Ричард Шон

Ричард Шон
Шен в Обервольфахе в 2015 году
Рожденный ( 1950-10-23 ) 23 октября 1950 г. (73 года)
Форт-Рекавери, Огайо [15]
Национальность Американский
Альма-матер Стэнфордский университет ( доктор философии )
Дейтонский университет ( бакалавр наук )
Известный
Супруг Дорис Фишер-Колбри
Награды
Научная карьера
Поля Математика
Учреждения Институт Куранта, Нью-Йоркский университет
Стэнфордский университет

Калифорнийский университет, Ирвин
Калифорнийский университет, Сан-Диего
Диссертация
Теоремы существования и регулярности некоторых геометрических вариационных задач
Докторантура
Докторанты

Ричард Мелвин Шон (родился 23 октября 1950 г.) — американский математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Он наиболее известен решением проблемы Ямабе в 1984 году.

Карьера [ править ]

Он родился в Селине, штат Огайо, в 1968 году окончил среднюю школу Форт-Рекавери и получил степень бакалавра в Дейтонском университете математики . Затем он получил докторскую степень в 1977 году в Стэнфордском университете . После преподавательских должностей в Институте Куранта Нью-Йоркского университета , Калифорнийском университете в Беркли и Калифорнийском университете в Сан-Диего он был профессором Стэнфордского университета с 1987 по 2014 год, а с 1992 года — бас-профессором гуманитарных и естественных наук. [16] В настоящее время он является заслуженным профессором и отличником кафедры преподавания в Калифорнийском университете в Ирвайне . [17] Его фамилия произносится как «Шейн».

Шон получил исследовательскую стипендию NSF в 1972 году и исследовательскую стипендию Слоана в 1979 году. [1] Шон — стипендиат программы Макартура 1983 года . [2] приглашали выступить на Международном конгрессе математиков (ICM) Его трижды , в том числе дважды в качестве пленарного докладчика . [18] В 1983 году он был приглашенным докладчиком на ICM в Варшаве , в 1986 году он был пленарным докладчиком на ICM в Беркли , а в 2010 году он был пленарным спикером на ICM в Хайдарабаде . За работу над проблемой Ямабе Шон был удостоен Мемориальной премии Бошера в 1989 году. [4] Он был избран членом Американской академии искусств и наук в 1988 году и Национальной академии наук в 1991 году, стал членом Американской ассоциации содействия развитию науки в 1995 году и выиграл стипендию Гуггенхайма в 1996 году. [3] [5] [6] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [7] Он получил Премию декана Стэнфордского университета в 2014–2015 годах за выдающиеся достижения в области преподавания. [8] В 2015 году он был избран вице-президентом Американского математического общества . [19] В 2015 году он был удостоен звания почетного доктора наук Уорикского университета . [20] Он получил премию Вольфа по математике за 2017 год, которую разделил с Чарльзом Фефферманом . [21] В том же году он был удостоен премии Хайнца Хопфа , медали и премии Лобачевского Казанского федерального университета , премии Рольфа Шока . [22] [23] [24]

У него было более 44 докторантов, в том числе Юбер Брей , Хосе Ф. Эскобар , Айлана Фрейзер , Чикако Мезе , Уильям Миникоцци и Андре Невес . [25]

Математическая работа [ править ]

Шен исследовал использование аналитических методов в глобальной дифференциальной геометрии , внес ряд фундаментальных вкладов в теорию регулярности минимальных поверхностей и гармонических отображений.

Карты гармоник [ править ]

В 1976 году Шон и Шинг-Тунг Яу Яу использовали более ранние теоремы Лиувилля , чтобы распространить явления жесткости, обнаруженные ранее Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные условия. [26] [27] Выявив определенное взаимодействие тождества Бохнера для гармонических карт вместе со вторым вариантом формулы площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили некоторые новые условия в области, ведущие к тому же выводу. Эти теоремы о жесткости дополняются теоремой их существования для гармонических отображений в некомпактных областях как простое следствие решения Ричардом Гамильтоном краевой задачи Дирихле. [28] Как следствие, они получили некоторые поразительные геометрические результаты, например, то, что некоторые некомпактные многообразия не допускают каких-либо полных метрик неотрицательной кривизны Риччи.

