Поверхность Коши

В математической области лоренцевой геометрии поверхность Коши представляет собой определенный вид подмногообразия лоренцева многообразия. В приложении лоренцевой геометрии к физике общей теории относительности поверхность Коши обычно интерпретируется как определяющая «момент времени». В математике общей теории относительности поверхности Коши обеспечивают граничные условия для причинной структуры , в которой могут быть решены уравнения Эйнштейна (используя, например, формализм ADM ).

Они названы в честь французского математика Огюстена-Луи Коши (1789-1857) из-за их актуальности для проблемы Коши общей теории относительности.

Неофициальное знакомство [ править ]

обычно формулируется в терминах общей теории относительности Хотя формальное понятие поверхности Коши , его можно понимать в знакомых терминах. Предположим, что люди могут путешествовать с максимальной скоростью 20 миль в час. Это налагает ограничения для любого конкретного человека на то, куда он может добраться к определенному времени. Например, человек, который находится в Мексике в 3 часа, не может прибыть в Ливию к 4 часам; однако может человек, который находится на Манхэттене в час дня, добраться до Бруклина к двум часам, поскольку эти места находятся на расстоянии десяти миль друг от друга. Говоря полуформально, не обращайте внимания на часовые пояса и трудности путешествия и предположите, что путешественники — бессмертные существа, живущие вечно.

Система всех возможных способов заполнения четырех пробелов в

«Человек в (месте 1) в (время 1) может добраться до (места 2) к (времени 2)»

определяет понятие причинной структуры . Поверхность Коши для этой причинной структуры представляет собой набор пар мест и времен, так что для любого гипотетического путешественника в коллекции есть ровно одна пара местоположения и времени, в течение которой путешественник находился в указанном месте в указанное время.

Существует ряд неинтересных поверхностей Коши. Например, одна поверхность Коши для этой причинной структуры получается путем рассмотрения сочетания каждого местоположения со временем в 1 час (в определенный указанный день), поскольку любой гипотетический путешественник должен был находиться в одном конкретном месте в это время; кроме того, ни один путешественник не может находиться в нескольких местах в это время. Напротив, для этой причинной структуры не может существовать никакой поверхности Коши, которая содержала бы одновременно пару (Манхэттен, 1 час) и (Бруклин, 2 часа), поскольку существуют гипотетические путешественники, которые могли бы быть на Манхэттене в 1 час. часы и Бруклин в 2 часа.

Есть также еще несколько интересных поверхностей Коши, которые труднее описать словесно. Можно определить функцию τ из совокупности всех местоположений в совокупность всех времен так, чтобы градиент τ везде был меньше 1/20 часа на милю. Тогда другой пример поверхности Коши дается набором пар

{\Big \{}{\big (}p,\tau (p){\big )}:p{\text{ a location on Earth}}{\Big \}}.

Дело в том, что для любого гипотетического путешественника должно существовать некоторое место $p$ , в котором путешественник находился в момент времени $τ(p)$ ; это следует из теоремы о промежуточном значении . Более того, невозможно, чтобы существовало два места $p$ и $q$ и чтобы существовал какой-то путешественник, который находился бы в $p$ в момент времени $τ(p)$ и в $q$ в момент времени $τ(q)$ , поскольку по теореме о среднем значении они бы в какой-то момент пришлось ехать на скорости $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ dist( п , q ) / |τ( п ) - τ( q )| ⁠$ , который должен быть больше «20 миль в час» из-за условия градиента τ: противоречие.

Физические теории специальной теории относительности и общей теории относительности определяют причинные структуры, которые схематически относятся к вышеуказанному типу («путешественник либо может, либо не может достичь определенной точки пространства-времени из определенной другой точки пространства-времени»), за исключением того, что места и времена не четко отделены друг от друга. Следовательно, можно говорить о поверхностях Коши и для этих причинных структур.

Математическое определение и основные свойства [ править ]

Пусть $(M, g)$ — лоренцево многообразие. Говорят, что отображение $c : (a, b) \to M$ является нерастяжимой дифференцируемой времениподобной кривой в $(M, g),$ если:

это дифференцируемо
$c (t)$ времениподобно для каждого $t$ в интервале $(a, b)$
$c (t)$ не приближается к пределу при $увеличении t$ до $b$ или при $t$ уменьшении $до a$ . ^[1]

Подмножество $S$ в $M$ называется поверхностью Коши , если каждая нерастяжимая дифференцируемая времениподобная кривая в $(M, g)$ имеет ровно одну точку пересечения с $S$ ; если такое подмножество существует, то $(M, g)$ называется глобально гиперболическим .

автоматически справедливо следующее $Для поверхности Коши S$ :

Подмножество $S \subset M$ топологически замкнуто и является вложенным непрерывным (и даже липшицевым) подмногообразием в $M$ . Поток любого непрерывного времениподобного векторного поля определяет гомеоморфизм $S \times ℝ \to M$ . Рассматривая ограничение обратной поверхности на другую поверхность Коши, можно увидеть, что любые две поверхности Коши гомеоморфны.

