Поток, сокращающий кривую

Сходимость выпуклой кривой к окружности под действием потока, сокращающего кривую. Внутренние кривые (более светлый цвет) представляют собой плавные версии внешних кривых. Шаги по времени между кривыми не одинаковы.

В математике поток, сокращающий кривую, — это процесс, который изменяет гладкую кривую в евклидовой плоскости , перемещая ее точки перпендикулярно кривой со скоростью, пропорциональной кривизне . Поток, сокращающий кривую, является примером геометрического потока и представляет собой одномерный случай потока средней кривизны . Другие названия этого же процесса включают евклидов поток сокращения , геометрический тепловой поток , и эволюция длины дуги .

Поскольку точки любой гладкой простой замкнутой кривой движутся таким образом, кривая остается простой и гладкой. Он теряет площадь с постоянной скоростью, а его периметр уменьшается настолько быстро, насколько это возможно при любом непрерывном развитии кривой. Если кривая невыпуклая, ее полная абсолютная кривизна монотонно уменьшается, пока она не станет выпуклой. После выпуклости изопериметрическое соотношение кривой уменьшается по мере того, как кривая сходится к круглой форме, прежде чем схлопнуться до сингулярности . Если развиваются две непересекающиеся простые гладкие замкнутые кривые, они остаются непересекающимися до тех пор, пока одна из них не схлопнется в точку. Круг — единственная простая замкнутая кривая, которая сохраняет свою форму под действием потока, сокращающего кривую, но некоторые кривые, которые пересекаются сами по себе или имеют бесконечную длину, сохраняют свою форму, включая кривую мрачного жнеца, бесконечную кривую, которая перемещается вверх, и спирали , которые вращаются. оставаясь при этом того же размера и формы.

Аппроксимацию потока, сокращающего кривую, можно рассчитать численно, аппроксимировав кривую многоугольником и используя метод конечных разностей для расчета движения каждой вершины многоугольника. Альтернативные методы включают вычисление свертки вершин многоугольника и последующую повторную выборку вершин полученной кривой или повторное применение медианного фильтра к цифровому изображению, черно-белые пиксели которого представляют внутреннюю и внешнюю часть кривой.

Первоначально течение с укорачиванием кривой изучалось как модель отжига металлических листов. Позже он был применен при анализе изображений, чтобы дать многомасштабное представление фигур. Он также может моделировать системы реакции-диффузии и поведение клеточных автоматов . Поток, сокращающий кривую, можно использовать для поиска замкнутых геодезических на римановых многообразиях , а также в качестве модели поведения потоков более высокой размерности.

Определения

Поток — это процесс, в котором точки пространства постоянно меняют свое местоположение или свойства с течением времени. Точнее, в одномерном геометрическом потоке , таком как поток, сокращающий кривую, точки, в которых протекает поток, принадлежат кривой , и изменяется форма кривой, ее вложение в евклидову плоскость, определяемую расположением каждой точки. из его точек. В потоке, укорачивающем кривую, каждая точка кривой движется в направлении вектора нормали к кривой со скоростью, пропорциональной кривизне . Для развивающейся кривой, представленной двухпараметрической функцией C ( s , t ) , где s параметризует длину дуги вдоль кривой, а t параметризует время в развитии кривой, поток, сокращающий кривую, может быть описан параболическим частичным дифференциальное уравнение

${\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}C}{\partial s^{2}}}=\kappa n,$

форма уравнения теплопроводности , где κ — кривизна, а n — единичный вектор нормали.

Поскольку на составляющие этого уравнения, длину дуги, кривизну и время, не влияют перемещения и вращения евклидовой плоскости, из этого следует, что поток, определяемый этим уравнением, инвариантен относительно перемещений и вращений (или, точнее, эквивариантен ). . Если плоскость масштабируется с постоянным коэффициентом расширения, поток остается практически неизменным, но замедляется или ускоряется с тем же коэффициентом.

