Уравнения Гаусса – Кодацци

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии уравнения Гаусса -Кодацци (также называемые уравнениями Гаусса-Кодацци-Вайнгартена-Майнарди или формулами Гаусса-Петерсона-Кодацци) ) являются фундаментальными формулами, которые связывают вместе индуцированную метрику и вторую фундаментальную форму подмногообразия (или погружения в) риманова или псевдориманова многообразия .

Уравнения были первоначально обнаружены в контексте поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве . В этом контексте первое уравнение, часто называемое уравнением Гаусса (в честь его первооткрывателя Карла Фридриха Гаусса ), говорит, что гауссова кривизна поверхности в любой данной точке определяется производными карты Гаусса в этой точке, как кодируется второй фундаментальной формой . Второе уравнение, называемое уравнением Кодацци или уравнением Кодацци-Майнарди , утверждает, что ковариантная производная второй фундаментальной формы полностью симметрична. Он назван в честь Гаспаре Майнарди (1856 г.) и Дельфино Кодацци (1868–1869 г.), которые независимо получили результат: хотя он был открыт ранее Карлом Михайловичем Петерсоном .

Официальное заявление

Позволять $i\colon M\subset P$ — n -мерное вложенное подмногообразие риманова многообразия P размерности $n+p$. Существует естественное включение касательного расслоения M коядро расслоение P посредством pushforward , а является нормальным расслоением M в :

$0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.$

Метрика разбивает эту короткую точную последовательность , и поэтому

$TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.$

По отношению к этому расщеплению связь Леви-Чивита $\nabla '$ P . распадается на тангенциальную и нормальную составляющие Для каждого $X\in TM$ и векторное поле Y на M ,

$\nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).$

Позволять

$\nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).$

Гаусса Формула теперь утверждает, что $\nabla _{X}$ – связность Леви-Чивита для M , и $\alpha$ представляет собой симметричную векторную форму со значениями в нормальном расслоении. Ее часто называют второй фундаментальной формой .

Непосредственным следствием является уравнение Гаусса для тензора кривизны . Для $X,Y,Z,W\in TM$,

$\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle$

где $R'$ — тензор кривизны Римана P , а R — тензор M. кривизны

Уравнение Вайнгартена является аналогом формулы Гаусса для связности в нормальном расслоении. Позволять $X\in TM$ и $\xi$ нормальное векторное поле. Затем разложите объемлющую ковариантную производную $\xi$ вдоль X на тангенциальную и нормальную составляющие:

$\nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).$

Затем

1. Уравнение Вайнгартена : $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$
2. D _X — метрическая связность в нормальном расслоении.

Таким образом, существует пара связностей: ∇, определенная на касательном расслоении к M ; и D , определенные на нормальном расслоении M . Они объединяются, образуя соединение в любом тензорном произведении копий TM и T. ^⊥ М. ​В частности, они определили ковариантную производную $\alpha$:

$\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).$

Уравнение Кодацци – Майнарди имеет вид

$\bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).$

Поскольку всякое погружение является, в частности, локальным вложением, приведенные выше формулы справедливы и для погружений.

Уравнения Гаусса–Кодацци в классической дифференциальной геометрии.

Формулировка классических уравнений

В классической дифференциальной геометрии поверхностей уравнения Кодацци–Майнарди выражаются через вторую фундаментальную форму ( L , M , N ):

$L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}$

$M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}$

Формула Гаусса, в зависимости от того, как определить гауссову кривизну, может оказаться тавтологией . Это можно сформулировать как

$K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},$

где ( e , f , g ) — компоненты первой фундаментальной формы.

Вывод классических уравнений

Рассмотрим параметрическую поверхность в евклидовом 3-мерном пространстве:

$\mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

где три компонентные функции гладко зависят от упорядоченных пар ( u , v ) в некоторой открытой области U в uv -плоскости. эта поверхность регулярна , т.е. векторы ru _{Предположим ,} и rv _что независимы линейно . Завершите это до базиса { r _u , r _v , n }, выбрав единичный вектор n, нормальный к поверхности. Можно выразить вторые частные производные r (векторы $\mathbb {R^{3}}$) с символами Кристоффеля и элементами второй фундаментальной формы. Мы выбираем первые два компонента базиса, поскольку они присущи поверхности, и намереваемся доказать внутреннее свойство гауссовой кривизны . Последний член базиса является внешним.

