Координатные условия

В общей теории относительности законы физики могут быть выражены в общековариантной форме. Другими словами, описание мира, данное законами физики, не зависит от нашего выбора систем координат. Однако часто бывает полезно зафиксироваться на конкретной системе координат, чтобы решать реальные проблемы или делать реальные прогнозы. Условие координат выбирает такую ​​систему координат.

Неопределенность в общей теории относительности

Уравнения поля Эйнштейна не определяют метрику однозначно, даже если известно, чему равен метрический тензор всюду в начальный момент времени. Эта ситуация аналогична неспособности уравнений Максвелла однозначно определить потенциалы. В обоих случаях неоднозначность можно устранить путем фиксации калибра . Таким образом, координатные условия являются разновидностью калибровочных условий. Ни одно координатное условие обычно не является ковариантным, но многие координатные условия являются лоренц-ковариантными или вращательно-ковариантными .

Наивно можно было бы подумать, что координатные условия примут форму уравнений эволюции четырех координат, и действительно в некоторых случаях (например, условие гармонических координат) их можно представить в такой форме. Однако чаще они появляются в виде четырех дополнительных уравнений (помимо уравнений поля Эйнштейна) эволюции метрического тензора. Сами по себе уравнения поля Эйнштейна не полностью определяют эволюцию метрики относительно системы координат. Может показаться, что да, поскольку существует десять уравнений для определения десяти компонентов метрики. Однако из-за второго тождества Бьянки тензора кривизны Римана дивергенция тензора Эйнштейна равна нулю, что означает, что четыре из десяти уравнений являются избыточными, оставляя четыре степени свободы, которые могут быть связаны с выбором четырех координат. Тот же результат можно получить из разложения Крамерса-Мойала-ван-Кампена уравнения Мастера (с использованием коэффициентов Клебша-Гордана для разложения тензорных произведений) .

Гармонические координаты

Основная статья: Состояние гармонических координат

Особенно полезным координатным условием является условие гармоник (также известное как «калибровка де Дондера»):

$0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.$

Здесь гамма — это символ Кристоффеля (также известный как «аффинная связь»), а «g» с верхними индексами — это инверсия метрического тензора . Это гармоническое состояние часто используется физиками при работе с гравитационными волнами . Это условие также часто используется для вывода постньютоновского приближения .

Хотя условие гармонической координаты, как правило, не является ковариантным, оно лоренц -ковариантное. Это координатное условие разрешает неоднозначность метрического тензора $g_{\mu \nu }\!$ предоставив четыре дополнительных дифференциальных уравнения, которым должен удовлетворять метрический тензор.

Синхронные координаты

Основная статья: Синхронные координаты

Еще одним особенно полезным условием координат является условие синхронизации:

$g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!$

и

$g_{00}=-1\!$.

Синхронные координаты также известны как гауссовы координаты. Они часто используются в космологии .

Условие синхронной координаты не является ни общековариантным, ни лоренц-ковариантным. Это координатное условие разрешает неоднозначность метрического тензора $g_{\mu \nu }\!$ предоставив четыре алгебраических уравнения, которым должен удовлетворять метрический тензор.

Другие координаты

Физики использовали множество других координатных условий, но ни один из них не был столь широко распространен, как описанный выше. Почти всем координатным условиям, используемым физиками, включая условия гармонических и синхронных координат, будет удовлетворять метрический тензор, который равен тензору Минковского везде . (Однако, поскольку тензор Римана и, следовательно, тензор Риччи для координат Минковского тождественно равен нулю, уравнения Эйнштейна дают нулевую энергию/материю для координат Минковского; поэтому координаты Минковского не могут быть приемлемым окончательным ответом.) В отличие от условий гармонических и синхронных координат, некоторые обычно используемые координатные условия могут быть либо недостаточно определяющими, либо чрезмерно определяющими.

Примером недостаточно детерминативного условия является алгебраическое утверждение о том, что определитель метрического тензора равен -1, что по-прежнему оставляет значительную калибровочную свободу. Это условие пришлось бы дополнить другими условиями, чтобы устранить неоднозначность в метрическом тензоре.

Примером сверхдетерминативного условия является алгебраическое утверждение о том, что разница между метрическим тензором и тензором Минковского представляет собой просто нулевое умножение на четыре вектора , что известно как Керра-Шилда . форма метрики Это условие Керра-Шилда выходит далеко за рамки устранения неоднозначности координат и, таким образом, также предписывает тип физической структуры пространства-времени. Определитель метрического тензора в метрике Керра-Шилда отрицательный, что само по себе является условием недодетерминации координат.

При выборе условий координат важно остерегаться иллюзий или артефактов, которые могут быть созданы этим выбором. Например, метрика Шварцшильда может включать кажущуюся сингулярность на поверхности, отдельной от точечного источника, но эта сингулярность является просто артефактом выбора условий координат, а не возникает из реальной физической реальности.

Если кто-то собирается решать уравнения поля Эйнштейна, используя приближенные методы, такие как постньютоновское разложение , то следует попытаться выбрать такое координатное условие, которое заставит разложение сходиться как можно быстрее (или, по крайней мере, предотвратит его расхождение). Аналогично, для численных методов необходимо избегать каустик (координатных сингулярностей).

Ковариантные координатные условия Лоренца

Если объединить условие координат, которое является ковариантным по Лоренцу, такое как условие гармонических координат, упомянутое выше, с уравнениями поля Эйнштейна , то получится теория, которая в некотором смысле согласуется как со специальной, так и с общей теорией относительности. Среди простейших примеров таких координатных условий можно назвать следующие:

1. $g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.$
2. $g^{\alpha \beta }{}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\gamma }\eta _{\mu \nu }\eta ^{\alpha \gamma }\,.$

где можно установить константы k любое удобное значение .