Теория гравитации Нордстрема

В теоретической физике теория гравитации Нордстрема была предшественницей общей теории относительности . Строго говоря, на самом деле существовало две различные теории, предложенные финским физиком-теоретиком Гуннаром Нордстремом в 1912 и 1913 годах соответственно. Первое было быстро отвергнуто, но второе стало первым известным примером метрической теории гравитации , в которой эффекты гравитации полностью рассматриваются в терминах геометрии искривленного пространства-времени .

Ни одна из теорий Нордстрема не согласуется с наблюдениями и экспериментами. Тем не менее, первое по-прежнему представляет интерес, поскольку оно привело ко второму. Второе по-прежнему представляет интерес и как важная веха на пути к современной теории гравитации, общей теории относительности , и как простой пример самосогласованной релятивистской теории гравитации. Например, эта теория особенно полезна в контексте педагогических дискуссий о том, как получить и проверить предсказания метрической теории гравитации.

Развитие теорий

Теории Нордстрема возникли в то время, когда несколько ведущих физиков, в том числе Нордстрем в Хельсинки , Макс Абрахам в Милане , Густав Ми в Грайфсвальде , Германия, и Альберт Эйнштейн в Праге , пытались создать конкурирующие релятивистские теории гравитации. ^{[ 1 ]}

Все эти исследователи начали с попыток соответствующим образом модифицировать существующую теорию, теоретико-полевую версию теории гравитации Ньютона. В этой теории уравнением поля является уравнение Пуассона $\Delta \phi =4\pi \rho$ , где $\phi$ гравитационный потенциал и $\rho$ — это плотность материи, дополненная уравнением движения пробной частицы в окружающем гравитационном поле, которое мы можем получить из Закон силы Ньютона , который гласит, что ускорение пробной частицы задается градиентом потенциала .

{\frac {d{\vec {u}}}{dt}}=-\nabla \phi

Эта теория не является релятивистской, поскольку уравнение движения относится к координатному времени, а не к собственному времени , и поскольку, если материя в каком-то изолированном объекте внезапно перераспределится в результате взрыва, уравнение поля требует, чтобы потенциал повсюду в «пространстве» был равен «обновляется» мгновенно , что нарушает принцип, согласно которому любые «новости», имеющие физический эффект (в данном случае влияние на движение пробной частицы вдали от источника поля), не могут передаваться со скоростью, превышающей скорость света . , бывший профессор математического анализа Эйнштейна, Герман Минковский набросал векторную теорию гравитации еще в 1908 году, но в 1912 году Абрахам отметил, что ни одна такая теория не допускает стабильных планетарных орбит. Это была одна из причин, по которой Нордстрем обратился к скалярным теориям гравитации (в то время как Эйнштейн исследовал тензорные теории).

Первая попытка Нордстрема предложить подходящее релятивистское скалярное уравнение гравитации была самым простым и естественным выбором, который только можно себе представить: просто заменить лапласиан в уравнении ньютоновского поля на даламбериан или волновой оператор, что дает $\Box \phi =4\pi \,\rho$ . Это приводит к изменению уравнения вакуумного поля с уравнения Лапласа на волновое уравнение , что означает, что любые «новости», касающиеся перераспределения материи в одном месте, передаются со скоростью света в другие места. Соответственно, простейшим предположением о подходящем уравнении движения пробных частиц может показаться следующее: ${\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}$ где точка означает дифференцирование по собственному времени, индексы после запятой обозначают частичное дифференцирование по индексированной координате, и где $u^{a}$ – четырехвектор скорости пробной частицы. Этот закон силы ранее был предложен Абрахамом, но он не сохраняет норму четырех скоростей, как того требует определение собственного времени, поэтому Нордстрем вместо этого предложил ${\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}$ .

Однако эта теория неприемлема по ряду причин. Два возражения носят теоретический характер. Во-первых, эта теория не выводится из лагранжиана , в отличие от ньютоновской теории поля (или большинства метрических теорий гравитации). Во-вторых, предложенное уравнение поля является линейным. Но по аналогии с электромагнетизмом мы должны ожидать, что гравитационное поле будет переносить энергию, а на основе работ Эйнштейна по теории относительности мы должны ожидать, что эта энергия будет эквивалентна массе и, следовательно, будет гравитационно действовать. Это означает, что уравнение поля должно быть нелинейным . Другое возражение более практично: эта теория радикально расходится с наблюдениями.

Эйнштейн и фон Лауэ предположили, что проблема может заключаться в уравнении поля, которое, по их предположению, должно иметь линейную форму $FT_{\rm {matter}}=\rho$ , где F — некоторая пока неизвестная функция $\phi$ , и где T _{материя} — это след тензора энергии-импульса, описывающий плотность, импульс и напряжение любой присутствующей материи.

