Гармоническая карта

Эта статья о гармонических отображениях римановых многообразий. Для гармонических функций см. гармоническую функцию .

В математической области дифференциальной геометрии гладкое отображение римановых многообразий называется гармоническим, если его координатные представители удовлетворяют некоторому нелинейному уравнению в частных производных . Это уравнение в частных производных для отображения также возникает как уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала, называемого энергией Дирихле . По существу, теория гармонических отображений содержит как теорию геодезических с единичной скоростью в римановой геометрии, так и теорию гармонических функций .

Неформально, энергию Дирихле отображения f из риманова многообразия M в риманово многообразие N можно рассматривать как общую величину, на которую растягивает M при размещении каждого из его элементов в точке N. f Например, нерастянутую резиновую ленту и гладкий камень естественно рассматривать как римановы многообразия. Любой способ натягивания резиновой ленты на камень можно рассматривать как отображение между этими многообразиями, а общее натяжение представлено энергией Дирихле. Гармоничность такого отображения означает, что при любом гипотетическом способе физической деформации данного растяжения напряжение (если рассматривать его как функцию времени) имеет первую производную, равную нулю, когда деформация начинается.

Теория гармонических карт была начата в 1964 году Джеймсом Илсом и Джозефом Сэмпсоном , которые показали, что в определенных геометрических контекстах произвольные карты могут быть деформированы в гармонические карты. Их работа послужила источником вдохновения для Ричарда Гамильтона первой работы по потоку Риччи . Гармонические карты и связанные с ними гармонические карты теплового потока сами по себе являются одними из наиболее широко изучаемых тем в области геометрического анализа .

Открытие «пузырения» последовательностей гармонических карт благодаря Джонатану Саксу и Карен Уленбек . оказали особенное влияние, поскольку их анализ был адаптирован ко многим другим геометрическим контекстам. Примечательно, что параллельное открытие Уленбеком пузырьков в полях Янга – Миллса важно в работе Саймона Дональдсона над четырехмерными многообразиями, а более позднее открытие Михаилом Громовым пузырьков псевдоголоморфных кривых имеет важное значение для приложений к симплектической геометрии и квантовым когомологиям . Методы, использованные Ричардом Шоном и Уленбеком для изучения теории регулярности гармонических отображений, также послужили источником вдохновения для разработки многих аналитических методов геометрического анализа.

Геометрия отображений между многообразиями

Здесь геометрия гладкого отображения римановых многообразий рассматривается через локальные координаты и, что то же самое, через линейную алгебру . Такое отображение определяет как первую фундаментальную форму , так и вторую фундаментальную форму. Лапласиан ) определяется через вторую фундаментальную форму, и его исчезновение является (также называемый полем напряженности условием гармоничности отображения . Определения без изменений распространяются на случай псевдоримановых многообразий .

Местные координаты

Пусть U — открытое подмножество ℝ ^м и пусть V — открытое подмножество ℝ ^н . Для каждого i и j между 1 и n пусть g _ij будет гладкой действительной функцией на U , такой, что для каждого p в U матрица m × m размера [ g _ij ( p )] является симметричной и положительной. -определенный . Для каждого α и β между 1 и m пусть h _αβ — гладкая вещественная функция на V , такая, что для каждого q в V матрица n × n размера [ h _αβ ( q )] симметрична и положительна. -определенный. Обозначим обратные матрицы через [ g ^ij ( п )] и [ ч ^аб ( q )] .

Для каждого i , j , k между 1 и n и каждого α , β , γ между 1 и m определите символы Кристоффеля Γ( g ) ^к _ij : U → ℝ и Γ( час ) ^с _αβ  : V → ℝ by

${\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}$

Учитывая гладкое отображение f из U в V , его вторая фундаментальная форма определяет для каждого i и j между 1 и m и для каждого α между 1 и n вещественную функцию ∇( df ) ^а _ij на U автор

$\nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.$

Его лапласиан определяет для каждого α от 1 до n действительную функцию (∆ f ) ^а на U от

$(\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.$

Бандл-формализм

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — римановы многообразия . Учитывая гладкое отображение f из M в N , можно рассматривать его дифференциал df как сечение векторного расслоения T ^* М ⊗ ж ^* TN над M ; это означает, что для каждого p в M существует линейное отображение df _p между касательными пространствами T _p M → T _f(p) N . Векторное расслоение T ^* М ⊗ ж ^* TN имеет связь, связями Леви-Чивита на M и N. индуцированную Поэтому можно взять ковариантную производную ∇( df ) , которая является сечением векторного расслоения T ^* М ⊗ Т ^* М ⊗ ж ^* TN над M ; это означает, что для каждого p в M существует билинейное отображение (∇( df )) _p касательных пространств T _p M × T _p M → T _f(p) N . Этот раздел известен как гессиан f .