В двух статьях 1980-х годов Шен и Карен Уленбек внесли основополагающий вклад в теорию регулярности гармонических карт, минимизирующих энергию . Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали большое влияние на область геометрического анализа и были адаптированы для решения ряда других задач. Их фундаментальные выводы включают теоремы о компактности множеств гармонических отображений и контроле над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил такие результаты, чтобы получить четкое представление о мелкомасштабной геометрии гармонических карт, минимизирующих энергию. [29]

Позже Михаил Громов понял, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах, а не в римановых многообразиях , будет иметь ряд важных приложений, а аналоги классической теоремы Иллса-Сэмпсона о жесткости дадут новые теоремы о жесткости. для решеток . Подробные аналитические детали такой теории были разработаны Шоном. Дальнейшие основы этого нового контекста гармонических карт были заложены Шоном и Николасом Коревааром.

Минимальные поверхности, положительная скалярная кривизна и теорема положительной о массе

В 1979 году Шен и его бывший научный руководитель Шинг-Тунг Яу внесли ряд весьма влиятельных вкладов в изучение положительной скалярной кривизны . С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса , формулы второй вариации площади и теоремы Гаусса-Бонне Шен и Яу смогли исключить существование нескольких типов стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях положительных скалярная кривизна. Сопоставляя этот результат с их аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли добиться ограничений, при которых многообразия могут допускать метрику положительной скалярной кривизны. Позже Шон и Дорис Фишер-Колбри предприняли более широкое исследование стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях, используя вместо этого анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие измерения. Дальнейшие аналитические методы облегчили применение топологических операций на многообразиях, допускающих метрики положительной скалярной кривизны, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Х. Блейн Лоусон получили аналогичные результаты другими методами, также предприняв более глубокий анализ топологических последствий. [30] [31]

Распространив свои методы на некомпактные многообразия, Шон и Яу смогли решить важный римановский случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности , которую можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. . Как и их первоначальные результаты, этот аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном . [32] [33] [34]

Шон, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой для второй вариации площади, которая дает важные оценки кривизны для стабильных минимальных гиперповерхностей малых размеров. В 1983 году Шон получил аналогичные оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат . Несколько более слабые оценки были получены Шоном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений на размерность. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы о компактности для стабильных минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «сингулярных множеств». В частности, оценки Шона-Саймона являются важным инструментом в мин-макс-теории Альмгрена-Питтса , которая нашла ряд приложений.

Возможное наличие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых можно легко провести индуктивные аргументы Шона и Яу. Между тем существенное использование Виттеном спиноров ограничивает его результаты топологически частными случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в более высоких измерениях остался основной открытой проблемой в работе Шена и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в особом случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело важное значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, в котором рассматривается общий случай, в котором они имеют дело непосредственно с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

Ямабе и конформная геометрия Проблема

В 1960 году Хидехико Ямабе представил «функционал Ямабе» для конформного класса римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну . [35] Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было развито Нилом Трудингером и Тьерри Обеном . [36] [37] Работа Обена, в частности, разрешила случаи большой размерности или случаи, когда существует точка, в которой тензор Вейля отличен от нуля. В 1984 году Шон урегулировал вопросы, оставшиеся открытыми благодаря работе Обена, решающим моментом которой стало изменение масштаба метрики с помощью функции Грина оператора Лапласа-Бельтрами . Это позволило применить теорему Шена и Яу о положительной массе к полученной метрике, дав важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабе, Трудингера, Обина и Шена вместе составляют решение проблемы Ямабе , которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шен также смог адаптировать анализ пузырьков Карен Уленбек , разработанный для других геометрическо-аналитических задач, к условиям постоянной скалярной кривизны. [38] [39] Единственность критических точек функционала Ямабе и, в более общем смысле, компактность множества всех критических точек — это тонкий вопрос, впервые исследованный Шоном в 1991 году. Более полные результаты были позже получены Саймоном Брендлом , Маркусом Хури, Фернандо Кода Маркесом , и Шен.