В ответ на эту критику Нордстрем предложил свою вторую теорию в 1913 году. Из пропорциональности инертной и гравитационной массы он пришел к выводу, что уравнение поля должно быть $\phi \,\Box \phi =-4\pi \,T_{\rm {matter}}$ , который является нелинейным. Нордстрем теперь принял уравнение движения как

{\frac {d\left(\phi \,u_{a}\right)}{ds}}=-\phi _{,a}

или $\phi \,{\dot {u}}_{a}=-\phi _{,a}-{\dot {\phi }}\,u_{a}$ .

Эйнштейн воспользовался первой возможностью, чтобы заявить о своем одобрении новой теории. В программной речи на ежегодном собрании Общества немецких учёных и врачей, состоявшемся в Вене 23 сентября 1913 года, Эйнштейн сделал обзор современного состояния дел, заявив, что только его собственная работа с Марселем Гроссманом и вторая теория Нордстрема являются достоверными. достойный внимания. (Ми, находившийся в аудитории, поднялся, чтобы протестовать, но Эйнштейн объяснил свои критерии, и Ми был вынужден признать, что его собственная теория им не соответствует.) Эйнштейн рассматривал особый случай, когда единственной присутствующей материей является облако пыли ( то есть идеальная жидкость , в которой давление считается незначительным). Он утверждал, что вклад этого вещества в тензор энергии-импульса должен быть:

\left(T_{\rm {matter}}\right)_{ab}=\phi \,\rho \,u_{a}\,u_{b}

Затем он вывел выражение для тензора энергии-импульса гравитационного поля во второй теории Нордстрема:

4\pi \,\left(T_{\rm {grav}}\right)_{ab}=\phi _{,a}\,\phi _{,b}-1/2\,\eta _{ab}\,\phi _{,m}\,\phi ^{,m}

которое, по его предположению, должно выполняться в целом, и показал, что сумма вкладов в тензор энергии-импульса от энергии гравитационного поля и материи будет сохраняться , как и должно быть. Более того, он показал, что уравнение поля второй теории Нордстрема следует из лагранжиана

L={\frac {1}{8\pi }}\,\eta ^{ab}\,\phi _{,a}\,\phi _{,b}-\rho \,\phi

Поскольку уравнение движения Нордстрема для пробных частиц в окружающем гравитационном поле также следует из лагранжиана, это показывает, что вторая теория Нордстрема может быть выведена из принципа действия , а также показывает, что она подчиняется другим свойствам, которые мы должны требовать от самосогласованной теории поля. .

Тем временем одаренный голландский студент Адриан Фоккер защитил докторскую диссертацию. диссертацию под руководством Хендрика Лоренца , в которой он вывел то, что сейчас называется уравнением Фоккера-Планка . Лоренц, обрадованный успехами своего бывшего студента, организовал для Фоккера постдокторантуру у Эйнштейна в Праге. Результатом стала историческая статья, появившаяся в 1914 году, в которой Эйнштейн и Фоккер заметили, что лагранжиан уравнения движения Нордстрема для пробных частиц: $L=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,{\dot {u}}^{a}\,{\dot {u}}^{b}$ , — геодезический лагранжиан искривленного лоренцева многообразия с метрическим тензором $g_{ab}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}$ . Если мы примем декартовы координаты с линейным элементом $d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$ с соответствующим волновым оператором $\Box$ на плоском фоне, или пространстве-времени Минковского , так что линейный элемент искривленного пространства-времени равен $ds^{2}=\phi ^{2}\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$ , то скаляр Риччи этого искривленного пространства-времени равен просто

R=-{\frac {6\,\Box \phi }{\phi ^{3}}}

Следовательно, уравнение поля Нордстрема становится просто

R=24\pi \,T

где в правой части мы взяли след тензора энергии-импульса (с вкладами материи плюс любых негравитационных полей), используя метрический тензор $g_{ab}$ . Это исторический результат, потому что здесь мы впервые имеем уравнение поля, в котором в левой части стоит чисто геометрическая величина (скаляр Риччи — это след тензора Риччи , который сам по себе является своего рода следом четвертого ранга тензор кривизны Римана ), а справа стоит чисто физическая величина — след тензора энергии-импульса. Эйнштейн с радостью отметил, что теперь это уравнение принимает форму, которую он ранее предложил вместе с фон Лауэ, и дает конкретный пример класса теорий, которые он изучал вместе с Гроссманом.