Используя g , можно проследить гессиан f , чтобы прийти к лапласиану f , который является сечением расслоения f ^* TN над M ; это говорит о том, что лапласиан f присваивает каждому p в M элемент касательного пространства T _{f ( p )} N . По определению оператора трассировки лапласиан можно записать как

$(\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})$

где e ₁ , ..., em _— любой g _p -ортонормированный базис T _p M .

Энергия Дирихле и формулы ее изменения

С точки зрения локальных координат, как указано выше, плотность энергии отображения f является действительной функцией на U , определяемой выражением

${\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).$

Альтернативно, в формализме расслоения римановы метрики на M и N индуцируют метрику расслоения на T ^* М ⊗ ж ^* TN , поэтому плотность энергии можно определить как гладкую функцию 1 / 2 | дф | ² на М. ​ Также можно считать, что плотность энергии определяется (половиной) g -следом первой фундаментальной формы. Независимо от выбранной точки зрения, плотность энергии e ( f ) является функцией M , которая является гладкой и неотрицательной. Если M ориентирован и M компактен, энергия Дирихле f определяется как

$E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}$

где dμ _g — форма объема на M, индуцированная g . Поскольку любая неотрицательная измеримая функция имеет вполне определенный интеграл Лебега , нет необходимости налагать ограничение на M компактность ; однако тогда энергия Дирихле могла бы быть бесконечной.

Формулы изменения энергии Дирихле вычисляют производные энергии Дирихле E ( f ) отображения f при деформации . С этой целью рассмотрим однопараметрическое семейство отображений f _s : M → N такое, что f ₀ = f , для которого существует предкомпактное открытое множество K из M такое, что f _s | _{М - К} знак равно ж | _{M − K} для всех s ; предполагается, что параметризованное семейство является гладким в том смысле, что ассоциированное отображение (−ε, ε) × M → N , заданное формулой ( s , p ) ↦ f _s ( p ), является гладким.

• Первая вариационная формула гласит, что

$\int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}$

Существует также версия для многообразий с краем.

• Существует также вторая вариационная формула.

Благодаря первой вариационной формуле лапласиан f можно рассматривать как градиент энергии Дирихле; соответственно, гармоническое отображение является критической точкой энергии Дирихле. Формально это можно сделать на языке глобального анализа и банаховых многообразий .

Примеры гармонических карт

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие римановы многообразия. Обозначение g _stan используется для обозначения стандартной римановой метрики в евклидовом пространстве.

• Каждое вполне геодезическое отображение ( M , g ) → ( N , h ) является гармоническим; это следует непосредственно из приведенных выше определений. В особых случаях:
  • Для любого q в N постоянное отображение ( M , g ) → ( N , h ), имеющее значение в q, является гармоническим.
  • Тождественное отображение ( M , g ) → ( M , g ) является гармоническим.
• Если f : M → N — погружение , то f : ( M , f ^* h ( N , h ) гармонична тогда и только тогда, когда f минимально ) → относительно h . В частном случае:
  • Если f : ℝ → ( N , h ) является погружением с постоянной скоростью, то f : (ℝ, g _stan ) → ( N , h ) является гармоническим тогда и только тогда, когда f решает геодезическое дифференциальное уравнение.

Напомним, что если M одномерен, то минимальность f эквивалентна тому, что f является геодезическим, хотя это не означает, что это параметризация с постоянной скоростью, и, следовательно, не означает, что f является решением геодезического дифференциального уравнения.

• Гладкое отображение f : ( M , g ) → (ℝ ^н , g _stan ) является гармоническим тогда и только тогда, когда каждая из его n составляющих функций гармонична как отображения ( M , g ) → (ℝ, g _stan ) . Это совпадает с понятием гармоничности, обеспечиваемым оператором Лапласа-Бельтрами .
• Любое голоморфное отображение кэлерова многообразия является гармоническим.
• Любой гармонический морфизм римановых многообразий гармоничен.

