Глобально гиперболическое многообразие

В математической физике глобальная гиперболичность — это определенное условие причинной структуры то ( пространственно -временного многообразия есть лоренцева многообразия). Она называется гиперболической по аналогии с линейной теорией распространения волн , где будущее состояние системы задается начальными условиями . (В свою очередь, ведущим символом волнового оператора является гиперболоид . ) Это относится к относительности Альберта Эйнштейна теории общей и, возможно, к другим метрическим теориям гравитации.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений глобальной гиперболичности. Пусть M — гладкое связное лоренцево многообразие без края. Сделаем следующие предварительные определения:

M не является полностью порочным, если существует хотя бы одна точка, через которую не проходит замкнутая времениподобная кривая.
M является причинным, если оно не имеет замкнутых причинных кривых.
M не является тотальным заключением , если в компактном множестве не содержится ни одна нерастяжимая причинная кривая. Это свойство подразумевает причинность.
M является сильно причинным, если для каждой точки p и любой окрестности U точки p существует причинно-выпуклая окрестность точки p , содержащаяся в U , причем причинная выпуклость означает, что любая причинная кривая с концами в V полностью содержится в V. V Это свойство подразумевает неполное тюремное заключение.
Учитывая любую точку p в M , $J^{+}(p)$ [отв. $J^{-}(p)$ ] — это совокупность точек, которых можно достичь с помощью направленного в будущее [соответственно. направленная в прошлое] непрерывная причинно-следственная кривая, начинающаяся с p .
Учитывая подмножество S в M , областью зависимости S таких является множество всех точек p в M, , что каждая непродолжаемая причинная кривая, проходящая через , пересекает S. p
Подмножество S из M является хрональным , если ни одна времениподобная кривая не пересекает S более одного раза.
Поверхность Коши для M представляет собой замкнутое ахрональное множество, областью зависимости которого является M .

Следующие условия эквивалентны:

Пространство-время является причинным, и для каждой пары точек p и q в M пространство непрерывных, направленных в будущее причинных кривых от p до q компактно в пространстве-времени. ${\mathcal {C}}^{0}$ топология.
Пространство-время имеет поверхность Коши.
Пространство-время причинно, и для каждой пары точек p и q в M подмножество $J^{-}(p)\cap J^{+}(q)$ компактен.
Пространство-время не является тотальным заточением, и для каждой пары точек p и q в M подмножество ${J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ содержится в компакте (т. е. его замыкание компактно).

Если какое-либо из этих условий выполняется, мы говорим, что M гиперболично глобально . Если M — гладкое связное лоренцево многообразие с краем, мы говорим, что оно глобально гиперболично, если его внутренность глобально гиперболична.

Другие эквивалентные характеристики глобальной гиперболичности используют понятие лоренцева расстояния. $d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )$ где супремум берется за все $C^{1}$ причинные кривые, соединяющие точки (по соглашению d=0, если такой кривой нет). Они есть

Сильно причинное пространство-время, для которого $d$ имеет конечное значение. ^[1]
Нетотальное заключающее пространство-время такое, что $d$ непрерывен для любого выбора метрики в конформном классе исходной метрики.

Примечания

Глобальная гиперболичность в первой форме, приведенной выше, была введена Лере. ^[2] для рассмотрения корректности задачи Коши для волнового уравнения на многообразии. В 1970 году Герох ^[3] доказали эквивалентность определений 1 и 2. Определение 3 в предположении сильной причинности и его эквивалентность первым двум было дано Хокингом и Эллисом. ^[4]

Как уже упоминалось, в более старой литературе условие причинности в первом и третьем определениях глобальной гиперболичности, приведенных выше, заменяется более сильным условием сильной причинности . В 2007 году Берналь и Санчес ^[5] показал, что условие сильной причинности можно заменить причинностью. В частности, любое глобально гиперболическое многообразие, определенное в разделе 3, является сильно причинным. Позже Хуннонкпе и Мингуцци ^[6] доказал, что для вполне разумных пространств-временей, точнее для пространств размерности больше трех, которые некомпактны или не полностью порочны, «причинное» условие можно исключить из определения 3.

В определении 3 замыкание $J^{-}(p)\cap J^{+}(q)$ кажется сильным (фактически, замыкания множеств $J^{\pm }(p)$ подразумевают причинную простоту , уровень причинной иерархии пространства-времени. ^[7] которая остается чуть ниже глобальной гиперболичности). Эту проблему можно решить, усилив условие причинности, как в определении 4, предложенном Мингуцци. ^[8] в 2009 году. Эта версия поясняет, что глобальная гиперболичность устанавливает условие совместимости между причинным отношением и понятием компактности: каждый причинный ромб содержится в компактном множестве, а каждая нерасширяемая причинная кривая выходит за пределы компактных множеств. Заметьте, что чем больше семейство компактных множеств, тем легче причинным ромбам удерживаться в каком-то компактном множестве, но тем труднее причинным кривым выйти за пределы компактных множеств. Таким образом, глобальная гиперболичность устанавливает баланс между обилием компактов и причинной структурой. Поскольку более тонкие топологии имеют менее компактные множества, мы также можем сказать, что баланс зависит от количества открытых множеств с учетом причинной связи.Определение 4 также устойчиво при возмущениях метрики (которые в принципе могут привести к появлению замкнутых причинных кривых). Фактически с помощью этой версии было показано, что глобальная гиперболичность устойчива при возмущениях метрики. ^[9]