Некоторое время спустя Герман Вейль ввел тензор кривизны Вейля. $C_{abcd}$ , которое измеряет отклонение лоренцева многообразия от конформно плоского , т.е. с метрическим тензором, имеющим форму произведения некоторой скалярной функции на метрический тензор плоского пространства-времени. Это именно особая форма метрики, предложенная во второй теории Нордстрема, поэтому все содержание этой теории можно резюмировать в следующих двух уравнениях:

R=24\pi \,T,\;\;\;C_{abcd}=0

Особенности теории Нордстрема

Вторая теория Нордстрема привлекла Эйнштейна своей простотой. ^{[ нужна ссылка ]} Уравнения вакуумного поля в теории Нордстрема просто

R=0,\;\;\;C_{abcd}=0

Мы можем сразу записать общее вакуумное решение в теории Нордстрема:

ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\;\Box \psi =0

где $\phi =\exp(\psi )$ и $d\sigma ^{2}=\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$ — это линейный элемент для плоского пространства-времени в любой удобной координатной карте (например, цилиндрической, полярной сферической или двойной нулевой координате), и где $\Box$ — обыкновенный волновой оператор в плоском пространстве-времени (выраженный в цилиндрических, полярных сферических или двойных нулевых координатах соответственно). Но общее решение обычного трехмерного волнового уравнения хорошо известно и ему можно придать весьма явный вид. В частности, для некоторых карт, таких как цилиндрические или полярные сферические карты в плоском пространстве-времени (которые порождают соответствующие карты на нашем искривленном лоренцевом многообразии), мы можем записать общее решение в терминах степенного ряда, а также мы можем записать общее решение некоторых уравнений Коши. задачи в порядке, известном из потенциалов Лиенара-Вихерта в электромагнетизме.

В любом решении уравнений поля Нордстрема (вакуумном или другом), если мы рассмотрим $\psi$ как управление конформным возмущением из плоского пространства-времени , то к первому порядку по $\psi$ у нас есть

ds^{2}=\exp(2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}\approx (1+2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}

Таким образом, в приближении слабого поля мы можем отождествить $\psi$ с ньютоновским гравитационным потенциалом, и мы можем рассматривать его как управление небольшим конформным возмущением на плоском фоне пространства-времени .

В любой метрической теории гравитации все гравитационные эффекты возникают из-за кривизны метрики. В модели пространства-времени в теории Нордстрема (но не в общей теории относительности) это зависит только от следа тензора энергии-импульса. Но энергия поля электромагнитного поля вносит свой вклад в тензор энергии-напряжения, который не имеет следа , поэтому в теории Нордстрема энергия электромагнитного поля не тяготеет! Действительно, поскольку каждое решение уравнений поля этой теории представляет собой пространство-время, которое, среди прочего, конформно эквивалентно плоскому пространству-времени, нулевые геодезические должны согласовываться с нулевыми геодезическими плоского фона, поэтому эта теория не может демонстрировать никакого искривления света .

Кстати, тот факт, что след тензора энергии-импульса для электровакуумного решения (решения, в котором нет ни материи, ни каких-либо негравитационных полей, кроме электромагнитного поля) показывает, что в общем электровакуумном решении в задаче Нордстрема В теории метрический тензор имеет тот же вид, что и в вакуумном решении, поэтому нам нужно лишь записать и решить уравнения поля Максвелла искривленного пространства-времени . Но они конформно инвариантны , поэтому мы также можем записать общее электровакуумное решение , скажем, в виде степенного ряда.

В любом лоренцевом многообразии (с соответствующими тензорными полями, описывающими любую материю и физические поля), которое представляет собой решение уравнений поля Нордстрема, конформная часть тензора Римана (т.е. тензор Вейля) всегда обращается в нуль. Скаляр Риччи также тождественно исчезает в любой области вакуума (или даже в любой области, свободной от материи, но содержащей электромагнитное поле). Существуют ли какие-либо дополнительные ограничения на тензор Римана в теории Нордстрема?

Чтобы выяснить это, обратите внимание, что важное тождество из теории многообразий, разложение Риччи , разбивает тензор Римана на три части, каждая из которых представляет собой тензор четвертого ранга, построенный, соответственно, из скаляра Риччи , бесследового Риччи тензор

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,R\,g_{ab}

и тензор Вейля . Отсюда сразу следует, что теория Нордстрема оставляет бесследовый тензор Риччи совершенно свободным от алгебраических соотношений (кроме свойства симметричности, которым всегда обладает этот тензор второго ранга). Но принимая во внимание дважды сжатое и вычтенное тождество Бьянки , дифференциальное тождество, которое справедливо для тензора Римана в любом (полу) римановом многообразии , мы видим, что в теории Нордстрема, как следствие уравнений поля, мы имеем первое ковариантное дифференциальное уравнение -порядка

{{S_{a}}^{b}}_{;b}=6\,\pi \,T_{;a}

который ограничивает полубесследовую часть тензора Римана (тот, который построен из бесследового тензора Риччи).

