Скалярная кривизна

В математической области римановой геометрии скалярная кривизна (или скаляр Риччи ) является мерой кривизны риманова многообразия . Каждой точке риманова многообразия присваивается одно действительное число, определяемое геометрией метрики вблизи этой точки. Он определяется сложной явной формулой через частные производные компонент метрики, хотя характеризуется также объемом бесконечно малых геодезических шаров. В контексте дифференциальной геометрии поверхностей скалярная кривизна в два раза превышает гауссову кривизну и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако в более высоких измерениях скалярная кривизна представляет собой только одну конкретную часть тензора кривизны Римана .

Определение скалярной кривизны через частные производные также справедливо в более общей ситуации псевдоримановых многообразий . Это важно в общей теории относительности , где скалярная кривизна лоренцевой метрики является одним из ключевых членов в уравнениях поля Эйнштейна . Кроме того, эта скалярная кривизна является плотностью Лагранжа для действия Эйнштейна-Гильберта , уравнения Эйлера-Лагранжа которого являются уравнениями поля Эйнштейна в вакууме .

Широко изучена геометрия римановых метрик с положительной скалярной кривизной. В некомпактных пространствах это контекст теоремы о положительной массе, доказанной Ричардом Шоном и Шинг-Тунг Яу в 1970-х годах и вскоре после этого опровергнутой Эдвардом Виттеном с использованием различных методов. Шен и Яу, а также независимо Михаил Громов и Блейн Лоусон разработали ряд фундаментальных результатов по топологии замкнутых многообразий, поддерживающих метрики положительной скалярной кривизны. В сочетании с их результатами Григорием Перельманом построение потока Риччи с хирургией в 2003 году обеспечило полную характеристику этих топологий в трехмерном случае.

Определение

Для римановой метрики g скалярная кривизна Scal определяется как след тензора кривизны Риччи относительно метрики:

$\operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .$

Скалярную кривизну нельзя вычислить непосредственно из кривизны Риччи, поскольку последняя представляет собой (0,2)-тензорное поле; метрика должна использоваться для повышения индекса , чтобы получить (1,1)-тензорное поле, чтобы получить след. В терминах локальных координат можно написать, используя соглашение об обозначениях Эйнштейна , что:

$\operatorname {Scal} =g^{ij}R_{ij}$

где R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j ) — компоненты тензора Риччи в координатном базисе, и где g ^ij являются обратными компонентами метрики , т.е. компонентами обратной матрицы компонент метрики g _ij = g (∂ _i , ∂ _j ) . Поскольку кривизна Риччи представляет собой сумму кривизн сечения , можно также выразить скалярную кривизну как

$\operatorname {Scal} (p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {Sec} (e_{i},e_{j})$

где Sec обозначает кривизну сечения, а e ₁ ,..., en _— любой ортонормированный репер в точке p . По аналогичным рассуждениям скалярная кривизна в два раза больше следа оператора кривизны . В качестве альтернативы, учитывая координатное определение кривизны Риччи в терминах символов Кристоффеля , можно выразить скалярную кривизну как

$\operatorname {Scal} =g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)$

где ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ – символы Кристоффеля метрики, а ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ является частной производной ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ в направлении σ-координаты.

Приведенные выше определения в равной степени справедливы и для псевдоримановой метрики . Особый случай лоренцевой метрики важен в математической теории общей теории относительности , где скалярная кривизна и кривизна Риччи являются фундаментальными членами уравнения поля Эйнштейна .

Однако, в отличие от тензора кривизны Римана или тензора Риччи, скалярная кривизна не может быть определена для произвольной аффинной связности по той причине, что след (0,2)-тензорного поля не определен. Однако существуют и другие обобщения скалярной кривизны, в том числе в финслеровой геометрии .

