Риманово погружение

В дифференциальной геометрии , разделе математики , риманова субмерсия — это субмерсия из одного риманова многообразия в другое, которая соблюдает метрику, что означает, что это ортогональная проекция на касательные пространства.

Формальное определение

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — два римановых многообразия и $f:M\to N$ (сюръективная) субмерсия, т. е. расслоенное многообразие . Горизонтальное распределение $K:=\mathrm {ker} (df)^{\perp }$ является подрасслоением касательного расслоения $TM$ что зависит как от проекции $f$ и по метрике $g$ .

Тогда f называется римановой субмерсией тогда и только тогда, когда для всех $x\in M$ , изоморфизм векторного пространства $(df)_{x}:K_{x}\rightarrow T_{f(x)}N$ является изометрическим, т. е. сохраняющим длину. ^[1]

Примеры

Пример римановой субмерсии возникает, когда группа Ли $G$ действует изометрически, свободно и правильно на римановом многообразии $(M,g)$ . Проекция $\pi :M\rightarrow N$ в факторпространство $N=M/G$ снабженная факторметрикой, является римановой субмерсией.Например, покомпонентное умножение на $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ по группе единичных комплексных чисел дает расслоение Хопфа .

Характеристики

Секционная кривизна целевого пространства римановой субмерсии может быть рассчитана по кривизне всего пространства по формуле О'Нила , названной в честь Барретта О'Нила :

K_{N}(X,Y)=K_{M}({\tilde {X}},{\tilde {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\tilde {X}},{\tilde {Y}}]^{V}|^{2}

где $X,Y$ являются ортонормированными векторными полями на $N$ , ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ их горизонтальные подъемы $M$ , $[*,*]$ — скобка Ли векторных полей и $Z^{V}$ — проекция векторного поля $Z$ к вертикальному распределению .

В частности, нижняя оценка секционной кривизны $N$ по крайней мере так же велика, как нижняя граница кривизны сечения $M$ .

Обобщения и вариации

См. также

Примечания

^ Гилки, Питер Б.; Лихи, Джон В.; Пак, Чонхён (1998), Спиноры, спектральная геометрия и римановы погружения , Исследовательский центр глобального анализа, Сеульский национальный университет, стр. 4–5.

Ссылки

Гилки, Питер Б.; Лихи, Джон В.; Пак, Чонхён (1998), Спиноры, спектральная геометрия и римановы погружения , Исследовательский центр глобального анализа, Сеульский национальный университет .
Барретт О'Нил. Основные уравнения погружения. Мичиганская математика. Дж. 13 (1966), 459–469. дои : 10.1307/mmj/1028999604

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гилки, Питер Б.; Лихи, Джон В.; Пак, Чонхён (1998), Спиноры, спектральная геометрия и римановы погружения , Исследовательский центр глобального анализа, Сеульский национальный университет, стр. 4–5.

[1]