Таким образом, согласно теории Нордстрема, в вакуумной области ненулевой может быть только полубесследовая часть тензора Римана. Тогда наше ковариантное дифференциальное ограничение на $S_{ab}$ показывает, как изменения в следе тензора энергии-напряжения в нашей модели пространства-времени могут генерировать ненулевой тензор Риччи без следов и, следовательно, ненулевую полубесследовую кривизну, которая может распространяться в область вакуума. Это критически важно, поскольку в противном случае гравитация, согласно этой теории, не была бы силой дальнего действия, способной распространяться через вакуум .

В общей теории относительности происходит нечто похожее, но там тензор Риччи обращается в нуль в любой области вакуума (но не в области, свободной от материи, но содержащей электромагнитное поле), и возникает Вейля кривизна ( через другое ковариантное дифференциальное уравнение первого порядка) за счет изменений тензора энергии-импульса, который затем распространяется в области вакуума, превращая гравитацию в силу дальнего действия, способную распространяться через вакуум.

Мы можем свести в таблицу самые основные различия между теорией Нордстрема и общей теорией относительности следующим образом:

**Сравнение теории Нордстрема с общей теорией относительности**
	тип кривизны	Нордстрем	Эйнштейн
$R$	скаляр	исчезает в электровакууме	исчезает в электровакууме
$S_{ab}$	когда-то бесследный	отличное от нуля для гравитационного излучения	исчезает в вакууме
$C_{abcd}$	совершенно бесследно	всегда исчезает	отличное от нуля для гравитационного излучения

Другая особенность теории Нордстрема состоит в том, что она может быть записана как теория некоторого скалярного поля в пространстве-времени Минковского и в этой форме обладает ожидаемым законом сохранения негравитационной массы-энергии вместе с энергией гравитационного поля, но страдает не очень запоминающимся недостатком. закон силы. В формулировке искривленного пространства-времени описывается движение пробных частиц (мировая линия свободной пробной частицы является времениподобной геодезической, а в очевидном пределе мировая линия лазерного импульса является нулевой геодезической), но мы теряем сохранение закон. Так какая же интерпретация правильная? Другими словами, какая метрика, согласно Нордстрему, может быть измерена локально с помощью физических экспериментов? Ответ таков: искривленное пространство-время является физически наблюдаемым в этой теории (как и во всех метрических теориях гравитации); плоский фон — это всего лишь математическая фикция, которая, однако, имеет неоценимую ценность для таких целей, как запись общего вакуумного решения или изучение предела слабого поля.

На этом этапе мы могли бы показать, что в пределе медленно движущихся пробных частиц и медленно развивающихся слабых гравитационных полей теория гравитации Нордстрема сводится к ньютоновской теории гравитации. Вместо того чтобы показывать это подробно, перейдем к детальному изучению двух наиболее важных решений в этой теории:

сферически-симметричные статические асимптотически плоские вакуумные решения
общее вакуумное гравитационное плосковолновое решение в этой теории.

Мы воспользуемся первым для получения предсказаний теории Нордстрема для четырех классических тестов релятивистских теорий гравитации в Солнечной системе (в окружающем поле изолированного сферически-симметричного объекта), а второе — для сравнения гравитационного излучения в теории Нордстрема и в общей теории относительности Эйнштейна.

Статическое сферически-симметричное асимптотически плоское вакуумное решение.

Статические вакуумные решения в теории Нордстрема представляют собой лоренцевы многообразия с метрикой вида

ds^{2}=\exp(2\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b},\;\;\Delta \psi =0

где мы можем взять плоский оператор Лапласа в пространстве-времени справа. Для первого заказа в $\psi$ , метрика становится

ds^{2}=(1+2\,\psi )\,\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}

где $\eta _{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$ — метрика пространства-времени Минковского (плоский фон).

Метрика

Приняв полярные сферические координаты и используя известные сферически-симметричные асимптотически исчезающие решения уравнения Лапласа, мы можем записать искомое точное решение в виде

ds^{2}=(1-m/\rho )\,\left(-dt^{2}+d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})\right)

где мы оправдываем наш выбор констант интегрирования тем, что это единственный выбор, дающий правильный ньютоновский предел. Это дает решение в терминах координат, которые прямо демонстрируют тот факт, что это пространство-время конформно эквивалентно пространству-времени Минковского, но радиальная координата на этой карте не допускает прямой геометрической интерпретации. Поэтому мы принимаем вместо них координаты Шварцшильда, используя преобразование $r=\rho \,(1-m/\rho )$ , что приводит метрику к виду

ds^{2}=(1+m/r)^{-2}\,(-dt^{2}+dr^{2})+r^{2}\,(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2})

-\infty <t<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi

Здесь r теперь имеет простую геометрическую интерпретацию: площадь поверхности координатной сферы $r=r_{0}$ это просто $4\pi \,r_{0}^{2}$ .

