Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре

Компактная . двумерная поверхность без края топологически гомеоморфна двумерной сфере, если каждую петлю можно непрерывно затянуть в точку Гипотеза Пуанкаре утверждает, что то же самое верно и для трехмерных пространств.
Поле	Геометрическая топология
Предполагается	Анри Пуанкаре
Предполагается в	1904
Первое доказательство	Григорий Перельман
Первое доказательство в	2002
Подразумевается	Гипотеза геометризации Гипотеза Зеемана
Обобщения	Обобщенная гипотеза Пуанкаре

В математической области геометрической топологии гипотеза Пуанкаре ( Великобритания : / ˈ p w æ̃ k ær eɪ / , США : / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ r eɪ / , Французский: [pwɛ̃kaʁe] ) — теорема о характеристике 3 -сферы , которая является гиперсферой , ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве.

Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году гипотеза, эта теорема касается пространств, которые локально выглядят как обычное трехмерное пространство , но имеют конечную протяженность. Пуанкаре предположил, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать к точке, то оно обязательно является трехмерной сферой . Попытки решить эту гипотезу привели к большому прогрессу в области геометрической топологии в 20 веке.

Окончательное доказательство основано на Ричарда С. Гамильтона программе по использованию потока Риччи для решения проблемы. Разработав ряд новых методов и результатов в теории потока Риччи, Григорий Перельман смог модифицировать и завершить программу Гамильтона. В статьях, размещенных в репозитории arXiv в 2002 и 2003 годах, Перельман представил свою работу, доказывающую гипотезу Пуанкаре (и более мощную гипотезу геометризации Уильяма Тёрстона ). В течение следующих нескольких лет несколько математиков изучили его статьи и подробно сформулировали его работу.

Работа Гамильтона и Перельмана над этой гипотезой широко признана важной вехой в математических исследованиях. Гамильтон был отмечен премией Шоу и премией Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования . Журнал Science отметил доказательство Перельмана гипотезы Пуанкаре как научный прорыв года в 2006 году. , Математический институт Клея включив гипотезу Пуанкаре в свой известный список задач «Премии тысячелетия» , предложил Перельману премию в размере 1 миллиона долларов США за решение этой гипотезы. Он отказался от награды, заявив, что вклад Гамильтона был равен его собственному.

Обзор

Ни одну из двух цветных петель на этом торе нельзя непрерывно затягивать в точку. Тор не гомеоморфен сфере.

Гипотеза Пуанкаре — математическая проблема в области геометрической топологии . Что касается лексики этой области, то здесь говорится следующее:

Гипотеза Пуанкаре .
Всякое трехмерное топологическое многообразие замкнутое , , связное и имеющее тривиальную фундаментальную группу гомеоморфно , трехмерной сфере .

Знакомые формы, такие как поверхность шара (известного в математике как двумерная сфера) или тора , являются двумерными. Поверхность шара имеет тривиальную фундаментальную группу, а это означает, что любую петлю, нарисованную на поверхности, можно непрерывно деформировать до одной точки. Напротив, поверхность тора имеет нетривиальную фундаментальную группу, поскольку на поверхности есть петли, которые не могут быть деформированы таким образом. Оба являются топологическими многообразиями, которые замкнуты (это означает, что они не имеют границы и занимают конечную область пространства) и связны (это означает, что они состоят из одной части). Два замкнутых многообразия называются гомеоморфными, если точки одного из них могут непрерывно перераспределяться в другое. Поскольку известно, что (не)тривиальность фундаментальной группы инвариантна относительно гомеоморфизма, отсюда следует, что двумерная сфера и тор не гомеоморфны.

Двумерный аналог гипотезы Пуанкаре гласит, что любое двумерное топологическое многообразие, замкнутое и связное, но не гомеоморфное двумерной сфере, должно иметь петлю, которую нельзя непрерывно стянуть в точку. (Это проиллюстрировано на примере тора, как указано выше.) Справедливость этого аналога известна благодаря классификации замкнутых и связных двумерных топологических многообразий, которая понималась в различных формах с 1860-х годов. В более высоких измерениях замкнутые и связные топологические многообразия не имеют прямой классификации, что препятствует легкому разрешению гипотезы Пуанкаре.

