Формула Саймонса

В математической области дифференциальной геометрии формула Саймонса (также известная как тождество Саймонса и в некоторых вариантах как неравенство Саймонса ) является фундаментальным уравнением при изучении минимальных подмногообразий . Он был открыт Джеймсом Саймонсом в 1968 году. ^{[ 1 ]} Его можно рассматривать как формулу лапласиана второй фундаментальной формы риманова подмногообразия . Его часто цитируют и используют в менее точной форме формулы или неравенства для лапласиана длины второй фундаментальной формы.

В случае гиперповерхности $М$ евклидова пространства формула утверждает, что

\Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,

где, относительно локального выбора единичного нормального векторного поля, $h$ — вторая фундаментальная форма , $H$ — средняя кривизна , а $h 2$ — симметричный 2-тензор на $M,$ заданный формулой $h 2 ij = г ПК ч ip ч qj$ . ^{[ 2 ]} Это имеет последствие, что

{\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})

где $A$ — оператор формы . ^{[ 3 ]} В этом случае вывод особенно прост:

{\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_{jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^{p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j}^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}

единственные используемые инструменты - это уравнение Кодацци (равенства № 2 и 4), уравнение Гаусса (равенство № 4) и коммутационное тождество для ковариантного дифференцирования (равенство № 3). Более общий случай гиперповерхности в римановом многообразии требует дополнительных терминов, связанных с тензором кривизны Римана . ^{[ 4 ]} В еще более общем случае произвольной коразмерности формула включает в себя сложный многочлен во второй фундаментальной форме. ^{[ 5 ]}

Ссылки

Сноски

^ Саймонс 1968 , раздел 4.2.
^ Huisken 1984 , Лемма 2.1(i).
^ Саймон 1983 , Лемма B.8.
^ Хуискен 1986 .
^ Саймонс 1968 , раздел 4.2; Черн, до Карму и Кобаяши, 1970 .

Книги

Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Курс минимальных поверхностей. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii+313 стр. ISBN 978-0-8218-5323-8
Энрико Джусти. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. Монографии по математике, 80. Birkhäuser Verlag, Базель, 1984. xii+240 стр. ISBN 0-8176-3153-4
Леон Саймон. Лекции по геометрической теории меры. Труды Центра математического анализа Австралийского национального университета, 3. Австралийский национальный университет, Центр математического анализа, Канберра, 1983. vii+272 стр. ISBN 0-86784-429-9

Статьи

С. С. Черн, М. ду Карму и С. Кобаяши. Минимальные подмногообразия сферы со второй фундаментальной формой постоянной длины. Функциональный анализ и смежные области (1970), 59–75. Материалы конференции в честь профессора Маршалла Стоуна, состоявшейся в Чикагском университете в мае 1968 года. Спрингер, Нью-Йорк. Под редакцией Феликса Э. Браудера. дои : 10.1007/978-3-642-48272-4_2
Герхард Хейскен. Течение посредством средней кривизны выпуклых поверхностей в сферы. Дж. Дифференциальная геометрия. 20 (1984), вып. 1, 237–266. дои : 10.4310/jdg/1214438998
Герхард Хейскен. Стягивание выпуклых гиперповерхностей в римановых многообразиях посредством их средней кривизны. Изобретать. Математика. 84 (1986), вып. 3, 463–480. два : 10.1007/BF01388742
Джеймс Саймонс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Энн. математики. (2) 88 (1968), 62–105. дои : 10.2307/1970556

[FOOTNOTESimons1968Section_4.2-1] Саймонс 1968 , раздел 4.2.

[FOOTNOTEHuisken1984Lemma_2.1(i)-2] Huisken 1984 , Лемма 2.1(i).

[FOOTNOTESimon1983Lemma_B.8-3] Саймон 1983 , Лемма B.8.

[FOOTNOTEHuisken1986-4] Хуискен 1986 .

[FOOTNOTESimons1968Section_4.2Cherndo_CarmoKobayashi1970-5] Саймонс 1968 , раздел 4.2; Черн, до Карму и Кобаяши, 1970 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]