Как и в соответствующем статическом сферически-симметричном асимптотически плоском решении общей теории относительности, это решение допускает четырехмерную группу Ли изометрий или, что то же самое, четырехмерную (действительную) алгебру Ли векторных полей Киллинга . Они легко определяются как

\partial _{t}

(перевод во времени)

\partial _{\phi }

(вращение вокруг оси, проходящей через начало координат)

-\cos(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\sin(\phi )\,\partial _{\phi }

\sin(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\phi )\,\partial _{\phi }

Это точно такие же векторные поля, которые возникают в координатной карте Шварцшильда для вакуумного решения общей теории относительности, и они просто выражают тот факт, что это пространство-время статично и сферически симметрично.

Геодезика

Уравнения геодезических легко получаются из геодезического лагранжиана. Как всегда, это нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Если мы установим $\theta =\pi /2$ мы находим, что движение пробной частицы, ограниченное экваториальной плоскостью, возможно, и в этом случае легко получить первые интегралы (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка). Во-первых, у нас есть

{\dot {t}}=E\,\left(1+m/r\right)^{2}\approx E\,\left(1+2m/r\right)

где в первом порядке по m мы получаем тот же результат, что и для вакуума Шварцшильда. Это также показывает, что теория Нордстрема согласуется с результатом эксперимента Паунда-Ребки . Во-вторых, у нас есть

{\dot {\phi }}=L/r^{2}

что является тем же результатом, что и для вакуума Шварцшильда. Это выражает сохранение орбитального углового момента пробных частиц, движущихся в экваториальной плоскости, и показывает, что период почти круговой орбиты (наблюдаемой далеким наблюдателем) будет таким же, как и для вакуума Шварцшильда. В-третьих, с $\epsilon =-1,0,1$ для времениподобных, нулевых и пространственноподобных геодезических мы находим

{\frac {{\dot {r}}^{2}}{\left(1+m/r\right)^{4}}}=E^{2}-V

где

V={\frac {L^{2}/r^{2}-\epsilon }{\left(1+m/r\right)^{2}}}

это своего рода эффективный потенциал . Отсюда видно, что во времениподобном случае существуют устойчивые круговые орбиты в точке $r_{c}=L^{2}/m$ , что полностью согласуется с теорией Ньютона (если игнорировать тот факт, что теперь угловая , а не радиальная интерпретация r согласуется с представлениями о плоском пространстве). Напротив, в вакууме Шварцшильда мы должны сначала упорядочить по m выражение $r_{c}\approx L^{2}/m-3m$ . В каком-то смысле дополнительный член здесь является результатом нелинейности уравнения вакуумного поля Эйнштейна.

Статические наблюдатели

Имеет смысл задаться вопросом, какая сила требуется, чтобы удержать пробную частицу заданной массы над массивным объектом, который, как мы предполагаем, является источником этого статического сферически-симметричного гравитационного поля. Чтобы это выяснить, нам нужно всего лишь принять простое поле кадра

{\vec {e}}_{0}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{t}

{\vec {e}}_{1}=\left(1+m/r\right)\,\partial _{r}

{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }

{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }

Тогда ускорение мировой линии нашей пробной частицы просто

\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {m}{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{1}

Таким образом, частица должна двигаться радиально наружу, чтобы сохранить свое положение с величиной, заданной знакомым выражением Ньютона (но мы снова должны иметь в виду, что радиальная координата здесь не может быть полностью отождествлена с радиальной координатой плоского пространства). Другими словами, это «гравитационное ускорение», измеряемое статичным наблюдателем, который использует ракетный двигатель для сохранения своего положения. Напротив, во втором порядке по м в вакууме Шварцшильда величина радиально направленного ускорения статического наблюдателя равна mr. ⁻² + м^2 р ⁻³; и здесь второй член выражает тот факт, что гравитация Эйнштейна несколько сильнее «в соответствующих точках», чем гравитация Нордстрема.

Приливный тензор, измеренный статическим наблюдателем, равен

E[{\vec {X}}]_{ab}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\rm {diag}}(-2,1,1)+{\frac {m^{2}}{r^{4}}}\,{\rm {diag}}(-1,1,1)

где мы берем ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}$ . Первый член согласуется с соответствующим решением в ньютоновской теории гравитации и общей теории относительности. Второй член показывает, что приливные силы в гравитации Нордстрема немного сильнее , чем в гравитации Эйнштейна.