Гармоническая карта теплового потока

Правильность

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие римановы многообразия. на Тепловой поток гармонической карты интервале ( a , b ) присваивает каждому t в ( a , b ) дважды дифференцируемое отображение f _t : M → N таким образом, что для каждого p в M отображение ( a , b ) → N, заданное формулой t ↦ f _t ( p ), является дифференцируемым, а его производная при заданном значении t , как вектор в T _{f t ( p )} N , равна (∆ f _t ) _p . Обычно это сокращается как:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.$

Иллс и Сэмпсон представили гармоническую карту теплового потока и доказали следующие фундаментальные свойства:

• Регулярность. Любая гармоническая карта теплового потока является гладкой как карта ( a , b ) × M → N , заданная формулой ( t , p ) ↦ f _t ( p ) .

Теперь предположим, что M — замкнутое многообразие и ( N , h ) геодезически полно.

• Существование. Учитывая непрерывно дифференцируемое отображение f из M в N , существует положительное число T и гармонический тепловой поток f _t на интервале (0, T ) такие, что f _t сходится к f в C ¹ топология при уменьшении t до 0.
• Уникальность. Если { f _t : 0 < t < T } и { f _t : 0 < t < T } представляют собой два гармонических тепловых потока отображения, как в теореме существования, то f _t = f _t всякий раз, когда 0 < t < min( T , T ) .

Как следствие теоремы единственности, существует максимальное гармоническое отображение теплового потока с начальными данными f , что означает, что существует гармоническое отображение теплового потока { f _t : 0 < t < T }, как в формулировке теоремы существования, и он однозначно определяется при наличии дополнительного критерия, согласно которому T принимает максимально возможное значение, которое может быть бесконечным.

Теорема Илса и Сэмпсона

Основной результат статьи Иллса и Сэмпсона 1964 года заключается в следующем:

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие и замкнутые римановы многообразия, и предположим, что кривизна секционная ( N , h ) неположительна. Тогда для любого непрерывно дифференцируемого отображения f из M в N максимальное гармоническое отображение теплового потока { f _t : 0 < t < T } с начальными данными f имеет T = ∞ , и при увеличении t до ∞ отображения f _t последовательно сходятся в С ^∞ топологию к гармоническому отображению.

В частности, это показывает, что при предположениях на ( M , g ) и ( N , h ) каждое непрерывное отображение гомотопно гармоническому отображению. Частью результата является само существование гармонического отображения в каждом гомотопическом классе, которое неявно утверждается. Это доказывается путем построения уравнения теплопроводности и показа того, что для любого отображения в качестве начального условия решение существует всегда, и решение равномерно сходится к гармоническому отображению.

Результат Илса и Сэмпсона был адаптирован Ричардом Гамильтоном к условиям краевой задачи Дирихле , когда M вместо этого компактно с непустой границей.

Вскоре после работы Иллса и Сэмпсона Филип Хартман расширил их методы для изучения уникальности гармонических отображений внутри гомотопических классов, дополнительно показав, что сходимость в теореме Иллса-Сэмпсона сильная без необходимости выбора подпоследовательности. То есть, если две карты изначально близки, расстояние между соответствующими решениями уравнения теплопроводности не увеличивается за все время, таким образом:

• множество вполне геодезических отображений в каждом гомотопическом классе линейно связно;
• все гармонические карты минимизируют энергию и полностью геодезичны.

отмечает, что каждая карта из продукта $W\times M$ в $N$ гомотопно карте, так что карта полностью геодезична, если ограничиться каждым $M$-волокно.

Особенности и слабые решения

В течение многих лет после работы Илса и Сэмпсона было неясно, в какой степени предположение о секционной кривизне ( N , h ) необходимо . После работы Кунг-Чинга Чанга, Вэй-Юэ Дина и Ругана Е в 1992 году широко признано, что максимальное время существования теплового потока с гармонической картой «обычно» не может быть бесконечным. Их результаты убедительно свидетельствуют о том, что существуют гармонические карты тепловых потоков с «разрушением за конечное время», даже когда и ( M , g ), и ( N , h ) считаются двумерной сферой со стандартной метрикой. Поскольку эллиптические и параболические уравнения в частных производных особенно гладкие, когда область двумерна, результат Чанга-Дина-Йе считается показателем общего характера потока.