В 2003 году Берналь и Санчес ^[10] показал, что любое глобально гиперболическое многообразие M имеет гладкую вложенную трехмерную поверхность Коши и, кроме того, что любые две поверхности Коши для M диффеоморфны. В частности, M диффеоморфно произведению поверхности Коши с $\mathbb {R}$ . Ранее было хорошо известно, что любая поверхность Коши глобально гиперболического многообразия является вложенным трехмерным пространством. $C^{0}$ подмногообразие, любые два из которых гомеоморфны и такое, что многообразие топологически распадается как произведение поверхности Коши и $\mathbb {R}$ . В частности, глобально гиперболическое многообразие расслаивается на поверхности Коши.

С учетом формулировки начальных значений уравнений Эйнштейна глобальная гиперболичность рассматривается как очень естественное условие в контексте общей теории относительности в том смысле, что при произвольных начальных данных существует единственное максимальное глобально гиперболическое решение уравнений Эйнштейна.

См. также

Ссылки

^ Дж. К. Бим, П. Е. Эрлих и К. Л. Исли, «Глобальная лоренцева геометрия». Нью-Йорк: Марсель Деккер Inc. (1996).
^ Жан Лере, «Гиперболические дифференциальные уравнения». Мимеографированные записи, Принстон, 1952 год.
^ Роберт П. Герох, «Область зависимости», Журнал математической физики 11 , (1970) 437, 13 стр.
^ Стивен Хокинг и Джордж Эллис, «Крупномасштабная структура пространства-времени». Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1973).
^ Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «Глобально гиперболическое пространство-время можно определить как «каузальное», а не как «строго причинное»», Classical and Quantum Gravity 24 (2007), вып. 3, 745–749 [1]
^ Раймонд Н. Хоуннонкпе и Этторе Мингуцци, «Глобально гиперболическое пространство-время может быть определено без «каузального» условия», Classical and Quantum Gravity 36 (2019), 197001 [2]
^ Э. Мингуцци и М. Санчес, «Причинная иерархия пространства-времени», в «Последние разработки в псевдоримановой теории».геометрия ESI Lect. Математика. Phys., под редакцией Х. Баума и Д. Алексеевского (Издательство Европейского математического общества).House (EMS), Цюрих, 2008 г.), с. 299 [3]
^ Этторе Мингуцци, «Характеристика некоторых условий причинности посредством непрерывности лоренцева расстояния», Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]
^ Дж. Дж. Бенавидес Наварро и Э. Мингуцци, «Глобальная гиперболичность стабильна в интервальной топологии», Журнал математической физики 52 (2011), 112504 [5]
^ Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении», Communications in Mathematical Physics 243 (2003), вып. 3, 461–470 [6]

Хокинг, Стивен; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-09906-4 .
Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2 .

Эта относительности статья, посвященная теории , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[beem-1] Дж. К. Бим, П. Е. Эрлих и К. Л. Исли, «Глобальная лоренцева геометрия». Нью-Йорк: Марсель Деккер Inc. (1996).

[leray-2] Жан Лере, «Гиперболические дифференциальные уравнения». Мимеографированные записи, Принстон, 1952 год.

[geroch-3] Роберт П. Герох, «Область зависимости», Журнал математической физики 11 , (1970) 437, 13 стр.

[hawkingellis-4] Стивен Хокинг и Джордж Эллис, «Крупномасштабная структура пространства-времени». Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1973).

[bernal_sanchez1-5] Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «Глобально гиперболическое пространство-время можно определить как «каузальное», а не как «строго причинное»», Classical and Quantum Gravity 24 (2007), вып. 3, 745–749 [1]

[hounnonkpe_minguzzi-6] Раймонд Н. Хоуннонкпе и Этторе Мингуцци, «Глобально гиперболическое пространство-время может быть определено без «каузального» условия», Classical and Quantum Gravity 36 (2019), 197001 [2]

[minguzzi2-7] Э. Мингуцци и М. Санчес, «Причинная иерархия пространства-времени», в «Последние разработки в псевдоримановой теории».геометрия ESI Lect. Математика. Phys., под редакцией Х. Баума и Д. Алексеевского (Издательство Европейского математического общества).House (EMS), Цюрих, 2008 г.), с. 299 [3]

[minguzzi1-8] Этторе Мингуцци, «Характеристика некоторых условий причинности посредством непрерывности лоренцева расстояния», Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]

[benavides-9] Дж. Дж. Бенавидес Наварро и Э. Мингуцци, «Глобальная гиперболичность стабильна в интервальной топологии», Журнал математической физики 52 (2011), 112504 [5]

[bernal_sanchez2-10] Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, «О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении», Communications in Mathematical Physics 243 (2003), вып. 3, 461–470 [6]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]