История

Вопрос Пуанкаре

В 1800-х годах Риман и Энрико Бетти положили начало изучению топологических инвариантов многообразий Бернхард . Они ввели числа Бетти , которые сопоставляют любому многообразию список неотрицательных целых чисел. Риман показал, что замкнутое связное двумерное многообразие полностью характеризуется числами Бетти. В рамках своей статьи «Анализ положения» 1895 года (объявленной в 1892 году) Пуанкаре показал, что результат Римана не распространяется на более высокие измерения. Для этого он ввел фундаментальную группу как новый топологический инвариант и смог продемонстрировать примеры трехмерных многообразий, которые имеют одинаковые числа Бетти, но разные фундаментальные группы. Он поставил вопрос о том, достаточна ли фундаментальная группа, чтобы топологически охарактеризовать многообразие (данной размерности), хотя и не пытался найти ответ, заявив лишь, что он «потребует длительного и трудного изучения».

Основной целью статьи Пуанкаре была интерпретация чисел Бетти в терминах его недавно введенных групп гомологий , а также теоремы двойственности Пуанкаре о симметрии чисел Бетти. После критики полноты его аргументов он выпустил ряд последующих «дополнений» для улучшения и исправления своей работы. В заключительном замечании его второго приложения, опубликованного в 1900 году, говорилось:

Чтобы не затягивать эту работу, я ограничусь формулировкой следующей теоремы, доказательство которой потребует дальнейших разработок:

Каждый многогранник, у которого все числа Бетти равны 1 и все его таблицы T _q ориентируемы, односвязен, т. е. гомеоморфен гиперсфере.

употребляет терминологию односвязности , (Выражаясь современным языком, принимая во внимание тот факт, что Пуанкаре необычно это говорит о том, что замкнутое связное ориентированное многообразие с гомологией сферы должно быть гомеоморфно сфере. ) Это изменило его негативное обобщение работы Римана двумя способами. Во-первых, он теперь использовал полные группы гомологии, а не только числа Бетти. Во-вторых, он сузил масштаб проблемы с вопроса о том, характеризуется ли произвольное многообразие топологическими инвариантами, до вопроса, может ли сфера быть охарактеризована таким образом.

Однако после публикации он обнаружил, что объявленная им теорема неверна. В своем пятом и последнем дополнении, опубликованном в 1904 году, он доказал это с помощью контрпримера сферы гомологий Пуанкаре , которая представляет собой замкнутое связное трехмерное многообразие, имеющее гомологию сферы, но чья фундаментальная группа состоит из 120 элементов. Этот пример показал, что гомология недостаточно сильна, чтобы охарактеризовать топологию многообразия. В заключительных замечаниях пятого дополнения Пуанкаре модифицировал свою ошибочную теорему, чтобы использовать фундаментальную группу вместо гомологии:

Остается решить один вопрос: возможно ли, чтобы фундаментальная группа V сводилась к тождеству без того, чтобы V было просто связным? [...] Однако этот вопрос увел бы нас слишком далеко.

В этом замечании, как и в заключительном замечании второго приложения, Пуанкаре использовал термин «просто связанный» способом, который противоречит современному использованию, а также его собственному определению этого термина 1895 года. (Согласно современному использованию, вопрос Пуанкаре представляет собой тавтологию , в которой спрашивается, возможно ли, чтобы многообразие было односвязным, не будучи при этом односвязным.) Однако, как можно вывести из контекста, Пуанкаре задавался вопросом, однозначно ли характеризует сферу тривиальность фундаментальной группы.

На протяжении всего творчества Римана, Бетти и Пуанкаре рассматриваемые топологические понятия не определяются и не используются таким образом, который можно было бы признать точным с современной точки зрения. Даже ключевое понятие «многообразия» не использовалось последовательно в собственных работах Пуанкаре, и часто возникала путаница между понятиями топологического многообразия , PL-многообразия и гладкого многообразия . По этой причине однозначно прочитать вопросы Пуанкаре невозможно. Только благодаря формализации и словарю топологии, разработанному более поздними математиками, заключительный вопрос Пуанкаре был понят как «гипотеза Пуанкаре», как указано в предыдущем разделе.

Однако, несмотря на свою обычную формулировку в форме гипотезы, предполагающую, что все многообразия определенного типа гомеоморфны сфере, Пуанкаре лишь поставил открытый вопрос, не решаясь выдвигать те или иные предположения. Более того, нет никаких доказательств того, каким образом, по его мнению, будет дан ответ на его вопрос.

Решения

В 1930-х годах Дж.Х.К. Уайтхед потребовал доказательства, но затем отказался от него. В процессе он обнаружил несколько примеров односвязных (действительно стягиваемых, т. е. гомотопически эквивалентных точке) некомпактных 3-многообразий, не гомеоморфных $\mathbb {R} ^{3}$, прототип которого сейчас называется многообразием Уайтхеда .

В 1950-х и 1960-х годах другие математики пытались доказать эту гипотезу, но обнаружили, что в ней есть недостатки. Влиятельные математики, такие как Жорж де Рам , Р. Х. Бинг , Вольфганг Хакен , Эдвин Э. Мойс и Христос Папакириакопулос , пытались доказать эту гипотезу. В 1958 году Р. Х. Бинг доказал слабую версию гипотезы Пуанкаре: если каждая простая замкнутая кривая компактного 3-многообразия содержится в 3-шаре, то это многообразие гомеоморфно 3-сфере. Бинг также описал некоторые подводные камни при попытке доказать гипотезу Пуанкаре.

Влодзимеж Якобше показал в 1978 году, что если гипотеза Бинга – Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верной.

Со временем эта гипотеза приобрела репутацию особенно сложной для решения. Джон Милнор отметил, что иногда ошибки в ложных доказательствах могут быть «довольно незаметными и их трудно обнаружить». Работа над гипотезой улучшила понимание трехмерных многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно объявляли о доказательствах и склонны относиться к любому такому объявлению со скептицизмом. В 1980-е и 1990-е годы были отмечены некоторые широко разрекламированные ложные доказательства (которые фактически не были опубликованы в рецензируемой форме).

Изложение попыток доказать эту гипотезу можно найти в нетехнической книге «Премия Пуанкаре» Джорджа Шпиро .

Размеры

Основная статья: Обобщенная гипотеза Пуанкаре

Классификация замкнутых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для размерностей больше трех можно сформулировать обобщенную гипотезу Пуанкаре: является ли гомотопическая n -сфера гомеоморфной n- сфере? Необходимо более сильное предположение, чем односвязность; в размерностях четыре и выше существуют односвязные замкнутые многообразия, не эквивалентные n гомотопически -сфере.

Исторически, хотя гипотеза о третьем измерении казалась правдоподобной, обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 году Стивен Смейл шокировал математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей, больших четырех, и расширил свои методы для доказательства фундаментальной теоремы о h-кобордизме . В 1982 году Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность существования гладкого четырехмерного многообразия, гомеоморфного четырехсфере, но не диффеоморфного четырехсфере. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в четвертом измерении остается открытой и считается очень сложной. показывают Милнора Экзотические сферы , что гладкая гипотеза Пуанкаре неверна, например, в седьмом измерении.

Эти более ранние успехи в высших измерениях оставили вопрос о трех измерениях в подвешенном состоянии. Гипотеза Пуанкаре была по существу верна как в четвертом измерении, так и во всех более высоких измерениях по существенно разным причинам. В третьем измерении эта гипотеза имела неопределенную репутацию, пока гипотеза геометризации не включила ее в структуру, управляющую всеми трехмерными многообразиями. Джон Морган писал:

По моему мнению, до Терстона работы о гиперболических трехмерных многообразиях и… гипотезе геометризации среди экспертов не было единого мнения относительно того, была ли гипотеза Пуанкаре истинной или ложной. После работы Терстона, несмотря на то, что она не имела прямого отношения к гипотезе Пуанкаре, сложился консенсус в отношении того, что гипотеза Пуанкаре (и гипотеза геометризации) верна.

Программа и решение Гамильтона

Несколько стадий потока Риччи на двумерном многообразии

Программа Гамильтона началась в его статье 1982 года, в которой он представил поток Риччи на многообразии и показал, как использовать его для доказательства некоторых частных случаев гипотезы Пуанкаре. В последующие годы он расширил эту работу, но не смог доказать свою гипотезу. Реальное решение не было найдено до тех пор, пока Григорий Перельман не опубликовал свои статьи.