Негладкие кривые

Для того чтобы течение было четко определено, данная кривая должна быть достаточно гладкой, чтобы иметь непрерывную кривизну. Однако как только течение начинается, кривая становится аналитической и остается таковой до тех пор, пока не достигнет сингулярности, при которой кривизна резко возрастает. Для гладкой кривой без пересечений единственная возможная особенность возникает, когда кривая схлопывается в точку, но погруженные кривые могут иметь особенности другого типа. В таких случаях при некоторой осторожности можно продолжать обтекание этих особенностей до тех пор, пока вся кривая не сожмется до одной точки.

Для простой замкнутой кривой, используя расширение потока до негладких кривых на основе метода набора уровней , есть только две возможности. Кривые с нулевой мерой Лебега (включая все многоугольники и кусочно-гладкие кривые) мгновенно превращаются в гладкие кривые, после чего они развиваются, как любая гладкая кривая. Однако вместо этого кривые Осгуда с ненулевой мерой сразу же превращаются в топологическое кольцо с ненулевой площадью и гладкими границами. — Синусоидальная кривая тополога это пример, который мгновенно становится гладким, несмотря на то, что даже не является локально связанным ; примеры, подобные этому, показывают, что обратная эволюция потока, сокращающего кривую, может привести кривые с хорошим поведением к сложным особенностям за конечное время.

Неевклидовы поверхности

Поток, сокращающий кривую, и многие результаты о потоке, сокращающем кривую, могут быть обобщены с евклидовой плоскости на любое двумерное риманово многообразие . Чтобы избежать дополнительных типов сингулярностей, важно, чтобы многообразие было выпуклым на бесконечности ; это означает, что каждый компакт имеет компактную выпуклую оболочку , определенную с использованием геодезической выпуклости . Поток, сокращающий кривую, не может заставить кривую отойти от ее выпуклой оболочки, поэтому это условие не позволяет частям кривой достигать границы многообразия.

Пространственные кривые

Поток, сокращающий кривую, также изучался для кривых в трехмерном евклидовом пространстве . Вектор нормали в этом случае можно определить (как и на плоскости) как производную касательного вектора по длине дуги, нормализованную до единичного вектора; это один из компонентов системы Френе-Серре . Он не четко определен в точках нулевой кривизны, но произведение кривизны и вектора нормали остается четко определенным в этих точках, что позволяет определить поток, сокращающий кривую. Кривые в пространстве могут пересекать друг друга или сами по себе согласно этому потоку, и поток может приводить к сингулярностям кривых; каждая особенность асимптотична плоскости. Однако известно, что сферические кривые и кривые, которые можно ортогонально спроектировать в правильную выпуклую плоскую кривую, остаются простыми. Поток, сокращающий кривую, для пространственных кривых использовался как способ определения обтекания сингулярностей на плоских кривых.

За пределами кривых

Можно расширить определение потока до более общих входных данных, чем кривые, например, используя спрямляемые варифолды или метод набора уровней . Однако эти расширенные определения могут позволить частям кривых мгновенно исчезнуть или превратиться в наборы ненулевой площади.

Для сетей кривых продолжение потока, сокращающего кривую, за пределы сингулярности может привести к неоднозначности или утолщению.

Обычно изучаемый вариант проблемы включает в себя сети непересекающихся внутри гладких кривых с стыками в местах пересечения трех или более кривых. Когда все соединения имеют ровно три кривые, пересекающиеся под углами 2 π /3 (те же условия, которые наблюдаются в оптимальном дереве Штейнера или в двумерной пене из мыльных пузырей ), течение в краткосрочной перспективе четко определено. Однако в конечном итоге он может достичь сингулярного состояния с четырьмя или более кривыми, пересекающимися в месте соединения, и может существовать более одного способа продолжить поток мимо такой сингулярности.