По образцу фундаментальных работ Сакса и Уленбека Майкл Струве рассмотрел случай, когда не никаких геометрических предположений о ( N , h ) делается . В случае M двумерности он установил безусловное существование и единственность слабых решений гармонического отображения теплового потока. Более того, он обнаружил, что его слабые решения являются гладкими вдали от конечного числа точек пространства-времени, в которых концентрируется плотность энергии. На микроскопическом уровне поток вблизи этих точек моделируется пузырьком , т.е. гладкой гармонической картой от круглой 2-сферы к мишени. Вэйюэ Дин и Ган Тянь смогли доказать квантование энергии в сингулярные моменты времени, а это означает, что энергия Дирихле слабого решения Струве в сингулярный момент времени падает ровно на сумму полных энергий Дирихле пузырьков, соответствующих сингулярностям в этот момент. .

Позже Струве смог адаптировать свои методы к более высоким измерениям в случае, когда многообразие предметной области является евклидовым пространством ; более высокой размерности он и Юн Мэй Чен также рассматривали замкнутые многообразия . Их результаты были меньше, чем в малых размерностях, и они смогли доказать существование только слабых решений, гладких на открытых плотных подмножествах.

Формула

Основным вычислительным моментом в доказательстве теоремы Илса и Сэмпсона является адаптация формулы Бохнера к условиям гармонического отображения теплового потока { f _t : 0 < t < T } . Эта формула говорит

${\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.$

Это также представляет интерес при анализе гармонических карт. Предположим, f : M → N гармонична; любую гармоническую карту можно рассматривать как постоянное в t решение гармонической карты теплового потока, поэтому из приведенной выше формулы можно получить, что

$\Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.$

Если кривизна Риччи g секционная положительна, а кривизна h неотрицательно неположительна, то это означает, что ∆ e ( f ) . Если M замкнуто, то умножение на e ( f ) и однократное интегрирование по частям показывает, что e ( f ) должно быть постоянным и, следовательно, нулевым; следовательно, f само должно быть постоянным. Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу отметили, что это рассуждение можно распространить на некомпактное M , используя теорему Яу, утверждающую, что неотрицательные субгармонические функции , которые являются L ² -ограниченный должен быть постоянным. Таким образом, согласно этим результатам, мы имеем:

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) и полные римановы многообразия, и пусть f — гармоническое отображение M в N. — гладкие Предположим, что кривизна Риччи g положительна, а секционная кривизна h неположительна.

• Если M и N оба замкнуты, то f должно быть постоянным.
• Если N замкнуто и f имеет конечную энергию Дирихле, то она должна быть постоянной.

В сочетании с теоремой Иллса-Сэмпсона это показывает (например), что если ( M , g ) — замкнутое риманово многообразие с положительной кривизной Риччи, а ( N , h ) — замкнутое риманово многообразие с неположительной секционной кривизной, то каждое непрерывное отображение M в N гомотопно константе.

Общая идея преобразования общего отображения в гармоническое и последующего показа того, что любое такое гармоническое отображение автоматически должно принадлежать к строго ограниченному классу, нашла множество применений. Например, Юм-Тонг Сиу нашел важную комплексно-аналитическую версию формулы Бохнера, утверждающую, что гармоническое отображение между кэлеровыми многообразиями должно быть голоморфным при условии, что целевое многообразие имеет соответствующую отрицательную кривизну. В качестве приложения, используя теорему существования Иллса-Сэмпсона для гармонических отображений, он смог показать, что если ( M , g ) и ( N , h ) являются гладкими и замкнутыми кэлеровыми многообразиями, и если кривизна ( N , h ) соответственно отрицательно, то M и N должны быть биголоморфными или антибиголоморфными, если они гомотопны друг другу; биголоморфизм (или антибиголоморфизм) - это в точности гармоническое отображение, созданное как предел теплового потока гармонического отображения с начальными данными, заданными гомотопией. Используя альтернативную формулировку того же подхода, Сиу смог доказать вариант все еще нерешенной гипотезы Ходжа , хотя и в ограниченном контексте отрицательной кривизны.

Кевин Корлетт нашел существенное расширение формулы Бохнера Сиу и использовал ее для доказательства новых теорем жесткости для решеток в некоторых группах Ли . После этого Михаил Громов и Ричард Шон расширили большую часть теории гармонических отображений, чтобы позволить ( N , h ) быть замененным метрическим пространством . Путем расширения теоремы Иллса-Сэмпсона вместе с расширением формулы Сиу-Корлетт Бохнера они смогли доказать новые теоремы о жесткости для решеток.