Экстраньютоновская прецессия периастрии

При обсуждении уравнений геодезических мы показали, что в экваториальной координатной плоскости $\theta =\pi /2$ у нас есть

{\dot {r}}^{2}=(E^{2}-V)\;(1+m/r)^{4}

где $V=(1+L^{2}/r^{2})/(1+m/r)^{2}$ для времениподобной геодезической. Дифференцируя по собственному времени s, получаем

2{\dot {r}}{\ddot {r}}={\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)\;{\dot {r}}

Разделив обе части на ${\dot {r}}$ дает

{\ddot {r}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{dr}}\left((E^{2}-V)\,(1+m/r)^{4}\right)

Ранее мы обнаружили, что минимум V наблюдается при $r_{c}=L^{2}/m$ где $E_{c}=L^{2}/(L^{2}+m^{2})$ . Оценивая производную, используя наши предыдущие результаты, и устанавливая $\varepsilon =r-L^{2}/m^{2}$ , мы находим

{\ddot {\varepsilon }}=-{\frac {m^{4}}{L^{8}}}\,(m^{2}+L^{2})\,\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})

которое является (первого порядка) уравнением простого гармонического движения .

Другими словами, почти круговые орбиты будут демонстрировать радиальные колебания. Однако, в отличие от того, что происходит в ньютоновской гравитации, период этого колебания не совсем соответствует орбитальному периоду. Это приведет к медленной прецессии периастрии (точек наибольшего сближения) нашей почти круговой орбиты или, что более наглядно, к медленному вращению длинной оси квазикеплеровской почти эллиптической орбиты. Конкретно,

\omega _{\rm {shm}}\approx {\frac {m^{2}}{L^{4}}}\,{\sqrt {m^{2}+L^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}\,{\sqrt {m^{2}+mr}}

(где мы использовали $L={\sqrt {mr}}$ и удалил нижний индекс из $r_{c}$ ), тогда как

\omega _{\rm {orb}}={\frac {L}{r^{2}}}={\sqrt {m/r^{3}}}

Расхождение

\Delta \omega =\omega _{\rm {orb}}-\omega _{\rm {shm}}={\sqrt {\frac {m}{r^{3}}}}-{\sqrt {{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+{\frac {m}{r^{3}}}}}\approx -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}

поэтому задержка периастра на орбиту равна

\Delta \phi =2\pi \,\Delta \omega \approx -\pi \,{\sqrt {\frac {m^{3}}{r^{5}}}}

и в первом порядке по м длинная ось почти эллиптической орбиты вращается со скоростью

{\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx -{\frac {\pi m}{r}}

Это можно сравнить с соответствующим выражением для вакуумного решения Шварцшильда в общей теории относительности, которое (в первом порядке по м)

{\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}\approx {\frac {6\pi m}{r}}

Таким образом, в теории Нордстрема, если почти эллиптическая орбита пересекается против часовой стрелки, длинная ось медленно вращается по часовой стрелке , тогда как в общей теории относительности она вращается против часовой стрелки в шесть раз быстрее. В первом случае можно говорить об отставании периастра , во втором – об опережении периастра . В любой теории, приложив больше усилий, мы можем вывести более общие выражения, но здесь мы ограничимся рассмотрением частного случая почти круговых орбит.

согласно теории Нордстрема, перигелии Меркурия Например , должны отставать со скоростью около 7 угловых секунд за столетие, тогда как согласно общей теории относительности перигелии должны продвигаться со скоростью около 43 угловых секунд за столетие.

Световая задержка

Нулевые геодезические в экваториальной плоскости нашего решения удовлетворяют

0={\frac {-dt^{2}+dr^{2}}{(1+m/r)^{2}}}+r^{2}\,d\phi ^{2}

Рассмотрим два события на нулевой геодезической: до и после точки наибольшего приближения к началу координат. Пусть эти расстояния будут $R_{1},\,R,\,R_{2}$ с $R_{1},\,R_{2}\gg R$ . Мы хотим устранить $\phi$ , так что поставь $R=r\,\cos \phi$ (уравнение прямой в полярных координатах) и продифференцируем, чтобы получить

0=-r\sin \phi \,d\phi +\cos \phi \,dr

Таким образом

r^{2}\,d\phi ^{2}=\cot(\phi )^{2}\,dr^{2}={\frac {R^{2}}{r^{2}-R^{2}}}\,dr^{2}

Подставив это в линейный элемент и найдя dt, мы получим

dt\approx {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-R^{2}}}}\;\left(r+m\,{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\;dr

