К сожалению, проблема

Проблема Ямабе относится к гипотезе из математической области дифференциальной геометрии , которая была решена в 1980-х годах. Это утверждение о скалярной кривизне многообразий римановых :

Пусть $(M, g)$ — замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция $f$ на $M$ такая, что риманова метрика $fg$ имеет постоянную скалярную кривизну.

Вычислив формулу того, как скалярная кривизна $fg$ связана со скалярной кривизной $g$ , это утверждение можно перефразировать в следующей форме:

Пусть $(M, g)$ — замкнутое гладкое риманово многообразие. Тогда существуют положительная и гладкая функция $φ$ на $M$ и число $c$ такие, что
${\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.$
Здесь $n$ обозначает размерность $M$ , $R г$ обозначает скалярную кривизну $g$ и $∆ г$ обозначает оператор Лапласа-Бельтрами функции $g$ .

Математик Хидехико Ямабе в статье Ямабе (1960) сформулировал приведенные выше утверждения в виде теорем и предоставил доказательство; однако Трудингер (1968) обнаружил ошибку в своем доказательстве. Проблема понимания того, верны или ложны приведенные выше утверждения, стала известна как проблема Ямабе. Совместная работа Ямабе, Трудингера, Тьерри Обена и Рихарда Шона обеспечила положительное решение проблемы в 1984 году.

В настоящее время она рассматривается как классическая задача геометрического анализа , доказательство которой требует новых методов в области дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Решающим моментом в окончательном решении проблемы Шоном стало применение положительной энергии о теоремы общей теории относительности , которая представляет собой чисто дифференциально-геометрическую математическую теорему, впервые доказанную (в предварительной обстановке) в 1979 году Шоном и Шинг-Тунг Яу .

Более поздние работы были выполнены Саймоном Брендлом , Маркусом Кхури, Фернандо Кода Маркесом и Шеном, имевшими дело с совокупностью всех положительных и гладких функций $f$ таких, что для данного риманова многообразия $(M, g)$ метрика $fg$ имеет постоянная скалярная кривизна. Кроме того, проблема Ямабе, поставленная в аналогичных ситуациях, например, для полных некомпактных римановых многообразий, еще не полностью понята.

Задача Ямабе случаях в особых

Здесь мы имеем в виду «решение проблемы Ямабе» на римановом многообразии. $(M,{\overline {g}})$ как риманова метрика $g$ на $M,$ для которой существует положительная гладкая функция $\varphi :M\to \mathbb {R} ,$ с $g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.$

О замкнутом многообразии Эйнштейна [ править ]

Позволять $(M,{\overline {g}})$ — гладкое риманово многообразие. Рассмотрим положительную гладкую функцию $\varphi :M\to \mathbb {R} ,$ так что $g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}$ — произвольный элемент гладкого конформного класса ${\overline {g}}.$ Стандартный расчет показывает

{\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.

Взяв $g$ -внутренний продукт с $\textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)$ приводит к

\varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.

Если ${\overline {g}}$ предполагается Эйнштейном, то левая часть обращается в нуль. Если $M$ предполагается замкнутым, то можно провести интегрирование по частям, напоминая тождество Бьянки $\textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,$ чтобы увидеть

\int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.

Если $g$ имеет постоянную скалярную кривизну, то правая часть обращается в нуль. Последующее исчезновение левой части доказывает следующий факт, принадлежащий Обате (1971):

Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии Эйнштейна является эйнштейновым.

Затем Обата доказал, что, за исключением случая стандартной сферы с ее обычной метрикой постоянной секционной кривизны, единственные метрики постоянной скалярной кривизны в конформном классе метрики Эйнштейна (на замкнутом многообразии) являются постоянными. кратные данной метрике. Доказательство продолжается, показывая, что градиент конформного фактора на самом деле является конформным полем Киллинга. Если конформный фактор не является постоянным, следование линиям потока этого поля градиента, начиная с минимума конформного фактора, позволяет показать, что многообразие конформно связано с цилиндром. $S^{n-1}\times \mathbb {R}$ , и, следовательно, имеет исчезающую кривизну Вейля.

Некомпактный случай [ править ]

Близко связанный вопрос — это так называемая «некомпактная проблема Ямабе», которая спрашивает: верно ли, что на каждом гладком полном римановом многообразии $(M, g),$ которое не является компактным, существует метрика, конформная g , имеет постоянную скалярную кривизну и является полным? Ответ — нет, благодаря контрпримерам, приведенным Джином (1988) . Известны различные дополнительные критерии, при которых можно доказать существование решения проблемы Ямабе для некомпактного многообразия (например, Aviles & McOwen (1988) ); однако получение полного понимания того, когда проблема может быть решена в некомпактном случае, остается темой исследования.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Научные статьи [ править ]

Обен, Тьерри (1976), «Нелинейные дифференциальные уравнения и проблема Ямабе о скалярной кривизне», J. Math. Чистое приложение. , 55 : 269–296
Авилес, П.; МакОуэн, RC (1988), «Конформная деформация до постоянной отрицательной скалярной кривизны на некомпактных римановых многообразиях», J. Differ. Геом. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR 0925121
Цзинь, Чжи Жэнь (1988), «Контрпример к проблеме Ямабе для полных некомпактных многообразий», Уравнения в частных производных (Тяньцзинь, 1986) , Конспект лекций по математике, том. 1306, Берлин: Springer, стр. 93–101, doi : 10.1007/BFb0082927 , MR 1032773.
Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. (1987), «Проблема Ямабе» , Бюллетень Американского математического общества , 17 : 37–81, doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5 .
Обата, Морио (1971), «Гипотезы о конформных преобразованиях римановых многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 6 : 247–258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR 0303464
Шон, Ричард (1984), «Конформная деформация римановой метрики до постоянной скалярной кривизны», J. Differ. Геом. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
Трудингер, Нил С. (1968), «Замечания относительно конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях» , Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 22 : 265–274, MR 0240748
Ямабе, Хидехико (1960), «О деформации римановых структур на компактных многообразиях» , Осакский математический журнал , 12 : 21–37, ISSN 0030-6126 , MR 0125546

Учебники [ править ]

Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Берлин, 1998. xviii+395 стр. ISBN 3-540-60752-8
Шен, Р.; Яу, С.-Т. Лекции по дифференциальной геометрии. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Кун Цин Чанг [Гун Цин Чжан], Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. С предисловием, переведенным с китайского Кайсингом Цо. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, I. International Press, Кембридж, Массачусетс, 1994. v+235 стр. ISBN 1-57146-012-8
Струве, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертое издание. Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 34. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xx+302 стр. ISBN 978-3-540-74012-4