Задача о предписанной скалярной кривизне
В римановой геометрии , разделе математики , предписанная проблема скалярной кривизны заключается в следующем: для заданного замкнутого гладкого многообразия M и гладкой вещественнозначной функции ƒ на M постройте риманову метрику на M которой , скалярная кривизна равна ƒ . Эта проблема хорошо изучена, прежде всего, благодаря работам Дж. Каздана и Ф. Уорнера в 1970-х годах.
Решение в более высоких измерениях
[ редактировать ]Если размерность M равна трем или больше, то любая гладкая функция ƒ , принимающая где-то отрицательное значение, является скалярной кривизной некоторой римановой метрики. Предположение о том, что ƒ где-то отрицательно, вообще необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрики, имеющие строго положительную скалярную кривизну. (Например, таким многообразием является трехмерный тор .) Однако Каздан и Уорнер доказали, что если M действительно допускает некоторую метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция ƒ является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике, 1998.
- Каздан Дж. и Уорнер Ф. Скалярная кривизна и конформная деформация римановой структуры. Журнал дифференциальной геометрии. 10 (1975). 113–134.
 | Эта римановой геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |