Гармонический морфизм

В математике гармонический морфизм — это (гладкое) отображение. $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ между римановыми многообразиями , который возвращает вещественные гармонические функции в кодобласти к гармоническим функциям в этой области. Гармонические морфизмы образуют особый класс гармонических отображений , а именно горизонтально (слабо) конформных.

В местных координатах $x$ на $M$ и $y$ на $N$, гармония ​ $\phi$ выражается нелинейной системой

$\tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}\right)=-1,$

где $\phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi$ и ${\hat {\Gamma }},\Gamma$ являются символами Кристоффеля на $M$ и $N$, соответственно. Горизонтальная конформность определяется выражением

$\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta }(\phi (x)),$

где конформный фактор $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ является непрерывной функцией, называемой расширением . Таким образом, гармонические морфизмы являются решениями нелинейных переопределенных систем уравнений в частных производных , определяемых геометрическими данными задействованных многообразий . По этой причине их трудно найти, и у них нет общей теории существования, даже локальной.

Комплексный анализ

Когда кодомен ​ $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ — поверхность , система уравнений в частных производных , с которой мы имеем дело, инвариантна относительно конформных изменений метрики $h$. Это означает, что, по крайней мере для локальных исследований, кодоменом можно выбрать комплексную плоскость со стандартной плоской метрикой. В этой ситуации комплексная функция $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ является гармоническим морфизмом тогда и только тогда, когда

$\Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M}(v)=0$

и

$g(\nabla \phi ,\nabla \phi )=\|\nabla u\|^{2}-\|\nabla v\|^{2}+2ig(\nabla u,\nabla v)=0.$

Это означает, что мы ищем две действительные гармонические функции $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ с градиентами $\nabla u,\nabla v$ которые ортогональны и имеют одну и ту же норму в каждой точке. Это показывает, что комплекснозначные гармонические морфизмы $\phi :(M,g)\to \mathbb {C}$ из римановых многообразий обобщают голоморфные функции $f:(M,g,J)\to \mathbb {C}$ из кэлеровых многообразий и обладают многими из их весьма интересных свойств. Поэтому теорию гармонических морфизмов можно рассматривать как обобщение комплексного анализа .

Минимальные поверхности

В дифференциальной геометрии интересуют построение минимальных подмногообразий данного объемлющего пространства. $(M,g)$. Гармонические морфизмы являются полезными инструментами для этой цели. Это связано с тем, что каждое регулярное волокно $\phi ^{-1}(\{z_{0}\})$ такой карты $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ со значениями на поверхности является минимальным подмногообразием области коразмерности 2. Это дает привлекательный метод изготовления целых семейств минимальных поверхностей в 4-мерных многообразиях. $(M^{4},g)$, в частности, однородные пространства , такие как группы Ли и симметрические пространства .

Примеры

• Отображения тождества и констант являются гармоническими морфизмами.
• Голоморфные функции в комплексной плоскости являются гармоническими морфизмами.
• Голоморфные функции в комплексном векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ являются гармоническими морфизмами.
• Голоморфные отображения кэлеровых многообразий со значениями на римановой поверхности являются гармоническими морфизмами.
• Хопфа Карты $\phi :S^{3}\to S^{2}$, $\phi :S^{7}\to S^{4}$ и $\phi :S^{15}\to S^{8}$ являются гармоническими морфизмами.
• Для компактных групп Ли $K\subset H\subset G$ стандартное риманово расслоение $\phi :G/H\to G/K$ является гармоническим морфизмом.
• Римановы субмерсии с минимальными слоями являются гармоническими морфизмами.

Внешние ссылки

• Библиография гармонических морфизмов , предложенная Зигмундуром Гудмундссоном.