$\mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n}$

$\mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n}$

$\mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n}$

Теорема Клеро утверждает, что частные производные коммутируют:

$\left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}$

Если мы продифференцируем ruu _: по v и r _uv по u , получим

$\left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}$$=\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}$

Теперь подставьте приведенные выше выражения для вторых производных и приравняйте коэффициенты при n :

$M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}$

Перестановка этого уравнения дает первое уравнение Кодацци – Майнарди.

Второе уравнение можно вывести аналогично.

Средняя кривизна

Пусть M — гладкое m -мерное многообразие, погруженное в ( m + k многообразие P. )-мерное гладкое Позволять $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ — локальная ортонормированная рамка векторных полей, нормальных к M . Тогда мы можем написать,

$\alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.$

Если сейчас, $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ является локальной ортонормированной системой координат (касательных векторных полей) на том же открытом подмножестве M , то мы можем определить средние кривизны погружения по формуле

$H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).$

В частности, если M — гиперповерхность P , т.е. $k=1$, то можно говорить только об одной средней кривизне. Погружение называется минимальным, если все $H_{j}$ тождественно равны нулю.

Обратите внимание, что средняя кривизна является следом или средним значением второй фундаментальной формы для любого данного компонента. Иногда средняя кривизна определяется путем умножения суммы в правой части на $1/m$.

Теперь мы можем записать уравнения Гаусса – Кодацци в виде

$\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).$

Заключение контракта $Y,Z$ компоненты дают нам

$\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).$

Когда M является гиперповерхностью, это упрощается до

$\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)$

где $n=e_{1},$ $h=\alpha _{1}$ и $H=H_{1}$. В этом случае получается еще одно сокращение,

$R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}$

где $R'$ и $R$ являются скалярными кривизнами P и M соответственно, и

$\|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.$

Если $k>1$, уравнение скалярной кривизны может быть более сложным.

Мы уже можем использовать эти уравнения, чтобы сделать некоторые выводы. Например, любое минимальное погружение в круглую сферу $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ должно быть вида

$\Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0$

где $j$ работает от 1 до $m+k+1$ и

$\Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}$

является лапласианом на M , и $\lambda >0$ является положительной константой.

См. также

• Рамка Дарбу

Ссылки

Исторические справки

• Бонне, Оссиан (1867), «Мемуары по теории поверхностей, применимых к данной поверхности», Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151.
• Кодацци, Дельфино (1868–1869), «О криволинейных координатах поверхности пространства» , Ann. Мэтт. Чистое приложение. , 2 : 101–19, doi : 10.1007/BF02419605 , S2CID   177803350
• Гаусс, Карл Фридрих (1828 г.), «Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas» [Общие дискуссии о криволинейных поверхностях], Comm. Соц. Надо. (на латыни), 6 («Общие рассуждения о криволинейных поверхностях»)
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Уравнения Петерсона – Кодацци» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press , ISBN  0-19-506137-3
• Майнарди, Гаспаре (1856), «Об общей теории поверхностей», Джорнале Делл 'Иституто Ломбардо , 9 : 385–404.
• Петерсон, Карл Михайлович (1853), Об изгибе поверхностей , Докторская диссертация, Дерптский университет .

Учебники

• ду Кармо, Манфредо П. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Переработанное и дополненное второе издание. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2016. xvi+510 стр. ISBN   978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5
• ду Карму, Манфредо Пердигао. Риманова геометрия. Перевод второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv+300 стр. ISBN   0-8176-3490-8
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми. Основы дифференциальной геометрии. Том. II. Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике, № 15 Том. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк-Лондон-Сидней, 1969 xv+470 стр.
• О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN   0-12-526740-1
• Топоногов, Виктор Андреевич (2006). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: Краткое руководство . Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4384-3 .

Статьи

• Такахаси, Цунеро (1966), «Минимальные погружения римановых многообразий», Журнал Математического общества Японии , 18 (4), doi : 10.2969/jmsj/01840380 , S2CID   122849496
• Саймонс, Джеймс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Энн. математики. (2) 88 (1968), 62–105.
• [1]
• [2]
• [3]

Внешние ссылки

• Уравнения Петерсона – Майнарди – Кодацци – из Wolfram MathWorld
• Уравнения Петерсона – Кодацци