Традиционные обозначения

В контексте обозначения тензорного индекса обычно используется буква R для обозначения трех разных вещей:

1. тензор кривизны Римана: R _ijk ^л или Райкл _​
2. тензор Риччи: R _ij
3. скалярная кривизна: R

Эти три затем отличаются друг от друга количеством индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Другие обозначения, используемые для скалярной кривизны, включают scal , κг-н К , р , с или С , и τ .

Те, кто не использует индексную запись, обычно оставляют R для полного тензора кривизны Римана. Альтернативно, в бескоординатной записи можно использовать Riem для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и R для скалярной кривизны.

Некоторые авторы вместо этого определяют кривизну Риччи и скалярную кривизну с помощью коэффициента нормализации, так что

$R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.$

Цель такого выбора состоит в том, чтобы Риччи и скалярная кривизны стали средними значениями (а не суммами) секционных кривизн.

Основные свойства

Фундаментальным фактом является то, что скалярная кривизна инвариантна относительно изометрий . Точнее, если f — диффеоморфизм пространства M в пространство N , причем последнее снабжено (псевдо)римановой метрикой g , то скалярная кривизна метрики обратного образа на M равна композиции скалярной кривизны пространства N. g с картой f . Это равнозначно утверждению, что скалярная кривизна геометрически определена независимо от любого выбора координатной карты или локальной системы отсчета. В более общем смысле, как можно выразить на языке гомотетий , эффект масштабирования метрики с помощью постоянного коэффициента c заключается в масштабировании скалярной кривизны с помощью обратного коэффициента c. ⁻¹ .

Более того, скалярная кривизна является (с точностью до произвольного выбора коэффициента нормализации) единственной не зависящей от координат функцией метрики, которая, вычисленная в центре нормальной координатной карты , является полиномом от производных метрики и имеет вышеуказанное свойство масштабирования. Это одна из формулировок теоремы Вермеля .

личность Бьянки

Как прямое следствие тождеств Бьянки , любая (псевдо)риманова метрика обладает свойством, что

${\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.$

Это тождество называется сокращенным тождеством Бьянки . Почти непосредственным следствием этого является лемма Шура , утверждающая, что если тензор Риччи поточечно кратен метрике, то метрика должна быть эйнштейновской (если только размерность не равна двум). Более того, это говорит о том, что (за исключением двухмерных измерений) метрика является эйнштейновской тогда и только тогда, когда тензор Риччи и скалярная кривизна связаны соотношением

$R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},$

где n обозначает размерность. Сокращенное тождество Бьянки также имеет фундаментальное значение в математике общей теории относительности, поскольку оно идентифицирует тензор Эйнштейна как фундаментальную величину.

Разложение Риччи

Для (псевдо)римановой метрики g в пространстве размерности n скалярная часть тензора кривизны Римана представляет собой (0,4)-тензорное поле

${\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).$

(Это следует соглашению, согласно которому R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^п − ... .) Этот тензор важен как часть разложения Риччи ; он ортогонален разнице между тензором Римана и самим собой. Две другие части разложения Риччи соответствуют компонентам кривизны Риччи, которые не дают вклада в скалярную кривизну, и тензору Вейля , который является частью тензора Римана, которая не дает вклада в кривизну Риччи. Иными словами, указанное выше тензорное поле является единственной частью тензора кривизны Римана, которая вносит вклад в скалярную кривизну; остальные части ортогональны ему и не вносят такого вклада. Существует также разложение Риччи для кривизны метрики Кэлера .

Основные формулы

Скалярную кривизну конформно измененной метрики можно вычислить:

$R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},$

используя соглашение Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j для оператора Лапласа–Бельтрами . Альтернативно,

$R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R(g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.$

При бесконечно малом изменении базовой метрики имеем

${\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.$

Это, в частности, показывает, что главный символ дифференциального оператора , который переводит метрику в ее скалярную кривизну, имеет вид

$(\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j}.$

Кроме того, сопряженным к линеаризованному оператору скалярной кривизны является

$f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},$

и это переопределенный эллиптический оператор в случае римановой метрики. Прямым следствием первых формул вариации является то, что в первом порядке Риччи-плоская риманова метрика на замкнутом многообразии не может быть деформирована так, чтобы иметь положительную или отрицательную скалярную кривизну. Также в первом порядке метрика Эйнштейна на замкнутом многообразии не может быть деформирована при нормализации объема так, чтобы увеличить или уменьшить скалярную кривизну.

Связь между объемом и римановой скалярной кривизной

Когда скалярная кривизна в точке положительна, объем небольшого геодезического шара вокруг этой точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна в какой-то точке отрицательна, объем маленького шарика больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.

Это можно сделать более количественно, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны S в точке p риманова n -многообразия. $(M,g)$. А именно, отношение n -мерного объема шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве для малых ε определяется выражением

${\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).$

Таким образом, вторая производная этого отношения, рассчитанная на радиусе ε = 0, равна в точности минус скалярной кривизне, деленной на 3( n + 2).

Границами этих шаров являются ( n − 1)-мерные сферы радиуса $\varepsilon$; их гиперповерхностные меры («площади») удовлетворяют следующему уравнению:

${\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).$

Эти расширения обобщают некоторые характеристики гауссовой кривизны со второго измерения на более высокие измерения.

Особые случаи

Поверхности

В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза превышает гауссову кривизну. Для вложенной поверхности в евклидовом пространстве R ³ , это означает, что

$S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,$

где $\rho _{1},\,\rho _{2}$ — главные радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса r равна 2/ r ² .

Двумерный тензор кривизны Римана имеет только одну независимую компоненту, и его можно выразитьс точки зрения скалярной кривизны и формы метража. А именно, в любой системе координат имеется

$2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].$

Космические формы

по Пространственная форма определению — это риманово многообразие с постоянной секционной кривизной. Пространственные формы локально изометричны одному из следующих типов:

Евклидово пространство

Тензор Римана n -мерного евклидова пространства тождественно обращается в нуль, как и скалярная кривизна.

n -сферы

Кривизна сечения n -сферы радиуса r равна K = 1/ r. ² . Следовательно, скаляр кривизна равна S = n ( n − 1)/ r ² .

Гиперболическое пространство

С помощью гиперболоидной модели n - мерное гиперболическое пространство можно отождествить с подмножеством ( n + 1)-мерного пространства Минковского .

$x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.$

Параметр r является геометрическим инвариантом гиперболического пространства, а секционная кривизна равна K = −1/ r. ² . Таким образом, скалярная кривизна равна S = − n ( n − 1)/ r ² .

Скалярная кривизна также постоянна, если задана кэлерова метрика постоянной голоморфной секционной кривизны .

Продукты

Скалярная кривизна произведения M × N римановых многообразий является суммой скалярных кривизн M и N . Например, для любого гладкого замкнутого многообразия M , M × S ² имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто считая 2-сферу маленькой по сравнению с M (так что ее кривизна большая). Этот пример может свидетельствовать о том, что скалярная кривизна имеет мало отношения к глобальной геометрии многообразия. На самом деле, как обсуждается ниже , это действительно имеет некоторое глобальное значение .

И в математике, и в общей теории относительности искаженные метрики произведений являются важным источником примеров. Например, общее пространство-время Робертсона-Уокера , важное для космологии , представляет собой лоренцеву метрику.

$-dt^{2}+f(t)^{2}g$

на ( a , b ) × M , где g — риманова метрика постоянной кривизны на трехмерном многообразии M . Скалярная кривизна метрики Робертсона – Уокера определяется выражением

$6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},$

где k — постоянная кривизна g .

Скалярно-плоские пространства

автоматически Любое Риччи-плоское многообразие имеет нулевую скалярную кривизну; наиболее известными пространствами этого класса являются многообразия Калаби–Яу . В псевдоримановом контексте сюда также входят пространство-время Шварцшильда и пространство-время Керра .