Поведение

Принцип уклонения, радиус и коэффициент растяжения

Если две непересекающиеся гладкие простые замкнутые кривые одновременно подвергаются укорачивающему кривую потоку, они остаются непересекающимися по мере развития потока. Причина в том, что если две гладкие кривые движутся таким образом, что возникает пересечение, то в момент первого пересечения кривые обязательно будут касаться друг друга, не пересекаясь. Но в такой ситуации кривизна двух кривых в точке касания обязательно разлучит их, а не столкнет вместе в пересечение. По той же причине единственная простая замкнутая кривая никогда не сможет пересечь саму себя. Это явление известно как принцип избегания.

Принцип избегания подразумевает, что любая гладкая замкнутая кривая должна в конечном итоге достичь сингулярности, например точки бесконечной кривизны. Ибо, если данная гладкая кривая C окружена кругом, обе они останутся непересекающимися до тех пор, пока они обе существуют. Но охватывающий круг сжимается под потоком кривизны, оставаясь круглым, пока не рухнет, и по принципу избегания C должен оставаться заключенным внутри него. Таким образом, если бы C никогда не достиг сингулярности, он оказался бы в ловушке в одной точке в момент схлопывания круга, что невозможно для гладкой кривой. Это можно определить количественно, заметив, что радиус наименьшего круга, окружающего C, должен уменьшаться со скоростью, по крайней мере, такой же быстрой, как уменьшение радиуса круга, подвергающегося тому же потоку.

Хьюскен (1998) количественно определяет принцип избегания для одной кривой с точки зрения соотношения между длиной дуги (более короткой из двух дуг) и евклидовым расстоянием между парами точек, иногда называемым коэффициентом растяжения . Он показывает, что коэффициент растяжения строго уменьшается в каждом из своих локальных максимумов, за исключением случая двух концов диаметра круга, когда коэффициент растяжения постоянен и равен π . Это свойство монотонности подразумевает принцип избегания, поскольку, если кривая когда-либо коснется самой себя, коэффициент растяжения станет бесконечным в двух точках соприкосновения.

Длина

Когда кривая подвергается укорачивающему потоку, ее длина L уменьшается со скоростью, определяемой формулой

${\frac {dL}{dt}}=-\int \kappa ^{2}\,ds,$

где интеграл берется по кривой, κ — кривизна, а s — длина дуги вдоль кривой. Подынтегральная функция всегда неотрицательна, и для любой гладкой замкнутой кривой существуют дуги, внутри которых она строго положительна, поэтому длина монотонно убывает. В более общем смысле, для любой эволюции кривых, нормальная скорость которых равна f , скорость изменения длины равна

${\frac {dL}{dt}}=-\int f\kappa \,ds,$

который можно интерпретировать как отрицательный внутренний продукт между данной эволюцией и потоком, сокращающим кривую. Таким образом, поток, сокращающий кривую, можно описать как градиентный поток по длине, поток, который (локально) уменьшает длину кривой как можно быстрее относительно L ² норма потока. Именно это свойство дало название потоку, сокращающему кривую.

Область

Для простой замкнутой кривой площадь , ограниченная кривой, сокращается с постоянной скоростью 2 π единиц площади в единицу времени, независимо от кривой. Следовательно, общее время, необходимое кривой для сжатия до точки, пропорционально ее площади, независимо от ее первоначальной формы. Поскольку площадь кривой уменьшается с постоянной скоростью и (согласно изопериметрическому неравенству ) круг имеет наибольшую возможную площадь среди простых замкнутых кривых заданной длины, из этого следует, что круги являются кривыми, которые медленнее всего сжимаются до точки под действием поток, сокращающий кривую. Для схлопывания всех остальных кривых требуется меньше времени, чем для круга той же длины.

Постоянная скорость уменьшения площади — единственный закон сохранения, которому удовлетворяет поток, сокращающий кривую. Это означает, что невозможно выразить «точку схода», в которой кривая в конечном итоге схлопывается, как интеграл по кривой любой функции ее точек и их производных, потому что такое выражение привело бы к запрещенному второму закону сохранения. Однако, объединив постоянную скорость потери площади с принципом избегания, можно доказать, что точка схода всегда лежит внутри круга, концентричного минимальному охватывающему кругу, площадь которого равна разнице площадей между охватывающим кругом и охватывающим кругом. заданная кривая.

