Инвариант Ямабе

В математике , в области дифференциальной геометрии , инвариант Ямабе , также называемый сигма-константой , представляет собой инвариант вещественного числа, связанный с гладким многообразием , который сохраняется при диффеоморфизмах . Впервые оно было записано независимо О. Кобаяши и Р. Шёном и берет свое название от Х. Ямабе . Используется Винсентом Монкриефом и Артуром Фишером для изучения приведенного гамильтониана уравнений Эйнштейна.

Определение

Позволять $M$ — компактное гладкое многообразие (без края) размерности $n\geq 2$ . Нормированный функционал Эйнштейна–Гильберта ${\mathcal {E}}$ присваивает каждой римановой метрике $g$ на $M$ действительное число следующим образом:

{\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},

где $R_{g}$ скалярная кривизна $g$ и $dV_{g}$ объемная плотность , связанная с метрикой $g$ . Показатель степени в знаменателе выбран таким образом, чтобы функционал был масштабно-инвариантным: для каждой положительной вещественной константы $c$ , это удовлетворяет ${\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)$ . Мы можем подумать о ${\mathcal {E}}(g)$ как измерение средней скалярной кривизны $g$ над $M$ . Ямабе высказал гипотезу, что каждый конформный класс метрик содержит метрику постоянной скалярной кривизны (так называемая проблема Ямабе ); и Шен доказали Ямабе, Трудингер , Обин , что минимальное значение ${\mathcal {E}}(g)$ достигается в каждом конформном классе метрик, и, в частности, этот минимум достигается метрикой постоянной скалярной кривизны.

Мы определяем

Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),

где нижняя грань берется по гладким вещественным функциям $f$ на $M$ . Это наименьшее конечно (не $-\infty$ ): Из неравенства Гёльдера следует $Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}$ . Число $Y(g)$ иногда называют конформной энергией Ямабе $g$ (и постоянен на конформных классах).

Аргумент сравнения, предложенный Обеном, показывает, что для любой метрики $g$ , $Y(g)$ ограничено сверху ${\mathcal {E}}(g_{0})$ , где $g_{0}$ является стандартной метрикой $n$ -сфера $S^{n}$ . Отсюда следует, что если мы определим

\sigma (M)=\sup _{g}Y(g),

где верхняя грань берется по всем метрикам на $M$ , затем $\sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})$ (и, в частности, конечно).действительное число $\sigma (M)$ называется инвариантом Ямабе $M$ .

Инвариант Ямабе в двух измерениях

В случае, если $n=2$ , (так что M является замкнутой поверхностью ) функционал Эйнштейна–Гильберта имеет вид

{\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},

где $K_{g}$ — кривизна g . Гаусса Однако по теореме Гаусса – Бонне интеграл от кривизны Гаусса определяется выражением $2\pi \chi (M)$ , где $\chi (M)$ является характеристикой M . эйлеровой В частности, это число не зависит от выбора метрики. Поэтому для поверхностей мы заключаем, что

\sigma (M)=4\pi \chi (M).

Например, 2-сфера имеет инвариант Ямабе, равный $8\pi$ , а 2-тор имеет инвариант Ямабе, равный нулю.

Примеры

и его сотрудники вычислили инвариант Ямабе для больших классов 4-многообразий В конце 1990-х годов Клод Лебрен . В частности, было показано, что большинство компактных комплексных поверхностей имеют отрицательный, точно вычислимый инвариант Ямабе и что любая метрика Кэлера–Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны реализует инвариант Ямабе в размерности 4. Было также показано, что инвариант Ямабе $CP^{2}$ реализуется метрикой Фубини–Студи и поэтому меньше, чем у 4-сферы. Большинство этих аргументов связаны с теорией Зайберга-Виттена и поэтому относятся к размерности 4.

Важный результат Петина утверждает, что если $M$ односвязен и имеет размерность $n\geq 5$ , затем $\sigma (M)\geq 0$ . Из решения Перельманом гипотезы Пуанкаре следует, что односвязный $n$ -многообразие может иметь отрицательный инвариант Ямабе, только если $n=4$ . С другой стороны, как уже указывалось, просто связанные $4$ На самом деле -многообразия часто имеют отрицательные инварианты Ямабе.

Ниже приведена таблица некоторых гладких многообразий размерности три с известным инвариантом Ямабе. В размерности 3 число ${\mathcal {E}}(g_{0})$ равенк $6(2\pi ^{2})^{2/3}$ и часто обозначается $\sigma _{1}$ .

$M$	$\sigma (M)$	примечания
$S^{3}$	$\sigma _{1}$	3 -сфера
$S^{2}\times S^{1}$	$\sigma _{1}$	тривиальное расслоение 2-сфер над $S^{1}$ ^[1]
$S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}$	$\sigma _{1}$	единственное неориентируемое расслоение двух сфер над $S^{1}$
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}$	$\sigma _{1}/2^{2/3}$	вычислено Бреем и Невесом
$\mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\times S^{1}$	$\sigma _{1}/2^{2/3}$	вычислено Бреем и Невесом
$T^{3}$	$0$	3 -тор

Согласно аргументу Андерсона, результаты Перельмана о потоке Риччи подразумевают, что метрика постоянной кривизны на любом гиперболическом трехмерном многообразии реализует инвариант Ямабе. Это дает нам бесконечное множество примеров.3-многообразий, для которых инвариант одновременно отрицателен иточно вычислимо.

Топологическое значение

Знак инварианта Ямабе $M$ содержит важную топологическую информацию. Например, $\sigma (M)$ положительныйтогда и только тогда, когда $M$ допускает метрику положительной скалярной кривизны. ^[2] Значение этого факта состоит в том, что многое известно о топологии многообразий с метрикой положительной скалярной кривизны.

См. также

Примечания

^ См. Шон, стр. 135
^ Акутагава и др., стр. 73

Ссылки

М. Т. Андерсон , «Канонические метрики на 3-многообразиях и 4-многообразиях», Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
К. Акутагава, М. Исида и К. Лебрен, «Инвариант Перельмана, поток Риччи и инварианты Ямабе гладких многообразий», Arch. Математика. 88 , 71–76 (2007).
Х. Брей и А. Невес, «Классификация простых 3-многообразий с инвариантом Ямабе больше, чем $\mathbb {RP} ^{3}$ », Ann. of Math. 159 , 407–424 (2004).
М. Дж. Гурски и К. Лебрен, «Инварианты Ямабе и $Spin^{c}$ структуры», Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998).
О. Кобаяши, "Скалярная кривизна метрики с единичным объемом", Матем. Энн. 279 , 253–265, 1987.
К. Лебрен, «Четыре многообразия без метрик Эйнштейна», Math. Рез. Летт. 3 133–147 (1996).
К. Лебрен, «Измерение Кодайры и проблема Ямабе», Comm. Анальный. Геом. 7 133–156 (1999).
Дж. Питин, «Инвариант Ямабе односвязных многообразий», Дж. Рейн Ангью. Математика. 523 225–231 (2000).
Р. Шен, «Вариационная теория функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные темы», Темы вариационного исчисления , Лекция. Примечания Матем. 1365 , Шпрингер, Берлин, 120–154, 1989.

[1] См. Шон, стр. 135

[2] Акутагава и др., стр. 73

[1]

[2]