Существуют метрики с нулевой скалярной кривизной, но ненулевой кривизной Риччи. Например, существует полная риманова метрика на тавтологическом линейном расслоении над реальным проективным пространством , построенная как метрика искривленного произведения , которая имеет нулевую скалярную кривизну, но ненулевую кривизну Риччи. Это также можно рассматривать как вращательно-симметричную риманову метрику нулевой скалярной кривизны на цилиндре R × S. ^н .

К сожалению, проблема

Основная статья: Проблема Ямабе

Проблема Ямабе была решена в 1984 году благодаря сочетанию результатов, полученных Хидехико Ямабе , Нилом Трудингером , Тьерри Обеном и Ричардом Шоном . Они доказали, что любую гладкую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая риманова метрика на замкнутом многообразии конформна метрике постоянной скалярной кривизны.

Риманова метрика положительной скалярной кривизны

Для замкнутого риманова 2-многообразия M связь с топологией M , выраженной теоремой Гаусса-Бонне : полная скалярная кривизна M равна 4 π- кратной эйлеровой характеристике M скалярная кривизна имеет четкую . Например, единственные замкнутые поверхности с метрикой положительной скалярной кривизны — это поверхности с положительной эйлеровой характеристикой: сфера S ² и РП ² . Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.

Результаты несуществования

В 1960-х годах Андре Лихнерович обнаружил, что на спиновом многообразии разница между квадратом оператора Дирака и тензорным лапласианом (как определено в спинорных полях) определяется ровно одной четвертью скалярной кривизны. Это фундаментальный пример формулы Вайценбека . Как следствие, если риманова метрика на замкнутом многообразии имеет положительную скалярную кривизну, то не может существовать гармонических спиноров . Тогда следствием теоремы Атьи–Зингера об индексе является то, что для любого замкнутого спинового многообразия размерности, кратной четырем, и положительной скалярной кривизны род Â должен исчезать. Это чисто топологическое препятствие существованию римановых метрик с положительной скалярной кривизной.

Аргумент Лихнеровича с использованием оператора Дирака может быть «искажен» с помощью вспомогательного векторного расслоения , в результате чего в формулу Лихнеровича будет добавлен только один дополнительный член. Затем, следуя тому же анализу, что и выше, за исключением использования семейной версии теоремы об индексе и уточненной версии рода Â, известного как α-род , Найджел Хитчин доказал, что в определенных измерениях существуют экзотические сферы , которые не имеют никаких римановых метрик. положительной скалярной кривизны. Позже Громов и Лоусон широко использовали эти варианты работ Лихнеровича. Одна из их результирующих теорем вводит гомотопическое понятие расширяемости и говорит, что расширяемое спиновое многообразие не может иметь риманову метрику положительной скалярной кривизны. Как следствие, замкнутое многообразие с римановой метрикой неположительной кривизны, такое как тор , не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. Различные результаты Громова и Лоусона об отсутствии римановых метрик с положительной скалярной кривизной подтверждают гипотезу об исчезновении широкого спектра топологических инвариантов любого замкнутого спинового многообразия с положительной скалярной кривизной. Это (в точной формулировке), в свою очередь, было бы частным случаем сильная гипотеза Новикова для фундаментальной группы , касающаяся К-теории С*-алгебр . Это, в свою очередь, является частным случаем гипотезы Баума–Конна для фундаментальной группы.

В частном случае четырехмерных многообразий уравнения Зайберга – Виттена были с пользой применены для изучения скалярной кривизны. Как и в анализе Лихнеровича, ключевым моментом является применение принципа максимума для доказательства того, что решения уравнений Зайберга – Виттена должны быть тривиальными, когда скалярная кривизна положительна. Также по аналогии с работой Лихнеровича теоремы об индексе могут гарантировать существование нетривиальных решений уравнений. Такой анализ дает новые критерии отсутствия метрик положительной скалярной кривизны. Клод ЛеБрун развивал подобные идеи в ряде статей.