В конце 2002 и 2003 годов Перельман опубликовал на arXiv три статьи . В этих статьях он набросал доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы, гипотезы геометризации Терстона , завершая программу потока Риччи, изложенную ранее Ричардом С. Гамильтоном .

С мая по июль 2006 года несколько групп представили следующие статьи, в которых подробно описывались доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре:

• Брюс Кляйнер и Джон В. Лотт опубликовали на arXiv в мае 2006 года статью, в которой подробно изложены доказательства Перельмана гипотезы о геометризации после частичных версий, которые были общедоступны с 2003 года. Их рукопись была опубликована в журнале «Геометрия и топология» в 2008 году. Небольшое количество исправлений было сделано в 2011 и 2013 годах; например, в первой версии их опубликованной статьи использовалась неверная версия теоремы Гамильтона о компактности для потока Риччи.
• Хуай-Дун Цао и Си-Пин Чжу за 2006 год статью опубликовали в июньском номере Азиатского журнала математики с изложением полного доказательства гипотез Пуанкаре и гипотезы геометризации. В первом абзаце их статьи говорилось

В этой статье мы представим теорию Гамильтона-Перельмана потока Риччи. На его основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона. Хотя вся работа представляет собой совокупность усилий многих геометрических аналитиков, главными вкладчиками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели считали, что Цао и Чжу взяли на себя ответственность за работу Перельмана. Позже они опубликовали исправленную версию с новой формулировкой на arXiv. Кроме того, страница их изложения была по существу идентична странице одного из ранних общедоступных черновиков Кляйнера и Лотта; это также было исправлено в исправленной версии вместе с извинениями редакционной коллегии журнала.

• Джон Морган и Ган Тиан опубликовали на arXiv в июле 2006 года статью, в которой дано подробное доказательство только гипотезы Пуанкаре (которая несколько проще, чем гипотеза полной геометризации). и расширил это до книги.

Все три группы обнаружили, что пробелы в работах Перельмана незначительны и могут быть заполнены с использованием его собственных методов.

22 августа 2006 года ICM наградил Перельмана медалью Филдса за работу над потоком Риччи, но Перельман отказался от медали. Джон Морган выступил на ICM по поводу гипотезы Пуанкаре 24 августа 2006 года, заявив, что «в 2003 году Перельман решил гипотезу Пуанкаре».

В декабре 2006 года журнал Science назвал доказательство гипотезы Пуанкаре «Прорывом года» и поместил его на обложку.

Риччи Флоу после операции

Основная статья: Поток Риччи

Программа Гамильтона для доказательства гипотезы Пуанкаре предполагает сначала нанесение римановой метрики на неизвестное односвязное замкнутое трехмерное многообразие. Основная идея состоит в том, чтобы попытаться «улучшить» этот показатель; например, если метрику можно улучшить настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то, согласно классическим результатам римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон предписал « уравнения потока Риччи » для улучшения метрики;

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}$

где g — метрика, а R — кривизна Риччи, и можно надеяться, что с увеличением времени t многообразие станет легче понимать. Поток Риччи расширяет часть многообразия с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.

В некоторых случаях Гамильтону удалось показать, что это работает; например, его первоначальный прорыв заключался в том, чтобы показать, что если риманово многообразие везде имеет положительную кривизну Риччи, то описанную выше процедуру можно выполнять только для ограниченного интервала значений параметров: $t\in [0,T)$ с $T<\infty$и, что более важно, существуют числа $c_{t}$ такой, что как $t\nearrow T$, римановы метрики $c_{t}g(t)$ плавно сходятся к одной постоянной положительной кривизны. Согласно классической римановой геометрии, единственным односвязным компактным многообразием, которое может поддерживать риманову метрику постоянной положительной кривизны, является сфера. Таким образом, по сути, Гамильтон показал частный случай гипотезы Пуанкаре: если компактное односвязное 3-многообразие поддерживает риманову метрику положительной кривизны Риччи, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Если вместо этого имеется только произвольная риманова метрика, уравнения потока Риччи должны приводить к более сложным особенностям. Главным достижением Перельмана было показать, что с определенной точки зрения, если они появляются в конечное время, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. Имея количественное понимание этого явления, он разрезает многообразие по сингулярностям, разбивая многообразие на несколько частей, а затем продолжает поток Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургическим вмешательством.