сфере дифференцируемой о Теорема

В 1980-х годах Ричард Гамильтон представил поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, особенно для двумерных и трехмерных пространств. [40] [41] Хотя он и другие нашли частичные результаты в больших измерениях, прогресс был заблокирован трудностью понимания сложного тензора кривизны Римана . [42] Саймон Брендл и Шон смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любом измерении, факт, независимо доказанный Хай Нгуеном. [43] [44] Брендл и Шен также смогли связать свое условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны , что позволило им использовать недавние на тот момент алгебраические идеи Кристофа Бема и Буркхарда Вилкинга, тем самым получив новую теорему сходимости для потока Риччи. [45] Частным случаем их теоремы о сходимости является простое следствие теоремы о дифференцируемой сфере , которая была хорошо известной гипотезой при изучении положительной секционной кривизны в течение последних пятидесяти лет.

Избранные публикации [ править ]

Учебники

  • Шен, Р.; Яу, С.-Т. (1994). Лекции по дифференциальной геометрии . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 1. Конспекты лекций подготовлены Вэй Юэ Дином, Кун Цин Чангом, Цзя Цин Чжуном и И Чао Сюем. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. Предисловие в переводе с китайского Кайсинга Цо. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-012-8 . МР   1333601 . Збл   0830.53001 .
  • Шен, Р.; Яу, СТ (1997). Лекции по гармоническим картам . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 2. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-002-0 . МР   1474501 . Збл   0886.53004 .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «База данных стипендиатов | Фонд Альфреда П. Слоана» . Слоан.орг .
  2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ричард М. Шон» . www.macfound.org .
  3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ричард Мелвин Шон» . Американская академия искусств и наук .
  4. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Просмотр призов и наград» . Американское математическое общество .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ричард М. Шон» . www.nasonline.org .
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Ричард М. Шон» . Мемориальный фонд Джона Саймона Гуггенхайма .
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Список членов Американского математического общества , получено 14 июля 2013 г.
  8. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Награды декана H&S за преподавание | Стэнфордские гуманитарные науки и науки» . humsci.stanford.edu .
  9. ^ «Уорик в честь лауреатов Нобелевской премии, ведущего кинорежиссера, журналиста, руководителей CBI и TUC, индонезийского писателя, гуру путешествий и руководителя Британской библиотеки» . Warwick.ac.uk .
  10. ^ «Список всех почетных выпускников и медалистов канцлера» . Warwick.ac.uk .
  11. ^ «Ричард Шон» . 12 декабря 2018 г.
  12. ^ «Премия Хайнца Хопфа и лекции» . math.ethz.ch. ​
  13. ^ «Ричард Шен объявлен лауреатом медали и премии Лобачевского 2017 года» .
  14. ^ «Премия Рольфа Шока» . Королевский Академия наук .
  15. ^ «Ричард Мелвин Шон» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 6 января 2017 г.
  16. ^ «Профиль Ричарда Шона | Стэнфордские профили» . Profiles.stanford.edu .
  17. ^ «Ричард Шон | Математика UCI» . www.math.uci.edu .
  18. ^ «Пленарное заседание ICM и приглашенные докладчики | Международный математический союз (IMU)» . www.mathunion.org .
  19. ^ «Комитеты АМС» . Американское математическое общество .
  20. ^ «Почетный выпускник и речи – лето 2015» . Warwick.ac.uk .
  21. ^ «Фонд Вольфа – «Ричард Шон, лауреат премии Вольфа по математике – 2017» » .