Трудно сказать больше о природе поверхностей Коши в целом. Пример

{\Big \{}(t,x,y,z):t^{2}={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{\Big \}}

как поверхность Коши для пространства Минковского $ℝ 3,1$ дает понять, что даже для «простейших» лоренцевых многообразий поверхности Коши могут не быть дифференцируемыми всюду (в данном случае в начале координат) и что гомеоморфизм $S \times ℝ \to M$ может не быть даже $C 1$ -диффеоморфизм. Однако тот же аргумент, что и для общей поверхности Коши, показывает, что если поверхность Коши $S$ является $C к$ -подмногообразие $M$ , то поток гладкого времениподобного векторного поля определяет $C к$ -диффеоморфизм $S \times ℝ \to M$ и что любые две поверхности Коши, которые обе являются $C к$ -подмногообразия $M$ будут $C к$ -диффеоморфный.

Более того, ценой невозможности рассмотреть произвольную поверхность Коши всегда можно найти гладкие поверхности Коши (Бернал и Санчес 2003):

Для любого гладкого лоренцева многообразия $(M, g)$ , имеющего поверхность Коши, существует поверхность Коши $S$ , которая является вложенным и пространственноподобным гладким подмногообразием $M$ и такая, что $S \times ℝ$ гладко диффеоморфно $M$ .

Коши События

Пусть $(M, g)$ — ориентированное по времени лоренцево многообразие. Говорят, что отображение $c : (a, b) \to M$ является нерасширяемой в прошлом дифференцируемой причинной кривой в $(M, g),$ если:

это дифференцируемо
$c'(t)$ является либо направленным в будущее времениподобным, либо направленным в будущее нулевым значением для каждого $t$ в интервале $(a, b)$
$c (t)$ не приближается к пределу, когда $t$ уменьшается до $a$

По тем же критериям определяют нерасширяемую в будущем дифференцируемую причинную кривую , заменяя фразу «по мере того, как $t$ уменьшается до $a$ » на «по мере того, как $t$ увеличивается до $b$ ». Учитывая подмножество $S$ из $M$ , будущее развитие Коши $D + (S)$ из $S$ определяется как состоящая из всех точек $p$ из $M$ таких, что если $c : (a, b) \to M$ — любая нерастяжимая в прошлом дифференцируемая причинная кривая такая, что $c (t) = p$ для некоторого $t$ из $(a, b)$ , то существует такой $s$ из $(a, b),$ c $(s) \in S.$ что Один определяет прошлое развитие Коши $D - (S)$ по тем же критериям, заменяя «нерастяжимое в прошлом» на «нерастяжимое в будущем».

Неофициально:

Будущее развитие Коши точки $S$ состоит из всех точек $p$ таких, что любой наблюдатель, достигающий точки $p,$ должен был пройти через $S$ ; прошлое развитие Коши $S$ состоит из всех точек $p$ таких, что любой наблюдатель, выходящий из $p,$ должен будет пройти через $S$ .

Развертывание Коши $D (S)$ представляет собой объединение будущего развития Коши и прошлого развития Коши.

Обсуждение [ править ]

Когда нет замкнутых времениподобных кривых, $D^{+}$ и $D^{-}$ это два разных региона. Когда измерение времени замыкается повсюду, образуя круг, будущее и прошлое ${\mathcal {S}}$ одинаковы и оба включают ${\mathcal {S}}$ . Поверхность Коши строго определена в терминах пересечений с нерастяжимыми кривыми, чтобы иметь дело с этим случаем кругового времени. Нерастяжимая кривая — это кривая, не имеющая концов: либо она продолжается вечно, оставаясь времениподобной или нулевой, либо замыкается сама в себе, образуя круг — замкнутую непространственноподобную кривую.

Когда существуют замкнутые времяподобные кривые или даже замкнутые непространственноподобные кривые, поверхность Коши по-прежнему определяет будущее, но будущее включает в себя саму поверхность. Это означает, что начальные условия подчиняются ограничению, и поверхность Коши не имеет того же характера, что и в случае, когда будущее и прошлое не пересекаются.

Если нет замкнутых времениподобных кривых, то, учитывая ${\mathcal {S}}$ частичная поверхность Коши и если $D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})={\mathcal {M}}$ , все многообразие , тогда ${\mathcal {S}}$ является поверхностью Коши. Любая поверхность постоянного $t$ в пространстве-времени Минковского есть поверхность Коши.

Горизонт Коши [ править ]

Если $D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})\not ={\mathcal {M}}$ тогда существует горизонт Коши между $D^{\pm }({\mathcal {S}})$ и области многообразия, не полностью определяемые информацией о ${\mathcal {S}}$ . Ярким физическим примером горизонта Коши является второй горизонт внутри заряженной или вращающейся черной дыры. Самый внешний горизонт — это горизонт событий , за пределы которого информация не может выйти, но будущее которого по-прежнему определяется внешними условиями. Внутри внутреннего горизонта, горизонта Коши, сингулярность видна, и для предсказания будущего требуются дополнительные данные о том, что исходит из сингулярности.

