Формулировка начального значения (общая теория относительности)
Первоначальная формулировка общей теории относительности является переформулировкой Альберта Эйнштейна общей теории относительности , которая описывает Вселенную , развивающуюся во времени .
Каждое решение уравнений поля Эйнштейна охватывает всю историю Вселенной – это не просто снимок того, как обстоят дела, но целое пространство-время : утверждение, охватывающее состояние материи и геометрии повсюду и в каждый момент в этой конкретной вселенной. Таким образом, теория Эйнштейна, по-видимому, отличается от большинства других физических теорий, которые определяют уравнения эволюции физических систем; если система находится в данном состоянии в какой-то данный момент, законы физики позволяют экстраполировать ее прошлое или будущее. Уравнения Эйнштейна, по-видимому, имеют тонкие различия по сравнению с другими полями: они являются самодействующими (то есть нелинейными даже в отсутствие других полей); они инвариантны к диффеоморфизму , поэтому для получения единственного решения необходимо ввести фиксированную фоновую метрику и калибровочные условия; наконец, метрика определяет структуру пространства-времени и, следовательно, область зависимости для любого набора исходных данных, поэтому область, в которой будет определено конкретное решение, априори не определена. [1]
Однако существует способ переформулировать уравнения Эйнштейна, который позволяет преодолеть эти проблемы. Прежде всего, существуют способы переписать пространство-время как эволюцию «пространства» во времени; более ранняя версия этого метода принадлежит Полю Дираку , а более простой способ известен в честь его изобретателей Ричарда Арновитта , Стэнли Дезера и Чарльза Миснера как формализм ADM . В этих формулировках, также известных как подходы «3+1», пространство-время разделено на трехмерную гиперповерхность с внутренней метрикой и вложение в пространство-время с внешней кривизной ; эти две величины являются динамическими переменными в гамильтоновой формулировке, отслеживающей эволюцию гиперповерхности с течением времени. [2] При таком расколе можно сформулировать исходную ценностную формулировку общей теории относительности . Он включает в себя исходные данные, которые не могут быть заданы произвольно, но должны удовлетворять конкретным уравнениям ограничений и которые определены на некотором подходящем гладком трехмерном многообразии. ; как и для других дифференциальных уравнений, тогда можно доказать теоремы существования и единственности , а именно, что существует уникальное пространство-время, которое является решением уравнений Эйнштейна, которое является глобально гиперболическим , для которого является поверхностью Коши (т.е. все прошлые события влияют на то, что происходит на , и на все будущие события влияет то, что на нем происходит), и имеет заданную внутреннюю метрику и внешнюю кривизну; все пространства-времени, удовлетворяющие этим условиям, связаны изометриями . [3]
Формулировка начального значения с разделением 3+1 является основой численной теории относительности ; попытки смоделировать эволюцию релятивистского пространства-времени (в частности, слияние черных дыр или гравитационный коллапс ) с помощью компьютеров. [4] Однако существуют существенные различия с моделированием других уравнений физической эволюции, которые делают числовую относительность особенно сложной задачей, в частности тот факт, что динамические объекты, которые развиваются, включают само пространство и время (поэтому не существует фиксированного фона, на котором можно было бы оценивать, например, , возмущения, представляющие гравитационные волны) и возникновение сингулярностей (которые, когда им разрешено возникать в моделируемой части пространства-времени, приводят к сколь угодно большим числам, которые должны быть представлены в компьютерной модели). [5]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ См. Хокинг и Эллис 1973 , с. 7.1.
- ^ Арновитт, Дезер и Миснер, 1962 ; педагогическое введение см. в Misner, Thorne & Wheeler 1973 , §21.4–§21.7.
- ^ Фурес-Брюа 1952 и Брюа 1962 ; педагогическое введение см. Wald 1984 , гл. 10; онлайн-обзор можно найти в Reula 1998 .
- ^ См. Гургульон, 2007 .
- ^ Обзор основ численной теории относительности, включая упомянутые здесь проблемы и дальнейшие трудности, см. в Lehner 2001 .
Ссылки
[ редактировать ]- Арновитт, Ричард; Дезер, Стэнли; Миснер, Чарльз В. (1962). «Динамика общей теории относительности». В Виттене, Л. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Уайли. стр. 227–265.
- Брюа, Ивонн (1962). «Проблема Коши». В Виттене, Л. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Уайли. п. 130.
- Фурес-Брюа, Ивонн (1952). «Теорема существования некоторых систем нелинейных уравнений в частных производных» . Акта Математика . 88 (1): 141–225. Бибкод : 1952AcMa...88..141F . дои : 10.1007/BF02392131 .
- Гургульон, Эрик (2007). Формализм 3+1 и основы числовой относительности . arXiv : gr-qc/0703035 . Бибкод : 2007gr.qc.....3035G .
- Хокинг, Стивен В.; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4 .
- Калвакота, Вайбхав Р. (1 июля 2021 г.). « Краткое изложение проблемы Коши в общей теории относительности ».
- Ленер, Луис (2001). «Численная относительность: обзор». Сорт. Квантовая гравитация . 18 (17): С25–С86. arXiv : gr-qc/0106072 . Бибкод : 2001CQGra..18R..25L . дои : 10.1088/0264-9381/18/17/202 . S2CID 9715975 .
- Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0 .
- Реула, Оскар А. (1998). «Гиперболические методы решения уравнений Эйнштейна» . Живой преподобный Относительный . 1 (1): 3. Бибкод : 1998LRR.....1....3R . дои : 10.12942/lrr-1998-3 . ПМК 5253804 . ПМИД 28191833 .
- Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2 .