Тензор Вейля

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Вейля , названный в честь Германа Вейля , является мерой кривизны пространства - времени или, в более общем плане, псевдоримановым многообразием . Как и тензор кривизны Римана , тензор Вейля выражает приливную силу , которую ощущает тело при движении по геодезической . Тензор Вейля отличается от тензора кривизны Римана тем, что он не передает информацию о том, как изменяется объем тела, а лишь о том, как форма тела искажается приливной силой. Кривизна Риччи , или следовая компонента тензора Римана, содержит именно информацию о том, как изменяются объемы при наличии приливных сил, поэтому тензор Вейля является бесследовой составляющей тензора Римана. Этот тензор имеет ту же симметрию, что и тензор Римана, но удовлетворяет дополнительному условию отсутствия следов: сжатие метрики по любой паре индексов дает ноль. Он получается из тензора Римана путем вычитания тензора, который является линейным выражением в тензоре Риччи.

В общей теории относительности кривизна Вейля — единственная часть кривизны, существующая в свободном пространстве — решение вакуумного уравнения Эйнштейна — и она управляет распространением гравитационных волн через области пространства, лишенные материи. В более общем смысле, кривизна Вейля является единственной составляющей кривизны Риччи-плоских многообразий и всегда определяет характеристики полевых уравнений многообразия Эйнштейна .

В размерностях 2 и 3 тензор кривизны Вейля тождественно обращается в нуль. В размерностях ≥ 4 кривизна Вейля обычно не равна нулю. Если тензор Вейля обращается в нуль в размерности ≥ 4, то метрика локально конформно плоская : существует локальная система координат , в которой метрический тензор пропорционален постоянному тензору. Этот факт был ключевым компонентом теории гравитации Нордстрема , которая была предшественницей общей теории относительности .

Определение

Тензор Вейля можно получить из тензора полной кривизны путем вычитания различных следов. Легче всего это сделать, записав тензор Римана в виде тензора валентности (0,4) (сжимая его с метрикой). Тогда валентный тензор Вейля (0,4) равен ( Петерсен 2006 , стр. 92)

$C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g$

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи , s — скалярная кривизна , и $h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k$ обозначает произведение Кулкарни–Номизу двух симметричных (0,2) тензоров:

${\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}$

В обозначениях тензорных компонентов это можно записать как

${\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}$

Обычный (1,3)-валентный тензор Вейля тогда задается путем сжатия вышеуказанного с обратной метрикой.

Разложение ( 1 ) выражает тензор Римана в виде ортогональной прямой суммы в том смысле, что

$|R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.$

Это разложение, известное как разложение Риччи , выражает тензор кривизны Римана на его неприводимые компоненты под действием ортогональной группы . В размерности 4 тензор Вейля далее разлагается на инвариантные множители для действия специальной ортогональной группы , самодуальную и антиавтодуальную части C ⁺ и С ⁻ .

Тензор Вейля также можно выразить с помощью тензора Схоутена , который является кратным тензору Риччи с поправкой на след:

$P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).$

Затем

$C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.$

В индексах

$C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}$

где $R_{abcd}$ – тензор Римана, $R_{ab}$ – тензор Риччи, $R$ — скаляр Риччи (скалярная кривизна), а скобки вокруг индексов относятся к антисимметричной части . Эквивалентно,

${C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}$

где S обозначает тензор Схоутена .

Характеристики

Конформное масштабирование

Тензор Вейля обладает тем особым свойством, что он инвариантен относительно конформных изменений метрики . То есть, если $g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }$ для некоторой положительной скалярной функции $f$ тогда (1,3)-валентный тензор Вейля удовлетворяет условию ${C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}$. По этой причине тензор Вейля также называют конформным тензором . Отсюда следует, что необходимым условием риманова многообразия конформно плоского является равенство нулю тензора Вейля. В размерностях ≥ 4 это условие является достаточным также . В размерности 3 обращение в нуль тензора Коттона является необходимым и достаточным условием конформной плоскости риманова многообразия. Любое двумерное (гладкое) риманово многообразие конформно плоское, что является следствием существования изотермических координат .

Действительно, существование конформно плоской шкалы сводится к решению переопределенного уравнения в частных производных

$Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .$

В размерности ≥ 4 единственным условием интегрируемости этого уравнения является обращение в нуль тензора Вейля; в измерении 3 вместо этого используется тензор Коттона .

Симметрии

Тензор Вейля имеет те же симметрии, что и тензор Римана. Это включает в себя:

${\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}$

Кроме того, конечно, тензор Вейля бесследен:

$\operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0$

для всех тебя , v . В индексах эти четыре условия

${\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}$

личность Бьянки

Прослеживание обычного второго тождества Бьянки тензора Римана в конечном итоге показывает, что

$\nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}$

где S — тензор Схоутена . Тензор валентности (0,3) в правой части представляет собой тензор Коттона , за исключением начального множителя.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Символы Кристоффеля представляют собой координатное выражение для тензора Вейля.
• Тензор Ланцоша
• Теорема о пилинге
• Классификация Петрова
• Тензор Плебанского
• Гипотеза кривизны Вейля
• скаляр Вейля

Ссылки

• Хокинг, Стивен В .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-09906-4
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 171 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  0387292462 , МР   2243772 .
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN  0-387-94732-9 .
• Сингер, И.М .; Торп, Дж. А. (1969), «Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна», Глобальный анализ (Документы в честь К. Кодайры) , Univ. Tokyo Press, стр. 355–365.
• «Тензор Вейля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-69199-2