Таким образом, координатное время от первого события до события наибольшего сближения равно

(\Delta t)_{1}=\int _{R}^{R_{1}}dt\approx {\frac {m+R_{1}}{R_{1}}}\,{\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}

и аналогично

(\Delta t)_{2}=\int _{R}^{R_{2}}dt\approx {\frac {m+R_{2}}{R_{2}}}\,{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}={\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}+m\,{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}

Здесь прошедшее координатное время, ожидаемое из теории Ньютона, конечно, равно

{\sqrt {R_{1}^{2}-R^{2}}}+{\sqrt {R_{2}^{2}-R^{2}}}

поэтому релятивистская задержка времени, согласно теории Нордстрема, равна

\Delta t=m\,\left({\sqrt {1-(R/R_{1})^{2}}}+{\sqrt {1-(R/R_{2})^{2}}}\right)

Для первого заказа в небольших количествах $R/R_{1},\;R/R_{2}$ это просто $\Delta t=2m$ .

Соответствующий результат в общей теории относительности:

\Delta t=2m+2m\,\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)

которая логарифмически зависит от малых отношений $R/R_{1},\;R/R_{2}$ . Например, в классическом эксперименте, в котором в то время, когда, если смотреть с Земли, Венера вот-вот пройдет за Солнцем, радиолокационный сигнал, излучаемый Землей, задевает край Солнца, отражается от Венеры и возвращается обратно. до Земли (снова задевая край Солнца), релятивистская временная задержка составляет около 20 микросекунд согласно теории Нордстрема и около 240 микросекунд согласно общей теории относительности.

Краткое изложение результатов

Мы можем суммировать результаты, полученные выше, в следующей таблице, в которой данные выражения представляют собой соответствующие приближения:

**Сравнение предсказаний трех теорий гравитации**
	Ньютон	Нордстрем	Эйнштейн
Ускорение статической пробной частицы	Мистер ⁻²	Мистер ⁻²	Мистер ⁻² + м ² р ⁻³
Экстракулоновская приливная сила	0	м ² р ⁻⁴ Диаг(-1,1,1)	0
Радиус круговой орбиты	р = л ² м ⁻¹	р = л ² м ⁻¹	р = л ² м ⁻¹ − 3 м
Фактор гравитационного красного смещения	1	1 + м р ⁻¹	1 + м р ⁻¹
Угол отклонения света	$\delta \phi ={\frac {2\,m}{R}}$	0	$\delta \phi ={\frac {4\,m}{R}}$
Скорость прецессии периастрии	0	${\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}=-{\frac {\pi \,m}{R}}$	${\frac {\Delta \phi }{\omega _{\rm {orb}}}}={\frac {6\,\pi \,m}{R}}$
Задержка времени	0	$2\,m$	$2\,m+2\,m\;\log \left({\frac {4\,R_{1}\,R_{2}}{R^{2}}}\right)$

В последних четырех строках этой таблицы перечислены так называемые в Солнечной системе четыре классических теста релятивистских теорий гравитации . Из трех представленных в таблице теорий только общая теория относительности согласуется с результатами экспериментов и наблюдений в Солнечной системе. Теория Нордстрема дает правильный результат только для эксперимента Паунда – Ребки ; неудивительно, что теория Ньютона проваливает все четыре релятивистских теста.

Вакуумная гравитационная плоская волна

На двойной нулевой диаграмме пространства-времени Минковского

ds^{2}=-2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2},\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty

простое решение волнового уравнения

-2\,\psi _{uv}+\psi _{xx}+\psi _{yy}=0

является $\psi =f(u)$ , где f — произвольная гладкая функция. Это представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в направлении z. Следовательно, теория Нордстрема допускает точное вакуумное решение.

ds^{2}=\exp(2f(u))\;\left(-2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}\right),\;\;\;-\infty <u,\,v,\,x,\,y<\infty

которое мы можем интерпретировать как распространение плоской гравитационной волны.

Это лоренцево многообразие допускает шестимерную группу Ли изометрий или, что то же самое, шестимерную алгебру Ли векторных полей Киллинга:

\partial _{v}

(нулевой перевод, «противостоящий» волнового вектора полю

\partial _{u}

)

\partial _{x},\;\;\partial _{y}

(пространственный сдвиг, ортогональный волновым фронтам)

-y\,\partial _{x}+x\,\partial _{y}

(вращение вокруг оси, параллельной направлению распространения)

x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x},\;\;y\,\partial _{v}+u\,\partial _{y}

Например, векторное поле Киллинга $x\,\partial _{v}+u\,\partial _{x}$ интегрируется, чтобы получить однопараметрическое семейство изометрий

(u,v,x,y)\longrightarrow (u,\;v+x\,\lambda +{\frac {u}{2}}\,\lambda ^{2},\;x+u\,\lambda ,\;y)

Как и в специальной теории относительности (и общей теории относительности), всегда можно изменить координаты, не нарушая формы решения, так, чтобы волна распространялась в любом направлении, поперечном $\partial _{z}$ . Обратите внимание, что наша группа изометрий транзитивна на гиперповерхностях $u=u_{0}$ .