Поскольку горизонт Коши черной дыры образуется только в области исходящих геодезических, в радиальных координатах, в области, где центральная сингулярность является отталкивающей, трудно представить, как именно он формируется. По этой причине Керр и другие предполагают, что горизонт Коши никогда не образуется, вместо этого внутренний горизонт на самом деле представляет собой пространственно- или времяподобную сингулярность. Внутренний горизонт соответствует нестабильности из-за массовой инфляции . ^[2]^[3]^[4]

Однородное пространство-время с горизонтом Коши — это антидеситтеровское пространство .

См. также [ править ]

Причинная структура

Ссылки [ править ]

^ Требуется, чтобы для всех точек $p$ в $M$ существовала открытая окрестность $U$ точки $p$ и последовательность $t k,$ которая увеличивается до $b$ , и последовательность $sk,$ убывающая до $a$ такая, что $c (t k)$ и $c (s k)$ не содержатся в $U$ ни при каком $k$ . Это определение имеет смысл, даже если $M$ имеет только структуру топологического пространства .
^ Гамильтон, Эндрю Дж.С.; Авелино, Педро П. (2010), «Физика релятивистской неустойчивости противотока, которая вызывает массовую инфляцию внутри черных дыр», Physics Reports , 495 (1): 1–32, arXiv : 0811.1926 , Bibcode : 2010PhR... 495....1H , doi : 10.1016/j.physrep.2010.06.002 , ISSN 0370-1573 , S2CID 118546967
^ Пуассон, Эрик; Израиль, Вернер (1990). «Внутреннее строение черных дыр» . Физический обзор D . 41 (6): 1796–1809. Бибкод : 1990PhRvD..41.1796P . дои : 10.1103/PhysRevD.41.1796 . ПМИД 10012548 .
^ Ди Филиппо, Франческо; Карбальо-Рубио, Рауль; Освободись, Стефано; Пачилио, Константин; Виссер, Мэтт (28 марта 2022 г.). «О нестабильности внутреннего горизонта неособых черных дыр» . Вселенная . 8 (4): 204. arXiv : 2203.14516 . Бибкод : 2022Univ....8..204D . дои : 10.3390/universe8040204 .

Научные статьи

Шоке-Брюа, Ивонн; Герох, Роберт. Глобальные аспекты проблемы Коши в общей теории относительности. Комм. Математика. Физ. 14 (1969), 329–335.
Герох, Роберт. Область зависимости. Дж. Математическая физика. 11 (1970), 437–449.
Берналь, Антонио Н.; Санчес, Мигель. О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении. Комм. Математика. Физ. 243 (2003), вып. 3, 461–470.
Берналь, Антонио Н.; Санчес, Мигель. Гладкость функций времени и метрическое расщепление глобально гиперболических пространств-временей. Комм. Математика. Физ. 257 (2005), вып. 1, 43–50.

Учебники

Бим, Джон К.; Эрлих, Пол Э.; Исли, Кевин Л. Глобальная лоренцева геометрия. Второе издание. Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 202. Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 1996. xiv+635 стр. ISBN 0-8247-9324-2
Шоке-Брюа, Ивонн. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3
Хокинг, Юго-Запад; Эллис, СКФ Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембриджские монографии по математической физике, № 1. Издательство Кембриджского университета, Лондон-Нью-Йорк, 1973. xi+391 стр.
О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN 0-12-526740-1
Пенроуз, Роджер. Методы дифференциальной топологии в теории относительности. Совет конференции серии региональных конференций математических наук по прикладной математике, № 7. Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, 1972. viii+72 стр.
Уолд, Роберт М. Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1984. xiii+491 стр. ISBN 0-226-87032-4 ; 0-226-87033-2

[1] Требуется, чтобы для всех точек $p$ в $M$ существовала открытая окрестность $U$ точки $p$ и последовательность $t k,$ которая увеличивается до $b$ , и последовательность $sk,$ убывающая до $a$ такая, что $c (t k)$ и $c (s k)$ не содержатся в $U$ ни при каком $k$ . Это определение имеет смысл, даже если $M$ имеет только структуру топологического пространства .

[2] Гамильтон, Эндрю Дж.С.; Авелино, Педро П. (2010), «Физика релятивистской неустойчивости противотока, которая вызывает массовую инфляцию внутри черных дыр», Physics Reports , 495 (1): 1–32, arXiv : 0811.1926 , Bibcode : 2010PhR... 495....1H , doi : 10.1016/j.physrep.2010.06.002 , ISSN 0370-1573 , S2CID 118546967

[3] Пуассон, Эрик; Израиль, Вернер (1990). «Внутреннее строение черных дыр» . Физический обзор D . 41 (6): 1796–1809. Бибкод : 1990PhRvD..41.1796P . дои : 10.1103/PhysRevD.41.1796 . ПМИД 10012548 .

[4] Ди Филиппо, Франческо; Карбальо-Рубио, Рауль; Освободись, Стефано; Пачилио, Константин; Виссер, Мэтт (28 марта 2022 г.). «О нестабильности внутреннего горизонта неособых черных дыр» . Вселенная . 8 (4): 204. arXiv : 2203.14516 . Бибкод : 2022Univ....8..204D . дои : 10.3390/universe8040204 .

[1]

[2]

[3]

[4]