Перельман представил отдельный аргумент, основанный на потоке, сокращающем кривую , чтобы показать, что в односвязном компактном трехмерном многообразии любое решение потока Риччи с перестройкой исчезает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории min-max минимальных поверхностей и теории геометрической меры, был предоставлен Тобиасом Колдингом и Уильямом Миникоцци . Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, — это вышеупомянутые явления потока Риччи с хирургией за конечное время. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.

Это условие на фундаментальную группу оказывается необходимым и достаточным для угасания за конечное время. Это эквивалентно тому, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонентов и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрию, основанную на двух геометриях Терстона S ² × Р и С ³ . В контексте того, что никто не делает никаких предположений о фундаментальной группе, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и тем самым доказал гипотезу геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет толстую -тонкое разложение , толстая часть которого имеет гиперболическую структуру, а тонкая часть представляет собой граф-многообразие . Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.

Решение

Григорий Перельман

13 ноября 2002 года российский математик Григорий Перельман первую из трех электронных публикаций, опубликовал на arXiv в которых излагается решение гипотезы Пуанкаре. Доказательство Перельмана использует модифицированную версию программы потока Риччи, разработанной Ричардом С. Гамильтоном . В августе 2006 года Перельман был награжден, но отказался от медали Филдса (стоимостью 15 000 канадских долларов) за свою работу над потоком Риччи. 18 марта 2010 года Математический институт Клея размере 1 миллиона долларов наградил Перельмана Премией тысячелетия в в знак признания его доказательства. Перельман отказался и от этой премии.

Перельман доказал эту гипотезу, деформировав многообразие с помощью потока Риччи (который ведет себя аналогично уравнению теплопроводности , описывающему диффузию тепла через объект). Поток Риччи обычно деформирует многообразие, придавая ему более округлую форму, за исключением некоторых случаев, когда он растягивает многообразие отдельно от себя в сторону так называемых сингулярностей . Затем Перельман и Гамильтон разрезают многообразие на особенности (процесс, называемый «хирургией»), в результате чего отдельные части приобретают шарообразную форму. Основные этапы доказательства включают в себя демонстрацию того, как ведут себя многообразия, когда они деформируются потоком Риччи, исследование того, какие особенности возникают, определение того, может ли этот процесс операции быть завершен, и установление того, что операцию не нужно повторять бесконечное количество раз.

Первым шагом является деформация многообразия с помощью потока Риччи . Поток Риччи был определен Ричардом С. Гамильтоном как способ деформации многообразий. Формула потока Риччи представляет собой имитацию уравнения теплопроводности , которое описывает способ течения тепла в твердом теле. Как и тепловой поток, поток Риччи стремится к однородному поведению. В отличие от теплового потока, поток Риччи может столкнуться с сингулярностями и перестать функционировать. Особенность в многообразии — это место, где оно не дифференцируемо: угол, точка возврата или защемление. Поток Риччи был определен только для гладких дифференцируемых многообразий. Гамильтон использовал поток Риччи, чтобы доказать, что некоторые компактные многообразия диффеоморфны сферам , и надеялся применить его для доказательства гипотезы Пуанкаре. Ему нужно было понять особенности.

Гамильтон составил список возможных особенностей, которые могли образоваться, но он был обеспокоен тем, что некоторые особенности могут привести к трудностям. Он хотел разрезать многообразие по сингулярностям и вставить заглавные буквы, а затем снова запустить поток Риччи, поэтому ему нужно было понять сингулярности и показать, что определенные виды сингулярностей не встречаются. Перельман обнаружил, что все сингулярности очень просты: предположим, что цилиндр формируется путем «растягивания» круга вдоль линии в другом измерении, повторение этого процесса со сферами вместо кругов по сути дает форму сингулярностей. Перельман доказал это, используя так называемый «приведенный объем», который тесно связан с собственным значением определенного эллиптического уравнения .