Проблемы и приложения

• Существование результатов о гармонических отображениях между многообразиями имеет последствия для их кривизны .
• Если существование известно, как можно явно построить гармоническую карту? (Один плодотворный метод использует твисторную теорию .)
• В теоретической физике квантовая теория поля которой , действие определяется энергией Дирихле, известна как сигма-модель . В такой теории гармонические отображения соответствуют инстантонам .
• Одной из оригинальных идей в методах создания сеток для вычислительной гидродинамики и вычислительной физики было использование конформного или гармонического отображения для создания регулярных сеток.

Карта $u:M\rightarrow N$ между римановыми многообразиями является вполне геодезическим, если всякий раз, когда $\gamma :(a,b)\rightarrow M$ является геодезической, композиция $u\circ \gamma$ является геодезической.

Гармонические карты между метрическими пространствами

Интеграл энергии можно сформулировать в более слабой форме для функций u : M → N между двумя метрическими пространствами . Вместо этого подынтегральная функция энергии является функцией вида

$e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}$

в котором ц ^е
_x — семейство мер, к каждой точке M. прикрепленных

См. также

• Геометрический поток

Ссылки

Сноски

Статьи

• Чанг, Кун-Чинг; Дин, Вэй Юэ; Йе, Руганг (1992). «Разрушение теплового потока гармонических карт с поверхностей за конечное время» . Журнал дифференциальной геометрии . 36 (2): 507–515. дои : 10.4310/jdg/1214448751 . МР   1180392 . Збл   0765.53026 .
• Чен, Юн Мэй; Струве, Майкл (1989). «Результаты существования и частичной регулярности теплового потока для гармонических карт». Mathematische Zeitschrift . 201 (1): 83–103. дои : 10.1007/BF01161997 . МР   0990191 . S2CID   11210055 . Збл   0652.58024 .
• Корлетт, Кевин (1992). «Архимедова сверхжесткость и гиперболическая геометрия». Анналы математики . Вторая серия. 135 (1): 165–182. дои : 10.2307/2946567 . JSTOR   2946567 . МР   1147961 . Збл   0768.53025 .
• Дин, Вэйюэ; Тиан, Банда (1995). «Энергетическое тождество для класса приближенных гармонических отображений поверхностей» . Коммуникации в анализе и геометрии . 3 (3–4): 543–554. дои : 10.4310/CAG.1995.v3.n4.a1 . МР   1371209 . Збл   0855.58016 .
• Иллс, Джеймс младший ; Сэмпсон, Дж. Х. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». Американский журнал математики . 86 (1): 109–160. дои : 10.2307/2373037 . JSTOR   2373037 . МР   0164306 . Збл   0122.40102 .
• Громов, Михаил ; Шен, Ричард (1992). «Гармонические отображения в сингулярные пространства и p-адическая сверхжесткость решеток в группах ранга один» . Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 76 : 165–246. дои : 10.1007/bf02699433 . МР   1215595 . S2CID   118023776 . Збл   0896.58024 .
• Хартман, Филип (1967). «О гомотопических гармонических отображениях» . Канадский математический журнал . 19 : 673–687. дои : 10.4153/cjm-1967-062-6 . МР   0214004 . S2CID   13381249 . Збл   0148.42404 .
• Йост, Юрген (1994). «Отображения равновесия между метрическими пространствами». Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . 2 (2): 173–204. дои : 10.1007/BF01191341 . МР   1385525 . S2CID   122184265 . Збл   0798.58021 .
• Сакс, Дж.; Уленбек, К. (1981). «Существование минимальных погружений 2-сфер». Анналы математики . Вторая серия. 113 (1): 1–24. дои : 10.2307/1971131 . JSTOR   1971131 . МР   0604040 . Збл   0462.58014 .
• Шен, Ричард ; Уленбек, Карен (1982). «Теория регулярности гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 307–335. дои : 10.4310/jdg/1214436923 . МР   0664498 . Збл   0521.58021 . (Ошибка: дои : 10.4310/jdg/1214437667 )
• Шен, Ричард ; Уленбек, Карен (1983). «Граничная регулярность и проблема Дирихле для гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 253–268. дои : 10.4310/jdg/1214437663 . МР   0710054 . Збл   0547.58020 .
• Шен, Ричард ; Яу, Шинг Тунг (1976). «Гармонические отображения и топология стабильных гиперповерхностей и многообразий с неотрицательной кривизной Риччи». Комментарии по математике Helvetici . 51 (3): 333–341. дои : 10.1007/BF02568161 . МР   0438388 . S2CID   120845708 . Збл   0361.53040 .
• Сиу, Юм Тонг (1980). «Комплексная аналитичность гармонических отображений и сильная жесткость компактных кэлеровых многообразий». Анналы математики . Вторая серия. 112 (1): 73–111. дои : 10.2307/1971321 . JSTOR   1971321 . МР   0584075 . Збл   0517.53058 .
• Струве, Майкл (1985). «Об эволюции гармонических отображений римановых поверхностей» Гельветический математический комментарий . 60 (4): 558–581. дои : 10.1007/BF02567432 . МР   0826871 . S2CID   122295509 . Збл   0595.58013 .
• Струве, Майкл (1988). «Об эволюции гармонических карт в высших измерениях» . Журнал дифференциальной геометрии . 28 (3): 485–502. дои : 10.4310/jdg/1214442475 . МР   0965226 . Збл   0631.58004 .

