Состояние гармонических координат

Условие гармонической координаты — одно из нескольких координатных условий в общей теории относительности , которые позволяют решать уравнения поля Эйнштейна . Говорят, что система координат удовлетворяет условию гармонической координаты, если каждая из координатных функций x ^а (рассматриваемые как скалярные поля) удовлетворяет уравнению Даламбера . Параллельное понятие гармонической системы координат в римановой геометрии — это система координат, координатные функции которой удовлетворяют уравнению Лапласа . Поскольку уравнение Даламбера является обобщением уравнения Лапласа на пространство-время, его решения также называют «гармоническими».

Мотивация

Законы физики могут быть выражены в общеинвариантной форме. Другими словами, реальный мир не заботится о наших системах координат. Однако для того, чтобы мы могли решать уравнения, мы должны зафиксировать конкретную систему координат. Условие координат выбирает одну (или меньший набор) таких систем координат. Декартовы координаты, используемые в специальной теории относительности, удовлетворяют уравнению Даламбера, поэтому гармоническая система координат является наиболее близким приближением, доступным в общей теории относительности, к инерциальной системе отсчета в специальной теории относительности.

Вывод

В общей теории относительности нам приходится использовать ковариантную производную вместо частной производной в уравнении Даламбера, поэтому мы получаем:

$0=\left(x^{\alpha }\right)_{;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=\left(\left(x^{\alpha }\right)_{,\beta ,\gamma }-\left(x^{\alpha }\right)_{,\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }\,.$

Поскольку координата x ^а на самом деле это не скаляр, это не тензорное уравнение. То есть, оно не является вообще инвариантным. Но условия координат не должны быть вообще инвариантными, поскольку предполагается, что они выбирают (работают только для) одних систем координат, а не других. Поскольку частная производная координаты является дельтой Кронекера , мы получаем:

$0=\left(\delta _{\beta ,\gamma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\alpha }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }\right)g^{\beta \gamma }=\left(0-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }\right)g^{\beta \gamma }=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.$

И таким образом, опустив знак минус, мы получаем условие гармонической координаты (также известное как калибровка де Дондера по имени Теофиля де Дондера). ):

$0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\,.$

Это условие особенно полезно при работе с гравитационными волнами.

Альтернативная форма

Рассмотрим ковариантную производную плотности обратной величины метрического тензора:

$0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{;\rho }=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\rho }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,.$

Последний срок $-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }{\sqrt {-g}}$ появляется, потому что ${\sqrt {-g}}$ не является инвариантным скаляром, и поэтому его ковариантная производная не совпадает с его обычной производной. Скорее, ${\sqrt {-g}}_{;\rho }=0\!$ потому что $g_{;\rho }^{\mu \nu }=0\!$, пока ${\sqrt {-g}}_{,\rho }={\sqrt {-g}}\Gamma _{\sigma \rho }^{\sigma }\,.$

Сжимая ν с ρ и применяя ко второму члену условие гармонической координаты, получаем:

${\begin{aligned}0&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+g^{\sigma \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\sqrt {-g}}+g^{\mu \sigma }\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\sigma }{\sqrt {-g}}\,\\&=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }+0+g^{\mu \alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\sqrt {-g}}-g^{\mu \alpha }\Gamma _{\beta \alpha }^{\beta }{\sqrt {-g}}\,.\end{aligned}}$

Таким образом, мы получаем, что альтернативным способом выражения условия гармонической координаты является:

$0=\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }\,.$

Больше вариантов форм

Если выразить символ Кристоффеля через метрический тензор, получим

$0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \delta }\left(g_{\gamma \delta ,\beta }+g_{\beta \delta ,\gamma }-g_{\beta \gamma ,\delta }\right)g^{\beta \gamma }\,.$

Отбросив фактор $g^{\alpha \delta }\,$ и переставляя некоторые индексы и термины, получаем

$g_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,.$

В контексте линеаризованной гравитации это неотличимо от этих дополнительных форм:

${\begin{aligned}h_{\alpha \beta ,\gamma }\,g^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,g^{\beta \gamma }\,;\\g_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}g_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,;\\h_{\alpha \beta ,\gamma }\,\eta ^{\beta \gamma }&={\frac {1}{2}}h_{\beta \gamma ,\alpha }\,\eta ^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}$

Однако последние два представляют собой другое состояние координат, когда вы переходите ко второму порядку в h .

Влияние на волновое уравнение

Например, рассмотрим волновое уравнение, примененное к электромагнитному векторному потенциалу:

$0=A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }\,.$

Оценим правую часть:

$A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\alpha ;\sigma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.$

Используя условие гармонической координаты, мы можем исключить самый правый член и затем продолжить оценку следующим образом:

${\begin{aligned}A_{\alpha ;\beta ;\gamma }g^{\beta \gamma }&=A_{\alpha ;\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ;\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\\&=A_{\alpha ,\beta ,\gamma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho ,\gamma }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\rho }g^{\beta \gamma }-A_{\sigma ,\beta }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }-A_{\rho }\Gamma _{\sigma \beta }^{\rho }\Gamma _{\alpha \gamma }^{\sigma }g^{\beta \gamma }\,.\end{aligned}}$

См. также

• Символы Кристофера
• Ковариантная производная
• Калибровочная теория
• Общая теория относительности
• Общая ковариация
• Голономный базис
• Кронекера дельта
• Уравнение Лапласа
• Оператор Лапласа
• Фигурное исчисление
• Волновое уравнение

Ссылки

• ПАМДирак (1975), Общая теория относительности , Издательство Принстонского университета, ISBN   0-691-01146-X , глава 22

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/HarmonicCoordinates.html