Иногда сложная операция сводится к умножению на скаляр (число). Такие числа называются собственными значениями этой операции. Собственные значения тесно связаны с частотами вибрации и используются при анализе известной задачи: слышите ли вы форму барабана? По сути, собственное значение похоже на ноту, которую играет многообразие. Перельман доказал, что эта нота усиливается, когда многообразие деформируется потоком Риччи. Это помогло ему устранить некоторые из наиболее неприятных особенностей, которые беспокоили Гамильтона, в частности решение сигарного солитона, которое выглядело как нить, торчащая из многообразия, на другой стороне которой ничего не было. По сути, Перельман показал, что все образующиеся пряди можно подстричь и заколоть, и ни одна из них не будет торчать только с одной стороны.

Завершая доказательство, Перельман берет любое компактное односвязное трехмерное многообразие без края и начинает рассматривать поток Риччи. Это деформирует коллектор на круглые части, между которыми проходят пряди. Он обрезает нити и продолжает деформировать многообразие, пока, в конце концов, у него не останется набор круглых трехмерных сфер. Затем он восстанавливает исходное многообразие, соединяя сферы вместе трехмерными цилиндрами, преобразует их в круглую форму и видит, что, несмотря на всю первоначальную путаницу, многообразие на самом деле было гомеоморфно сфере.

Сразу же возник вопрос: как можно быть уверенным в том, что бесконечное число сокращений не является необходимым? Этот вопрос был поднят в связи с тем, что сокращение потенциально может продолжаться вечно. Перельман доказал, что этого не может произойти, используя минимальные поверхности на многообразии. Минимальная поверхность — это поверхность, на которой любая локальная деформация увеличивает площадь; знакомый пример — мыльная пленка, охватывающая изогнутую петлю проволоки. Гамильтон показал, что площадь минимальной поверхности уменьшается по мере того, как многообразие испытывает течение Риччи. Перельман проверил, что произошло с площадью минимальной поверхности при разрезании многообразия. Он доказал, что, в конце концов, площадь настолько мала, что любой разрез после такой маленькой площади может означать только отсечение трехмерных сфер, а не более сложных частей. описывает это как битву с гидрой Сормани в книге Шпиро, цитируемой ниже, . Эта последняя часть доказательства появилась в третьей и последней статье Перельмана по этому вопросу.

См. также

• Многообразие судьбы

Дальнейшее чтение

• Кляйнер, Брюс ; Лотт, Джон (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math/0605667 . дои : 10.2140/gt.2008.12.2587 . МР   2460872 . S2CID   119133773 .
• Хуай-Дун Цао; Си-Пин Чжу (3 декабря 2006 г.). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math.DG/0612069 .
• Морган, Джон В .; Тиан, Банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре . Монографии Клэя по математике. Том. 3. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . arXiv : math/0607607 . ISBN  978-0-8218-4328-4 . МР   2334563 .
• О'Ши, Донал (2007). Гипотеза Пуанкаре: в поисках формы Вселенной . Уокер и компания . ISBN  978-0-8027-1654-5 .
• Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .
• Перельман, Гриша (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math.DG/0303109 .
• Перельман, Гриша (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG/0307245 .
• Шпиро, Джордж (2008). Премия Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок . Плюм . ISBN  978-0-452-28964-2 .
• Стиллвелл, Джон (2012). «Пуанкаре и ранняя история трехмерных многообразий» . Бюллетень Американского математического общества . 49 (4): 555–576. дои : 10.1090/S0273-0979-2012-01385-X . МР   2958930 .
• Яу, Шинг-Тунг ; Надис, Стив (2019). Форма жизни: поиски скрытой геометрии Вселенной одним математиком . Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета . ISBN  978-0-300-23590-6 . МР   3930611 .

Внешние ссылки

• «Гипотеза Пуанкаре» - BBC Radio 4 программа «В наше время », 2 ноября 2006 г. Авторы: Джун Барроу-Грин, преподаватель истории математики в Открытом университете , Ян Стюарт , профессор математики в Уорикском университете , Маркус дю Сотой , профессор математики Оксфордского университета и ведущий Мелвин Брэгг .