Полная абсолютная кривизна

Полная абсолютная кривизна гладкой кривой представляет собой интеграл абсолютного значения кривизны по длине дуги кривой:

$K=\int |\kappa |\,ds.$

Его также можно выразить как сумму углов между векторами нормалей в последовательных парах точек перегиба . Оно составляет 2 π для выпуклых кривых и больше для невыпуклых кривых, что служит мерой невыпуклости кривой.

Новые точки перегиба не могут быть созданы потоком, сокращающим кривую. Каждый из углов в представлении полной абсолютной кривизны в виде суммы монотонно уменьшается, за исключением моментов, когда две последовательные точки перегиба достигают одного и того же угла или положения друг с другом и обе исключаются. Следовательно, общая абсолютная кривизна никогда не может увеличиваться по мере развития кривой. Для выпуклых кривых он постоянен при 2 π , а для невыпуклых кривых монотонно убывает.

Теорема Гейджа – Гамильтона – Грейсона

Если гладкая простая замкнутая кривая подвергается потоку, сокращающему кривую, она остается гладко вложенной без самопересечений. Со временем он станет выпуклым , и как только это произойдет, он останется выпуклым. По истечении этого времени все точки кривой сдвинутся внутрь, а форма кривой сойдется к кругу, поскольку вся кривая сожмется до одной точки. Иногда это поведение описывают, говоря, что каждая простая замкнутая кривая сжимается до «круглой точки».

Этот результат принадлежит Майклу Гейджу , Ричарду С. Гамильтону и Мэтью Грейсону. Гейдж ( 1983 , 1984 ) доказал сходимость к окружности для выпуклых кривых, стягивающихся в точку. Более конкретно, Гейдж показал, что изопериметрическое соотношение (отношение квадрата длины кривой к площади, число, равное 4 π для круга и больше для любой другой выпуклой кривой) монотонно и быстро уменьшается. Гейдж и Гамильтон (1986) доказали, что все гладкие выпуклые кривые в конечном итоге сжимаются в точку, не образуя никаких других особенностей, а Грейсон (1987) доказал, что каждая невыпуклая кривая в конечном итоге станет выпуклой. Эндрюс и Брайан (2011) предоставляют более простое доказательство результата Грейсона, основанное на монотонности коэффициента растяжения.

Предельная форма для всех сетей из двух коллинеарных лучей и двух кривых, соединяющих концы двух лучей. Центральная линза имеет форму vesica piscis .

Аналогичные результаты могут быть распространены с замкнутых кривых на неограниченные кривые, удовлетворяющие локальному условию Липшица . Для таких кривых, если обе стороны кривой имеют бесконечную площадь, то развитая кривая всегда остается гладкой и без сингулярностей. Однако если одна сторона неограниченной кривой имеет конечную площадь, а кривая имеет конечную полную абсолютную кривизну, то ее эволюция достигает сингулярности за время, пропорциональное площади на стороне кривой конечной площади, с неограниченной кривизной вблизи особенности. . Для кривых, которые являются графиками достаточно хороших функций, асимптотических для луча в каждом направлении, решение сходится по форме к уникальной форме, асимптотической для тех же лучей. Для сетей, образованных двумя непересекающимися лучами на одной прямой и двумя гладкими кривыми, соединяющими концы двух лучей, справедлив аналог теоремы Гейджа–Гамильтона–Грейсона, при котором область между двумя кривыми становится выпуклой, а затем сходится до формы vesica piscis .

