 1987 , Раздел 5F.
  11. ^ Хокинг и Эллис 1973 , разделы 7.5–7.6.
  12. ^ Бесс 1987 , Разделы 6D – E.
  13. ^ Лоусон и Михельсон, 1989 , Раздел IV.5.
  14. ^ Бесс 1987 , Предложение 10.29.
  15. ^ Бесс 1987 , разделы 14A – C.
  16. ^ Бесс 1987 , Раздел 14D.
  17. ^ Бесс 1987 , Раздел 10F.
  18. ^ Бергер 2003 , раздел 13.5.1; Джойс 2000 .
  19. ^ Бергер 2003 , раздел 11.4.6.

Источники.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 030a794beb46d8de0fb756d1e0f61442__1711387380
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/03/42/030a794beb46d8de0fb756d1e0f61442.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ricci-flat manifold - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)