Уравнения Вайнгартена

Уравнения Вайнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности через первые производные вектора положения точки на поверхности. Эти формулы были установлены в 1861 году немецким математиком Юлиусом Вайнгартеном .

Утверждение классической дифференциальной геометрии

Пусть S — поверхность в трехмерном евклидовом пространстве , параметризованная вектором положения r ( u , v ). Пусть P = P ( u , v ) — точка на поверхности. Затем

$\mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$

два касательных вектора в точке P. —

Пусть n ( u , v ) — единичный вектор нормали , а ( E , F , G ) и ( L , M , N ) — коэффициенты первой и второй фундаментальных форм этой поверхности соответственно. Уравнение Вайнгартена дает первую производную единичного вектора нормали n в точке P через касательные векторы r _u и r _v :

$\mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

$\mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

Это можно компактно выразить в индексной записи как

$\partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b}$,

где K _ab — компоненты второй фундаментальной формы поверхности (тензора формы).

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнения Вайнгартена» . Математический мир .
• Springer Математическая энциклопедия , Деривационные формулы Вайнгартена
• Струик, Дирк Дж. (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Dover Publications, стр. 108, ISBN  0-486-65609-8
• Эрвин Крейциг , Дифференциальная геометрия , Dover Publications, 1991, ISBN   0-486-66721-9 , раздел 45.