Напротив, общая гравитационная плоская волна в общей теории относительности имеет только пятимерную группу Ли изометрий . (В обеих теориях специальные плоские волны могут иметь дополнительную симметрию.) О том, почему это так, мы поговорим чуть позже.

Принятие поля кадра

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}+\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)

{\vec {e}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{v}-\exp(-2f)\,\partial _{u}\right)

{\vec {e}}_{2}=\partial _{x}

{\vec {e}}_{3}=\partial _{y}

находим, что соответствующее семейство пробных частиц является инерционным (свободно падающим), поскольку вектор ускорения обращается в нуль

\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0

Обратите внимание, что если f обращается в нуль, это семейство становится семейством взаимно стационарных пробных частиц в плоском (Минковского) пространстве-времени. Относительно времениподобного геодезического сравнения мировых линий, полученного интегрированием времениподобного единичного векторного поля ${\vec {X}}={\vec {e}}_{0}$ , тензор расширения

\theta [{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,f'(u)\,\exp(-2\,f(u))\,{\rm {diag}}(0,1,1)

показывает, что наши пробные частицы расширяются или сжимаются изотропно и поперек направления распространения . Это именно то, что мы ожидаем от поперечной волны со спином 0 ; поведение аналогичных семейств пробных частиц, которые сталкиваются с гравитационной плоской волной в общей теории относительности, совершенно иное, поскольку это волны со спином 2 . Это связано с тем, что теория гравитации Нордстрема является скалярной теорией , тогда как теория гравитации Эйнштейна (общая теория относительности) является тензорной теорией . С другой стороны, гравитационные волны в обеих теориях являются поперечными волнами. Электромагнитные плоские волны, конечно, также являются поперечными . Приливный тензор

E[{\vec {X}}]_{{\hat {p}}{\hat {q}}}={\frac {1}{2}}\,\exp(-4\,f(u))\;\left(f'(u)^{2}-f''(u)\right)\,{\rm {diag}}(0,1,1)

далее демонстрирует характер гравитационной плоской волны со спином 0 в теории Нордстрема. (Тензор приливов и тензор расширения — это трехмерные тензоры, которые «живут» в элементах гиперплоскости, ортогональных ${\vec {e}}_{0}$ , который в данном случае оказывается безвихревым , поэтому мы можем считать эти тензоры определенными на ортогональных гиперсрезах.)

Обсуждаемое здесь точное решение, которое мы интерпретируем как распространяющуюся гравитационную плоскую волну, дает некоторое базовое представление о распространении гравитационного излучения в теории Нордстрема, но оно не дает никакого понимания генерации гравитационного излучения в этой теории. Здесь было бы естественно обсудить аналог теории гравитации Нордстрема стандартной линеаризованной теории гравитационных волн в общей теории относительности, но мы не будем на этом останавливаться.

См. также

Ссылки

^ Сминк, Кристофер; Мартин, Кристофер (2007). «Теории материи и гравитации Ми» . Ин Янссен, М.; Нортон, доктор юридических наук; Ренн, Дж.; Зауэр, Т.; Стэчел, Дж. (ред.). Генезис общей теории относительности . Спрингер, Дордрехт. дои : 10.1007/978-1-4020-4000-9_35 . ISBN 978-1-4020-4000-9 .

Равндал, Финн (2004). «Скалярная гравитация и дополнительные измерения». arXiv : gr-qc/0405030 .
Паис, Авраам (1982). «13». Тонок Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-280672-6 .
Лайтман, Алан П.; Пресс, Уильям Х.; Прайс, Ричард Х. и Теукольский, Сол А. (1975). Задача по теории относительности и гравитации . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08162-Х . См. задачу 13.2 .

[1] Сминк, Кристофер; Мартин, Кристофер (2007). «Теории материи и гравитации Ми» . Ин Янссен, М.; Нортон, доктор юридических наук; Ренн, Дж.; Зауэр, Т.; Стэчел, Дж. (ред.). Генезис общей теории относительности . Спрингер, Дордрехт. дои : 10.1007/978-1-4020-4000-9_35 . ISBN 978-1-4020-4000-9 .

[ 1 ]