  22. ^ «Лауреат 2017» . math.ethz.ch. ​
  23. ^ «Объявлено имя лауреата медали Н.И. Лобачевского и премии – Медали Н.И. Лобачевского» . Медаль им. Н.И. Лобачевского . 23 октября 1950 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  24. ^ «Цитата на премию Рольфа Шока для Рихарда Шона» .
  25. ^ «Ричард Шен - Проект математической генеалогии» . www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu . Проверено 12 марта 2019 г.
  26. ^ Яу, Шинг Тунг. Некоторые теоретико-функциональные свойства полного риманова многообразия и их приложения к геометрии. Университет Индианы. Математика. Дж. 25 (1976), вып. 7, 659–670.
  27. ^ Иллс, Джеймс-младший; Сэмпсон, Дж. Х. Гармонические отображения римановых многообразий. амер. Дж. Математика. 86 (1964), 109–160.
  28. ^ Гамильтон, Ричард С. Гармонические карты многообразий с краем. Конспекты лекций по математике, Vol. 471. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1975. i+168 стр.
  29. ^ Саймон, Леон. Асимптотика одного класса нелинейных эволюционных уравнений с приложениями к геометрическим задачам. Энн. математики. (2) 118 (1983), вып. 3, 525–571.
  30. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн-младший. Классификация односвязных многообразий положительной скалярной кривизны. Энн. математики. (2) 111 (1980), вып. 3, 423–434.
  31. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн-младший. Положительная скалярная кривизна и оператор Дирака на полных римановых многообразиях. Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 58 (1983), 83–196.
  32. ^ Виттен, Эдвард Новое доказательство теоремы о положительной энергии. Комм. Математика. Физ. 80 (1981), вып. 3, 381–402.
  33. ^ Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. Проблема Ямабе. Бык. амер. Математика. Соц. (НС) 17 (1987), вып. 1, 37–91.
  34. ^ Бартник, Роберт. Масса асимптотически плоского многообразия. Комм. Чистое приложение. Математика. 39 (1986), вып. 5, 661–693.
  35. ^ Ямабе, Хидехико. О деформации римановых структур на компактных многообразиях. Осака Математика. Дж. 12 (1960), 21–37.
  36. ^ Трудингер, Нил С. Замечания относительно конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях. Энн. Скуола Норм. Как дела. Пиза Кл. наук. (3) 22 (1968), 265–274.
  37. ^ Обен, Тьерри. Нелинейные дифференциальные уравнения и проблема Ямабе о скалярной кривизне. Дж. Математика. Чистое приложение. (9) 55 (1976), вып. 3, 269–296.
  38. ^ Сакс, Дж.; Уленбек, К. Существование минимальных погружений 2-сфер. Энн. математики. (2) 113 (1981), вып. 1, 1–24.
  39. ^ Уленбек, Карен К. Связи с ограничениями кривизны Lp. Комм. Математика. Физ. 83 (1982), вып. 1, 31–42.
  40. ^ Гамильтон, Ричард С. Трехмногообразия с положительной кривизной Риччи. Дж. Дифференциальная геометрия 17 (1982), вып. 2, 255–306.
  41. ^ Гамильтон, Ричард С. Поток Риччи на поверхностях. Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986), 237–262, Contemp. матем., 71, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1988.
  42. ^ Гамильтон, Ричард С. Четырехмногообразия с оператором положительной кривизны. Дж. Дифференциальная геометрия. 24 (1986), вып. 2, 153–179.
  43. ^ Микаллеф, Марио Дж.; Мур, Джон Дуглас. Минимальные две сферы и топология многообразий положительной кривизны на вполне изотропных двух плоскостях. Энн. математики. (2) 127 (1988), вып. 1, 199–227.
  44. ^ Нгуен, Хай Т. Изотропная кривизна и поток Риччи. Межд. Математика. Рез. Нет. ИМСР 2010, вып. 3, 536–558.
  45. ^ Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард. Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами. Энн. математики. (2) 167 (2008), вып. 3, 1079–1097.

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Richard_Schoen&oldid=1217977356"