Результаты существования

В отличие от приведенных выше результатов о несуществовании, Лоусон и Яу построили римановы метрики положительной скалярной кривизны из широкого класса неабелевых эффективных групповых действий.

Позже Шен-Яу и Громов-Лоусон (используя разные методы) доказали фундаментальный результат о том, что существование римановых метрик положительной скалярной кривизны сохраняется топологической хирургией в коразмерности не менее трех и, в частности, сохраняется связной суммой . Это доказывает существование таких метрик на самых разных многообразиях. Например, сразу видно, что связная сумма произвольного числа копий сферического пространства образует и обобщенные цилиндры S ^м × С ^н имеет риманову метрику положительной скалярной кривизны. Григория Перельмана Непосредственным следствием конструкции потока Риччи с перестройкой в ​​трехмерном случае является обратное: такой связной суммой должно быть замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие с римановой метрикой положительной скалярной кривизны.

Основываясь на операции, допускаемой конструкцией Громова-Лоусона и Шена-Яу, Громов и Лоусон заметили, что теорема о h-кобордизмах и анализ кольца кобордизмов могут быть применены напрямую. Они доказали, что в размерности больше четырех любое неспиновое односвязное замкнутое многообразие имеет риманову метрику положительной скалярной кривизны. Штефан Штольц завершил теорию существования односвязных замкнутых многообразий размерности больше четырех, показав, что пока α-род равен нулю, существует риманова метрика положительной скалярной кривизны.

Согласно этим результатам, для замкнутых многообразий полностью установлено существование римановых метрик положительной скалярной кривизны в трехмерном случае и в случае односвязных многообразий размерности больше четырех.

Теорема Каздана и Уорнера о трихотомии.

Знак скалярной кривизны имеет более слабое отношение к топологии в высших измерениях. Учитывая гладкое замкнутое многообразие M размерности не менее 3, Каздан и Уорнер решили предписанную проблему скалярной кривизны , описывающую, какие гладкие функции на M возникают как скалярная кривизна некоторой римановой метрики M. на А именно, M должно относиться ровно к одному из следующих трех типов:

1. Каждая функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M .
2. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она либо тождественно равна нулю, либо где-то отрицательна.
3. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она где-то отрицательна.

Таким образом, каждое многообразие размерности не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, то есть с постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана–Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) можно описать как класс многообразий с сильно скалярно-плоской метрикой , то есть метрикой с нулевой скалярной кривизной, такой, что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Акито Футаки показал, что сильно скалярно-плоские метрики (как они определены выше) являются чрезвычайно особенными. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, которое является сильно скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с группой голономии SU( n ) ( многообразия Калаби–Яу ), Sp( n ) ( гиперкэлеровы многообразия ), или Вращение(7). В частности, эти метрики являются Риччи-плоскими, а не просто скалярно-плоскими. И наоборот, существуют примеры многообразий с этими группами голономии, такие как поверхность K3 , которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, являются сильно скалярно-плоскими.

См. также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Инвариант Ямабе
• Скаляр Кречмана