Книги и обзоры

• Обен, Тьерри (1998). Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN  3-540-60752-8 . МР   1636569 . Збл   0896.53003 .
• Иллс, Джеймс ; Лемэр, Люк (1983). Избранные темы в гармонических картах . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том. 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/cbms/050 . ISBN  0-8218-0700-5 . МР   0703510 . Збл   0515.58011 .
• Иллс, Джеймс ; Лемэр, Люк (1995). Два доклада о гармонических картах . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific . дои : 10.1142/9789812832030 . ISBN  981-02-1466-9 . МР   1363513 . Збл   0836.58012 . Состоит из переизданий:
  • Илс, Дж .; Лемэр, Л. (1978). «Отчет о гармонических картах». Бюллетень Лондонского математического общества . 10 (1): 1–68. дои : 10.1112/blms/10.1.1 . МР   0495450 . Збл   0401.58003 .
  • Илс, Дж .; Лемэр, Л. (1988). «Еще один отчет о гармонических картах». Бюллетень Лондонского математического общества . 20 (5): 385–524. дои : 10.1112/blms/20.5.385 . МР   0956352 . Збл   0669.58009 .
• Джаквинта, Мариано ; Мартинацци, Лука (2012). Введение в теорию регулярности эллиптических систем, гармонических отображений и минимальных графов . Примечания. Scuola Normale Superiore в Пизе (новая серия). Том 11 (второе издание оригинальной редакции 2005 г.). Пиза: Edizioni della Normale. дои : 10.1007/978-88-7642-443-4 . ISBN  978-88-7642-442-7 . МР   3099262 . Збл   1262.35001 .
• Гамильтон, Ричард С. (1975). Гармонические карты многообразий с границей . Конспект лекций по математике . Том. 471. Берлин – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0087227 . ISBN  978-3-540-07185-3 . МР   0482822 . Збл   0308.35003 .
• Элейн, Фредерик (2002). Гармонические карты, законы сохранения и движущиеся системы отсчёта . Кембриджские трактаты по математике. Том. 150. С предисловием Джеймса Иллса (второе издание оригинальной редакции 1997 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511543036 . ISBN  0-521-81160-0 . Збл   1010.58010 .
• Йост, Юрген (1997). Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты . Лекции по математике ETH Zürich. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-0348-8918-6 . ISBN  3-7643-5736-3 . МР   1451625 . Збл   0896.53002 .
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинальной редакции 1995 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN  978-3-319-61859-3 . МР   3726907 . Збл   1380.53001 .
• Линь, Фанхуа ; Ван, Чанъю (2008). Анализ гармонических карт и их тепловых потоков . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific . дои : 10.1142/9789812779533 . ISBN  978-981-277-952-6 . МР   2431658 . Збл   1203.58004 .
• Шон, Р .; Яу, СТ (1997). Лекции по гармоническим картам . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 2. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-002-0 . МР   1474501 . Збл   0886.53004 .
• Саймон, Леон (1996). Теоремы о регулярности и сингулярности энергоминимизирующих отображений . Лекции по математике ETH Zürich. На основе конспектов лекций Норберта Хунгербюлера. Базель: Birkhäuser Verlag . дои : 10.1007/978-3-0348-9193-6 . ISBN  3-7643-5397-Х . МР   1399562 . Збл   0864.58015 .
• Яу, Шинг Тунг (1982). «Обзор уравнений в частных производных дифференциальной геометрии». В Яу, Шинг-Тунг (ред.). Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. Том. 102. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 3–71. дои : 10.1515/9781400881918-002 . ISBN  9781400881918 . МР   0645729 . Збл   0478.53001 .

Внешние ссылки

• MathWorld: Карта гармоник
• Библиография гармонических карт
• Библиография гармонических морфизмов