Ссылки

• Обен, Тьерри (1998). Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN  3-540-60752-8 . МР   1636569 . Збл   0896.53003 .
• Бао, Д.; Черн, С.-С. ; Шен, З. (2000). Введение в геометрию Римана–Финслера . Тексты для аспирантов по математике . Том. 200. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-1268-3 . ISBN  0-387-98948-Х . МР   1747675 . Збл   0954.53001 .
• Бергер, Марсель (2003). Панорама римановой геометрии . Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-18245-7 . ISBN  3-540-65317-1 . МР   2002701 . Збл   1038.53002 .
• Берлин, Николь ; Гетцлер, Эзра ; Вернь, Мишель (2004). Тепловые ядра и операторы Дирака . Текстовые издания Basic Teachings (исправленная перепечатка оригинального издания 1992 года). Берлин: Springer Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-58088-8 . ISBN  978-3-540-20062-8 . МР   2273508 . Збл   1037.58015 .
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN  3-540-15279-2 . МР   0867684 . Збл   0613.53001 .
• Блэкадар, Брюс (1998). К-теория операторных алгебр . Публикации НИИ математических наук. Том. 5 (Второе издание оригинальной редакции 1986 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1007/978-1-4613-9572-0 . ISBN  0-521-63532-2 . МР   1656031 . Збл   0913.46054 .
• Цао, Хуай-Донг ; Чжу, Си-Пин (2006). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона – Перельмана потока Риччи» . Азиатский математический журнал . 10 (2): 165–492. дои : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . МР   2233789 . Збл   1200.53057 . (Ошибка: doi : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 )
  – – (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math/0612069 .
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения. Перевод второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN  0-8176-3490-8 . МР   1138207 . Збл   0752.53001 .
• Чавел, Исаак (1984). Собственные значения в римановой геометрии . Чистая и прикладная математика. Том. 115. Орландо, Флорида: Academic Press . дои : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN  0-12-170640-0 . МР   0768584 . Збл   0551.53001 .
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8 . ISBN  3-540-20493-8 . МР   2088027 . Збл   1068.53001 .
• Гилки, Питер Б. (1995). Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема об индексе Атьи – Зингера . Исследования по высшей математике (второе издание оригинальной редакции 1984 г.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . дои : 10.1201/9780203749791 . ISBN  0-8493-7874-5 . МР   1396308 . Збл   0856.58001 .
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинальной редакции 1995 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN  978-3-319-61859-3 . МР   3726907 . Збл   1380.53001 .
• Кляйнер, Брюс ; Лотт, Джон (2008). «Заметки о бумагах Перельмана» . Геометрия и топология . 12 (5). Обновлено с учетом исправлений в 2011 и 2013 гг.: 2587–2855. arXiv : math/0605667 . дои : 10.2140/gt.2008.12.2587 . МР   2460872 . Збл   1204.53033 .
• Лоусон, Х. Блейн-младший ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Принстонская математическая серия. Том. 38. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08542-0 . МР   1031992 . Збл   0688.57001 .
• Ли, Джон М .; Паркер, Томас Х. (1987). «Проблема Ямабе» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (1): 37–91. дои : 10.1090/S0273-0979-1987-15514-5 . МР   0888880 . Збл   0633.53062 .
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN  0-12-526740-1 . МР   0719023 . Збл   0531.53051 .
• Перельман, Гриша (март 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Риччи, Г. (1903–1904), «Направления и главные инварианты в любом многообразии» , Proceedings R. Inst. Венето , 63 (2): 1233–1239, JFM   35.0145.01

Дальнейшее чтение

• Громов, Миша (2023). «Четыре лекции о скалярной кривизне». Громов Михаил Львович ; Лоусон, Х. Блейн-младший (ред.). Перспективы скалярной кривизны. Том 1 . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing . стр. 1–514. arXiv : 1908.10612 . дои : 10.1142/12644-том1 . ISBN  978-981-124-998-3 . МР   4577903 . Збл   1532.53003 .
• Розенберг, Джонатан ; Штольц, Стефан (2001). «Метрика положительной скалярной кривизны и связь с хирургией». Ин Каппель, Сильвен ; Раницки, Эндрю ; Розенберг, Джонатан (ред.). Обзоры по теории хирургии. Том 2 . Анналы математических исследований. Том. 149. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 353–386. CiteSeerX   10.1.1.725.8156 . дои : 10.1515/9781400865215-010 . ISBN  0-691-08814-4 . МР   1818778 .
• Яу, С.-Т. (2000). «Обзор геометрии и анализа» . Азиатский математический журнал . 4 (1): 235–278. дои : 10.4310/AJM.2000.v4.n1.a16 . МР   1803723 . Збл   1031.53004 .