Особенности самопересекающихся кривых

Кривые, имеющие самопересечения, могут достигать сингулярностей, прежде чем сжаться в точку. Например, если лемниската (любая гладкая погруженная кривая с одним пересечением, напоминающая цифру 8 или символ бесконечности ) имеет неравные площади в двух своих лепестках, то в конечном итоге меньшая доля схлопнется в точку. Однако если две доли имеют равные площади, то они останутся равными на протяжении всей эволюции кривой, а изопериметрическое соотношение будет расходиться по мере того, как кривая схлопывается до сингулярности.

Когда локально выпуклая самопересекающаяся кривая приближается к сингулярности при сжатии одной из ее петель, она либо сжимается самоподобным образом, либо асимптотически приближается к кривой мрачного жнеца (описанной ниже) по мере ее сжатия. Когда петля схлопывается в сингулярность, величина общей абсолютной кривизны, которая теряется, составляет либо не менее 2 π , либо ровно π .

О римановых многообразиях

На римановом многообразии любая гладкая простая замкнутая кривая останется гладкой и простой по мере своего развития, как и в евклидовом случае. Он либо схлопнется до определенной точки за ограниченный промежуток времени, либо останется гладким и простым навсегда. В последнем случае кривая обязательно сходится к замкнутой геодезической поверхности.

Погруженные кривые на римановых многообразиях с конечным числом самопересечений становятся самокасательными только в дискретный набор моментов времени, в каждый из которых они теряют пересечение. Как следствие, количество точек самопересечения не увеличивается.

мяч Теннисный

Сокращение кривой на сфере можно использовать как часть доказательства теоремы о теннисном мяче . Эта теорема утверждает, что каждая гладкая простая замкнутая кривая на сфере, которая делит поверхность сферы на две равные области (как шов теннисного мяча ), должна иметь как минимум четыре точки перегиба . Доказательство основано на наблюдении, что сокращение кривой сохраняет ее гладкость и свойства деления площади пополам и не увеличивает количество точек перегиба. Следовательно, это позволяет свести проблему к проблеме для кривых вблизи предельной формы сокращения кривой - большого круга .

Формула монотонности Хейскена

Основная статья: формула монотонности Хейскена

Согласно формуле монотонности Хейскена , свертка развивающейся кривой с обращенным во времени тепловым ядром не возрастает. Этот результат можно использовать для анализа особенностей эволюции.

Конкретные кривые

Кривые с самоподобной эволюцией

Кривая мрачного жнеца и ее переведенные копии, созданные потоком, сокращающим кривую.

Поскольку любая другая простая замкнутая кривая сходится к окружности, окружность является единственной простой замкнутой кривой, которая сохраняет свою форму под действием потока, сокращающего кривую. Однако существует множество других примеров кривых, которые либо непросты (они включают в себя самопересечения), либо незамкнуты (они простираются до бесконечности) и сохраняют свою форму. В частности,

• Каждая линия остается неизменной из-за потока, сокращающего кривую. Линии — единственные кривые, на которые не влияет поток, сокращающий кривую. хотя существуют более сложные устойчивые сети кривых, такие как шестиугольная мозаика плоскости.
• Кривая мрачного жнеца y = − log cos x движется вверх, не меняя своей формы. Точно так же любая кривая, подобная мрачному жнецу, транслируется укорачивающим кривую потоком, смещаясь в направлении оси симметрии кривой без изменения ее формы или ориентации. Мрачный жнец — единственная кривая, обладающая этим свойством. ее также называют моделью шпильки . В физической литературе
• Семейство самопересекающихся замкнутых кривых, полученных из проекций торических узлов , гомотетически сжимаются , но остаются самоподобными под действием потока, укорачивающего кривую. Они стали известны как кривые Абреша-Лангера после работы Абреша и Лангера (1986) . хотя они были упомянуты ранее Маллинзом (1956) и независимо заново открыты Эпштейном и Вайнштейном (1987) . Эти кривые локально выпуклы и поэтому могут быть описаны их опорными функциями . Подходящим образом масштабированные версии этих опорных функций подчиняются дифференциальному уравнению

  $h''+h={\frac {1}{h}},$

который имеет положительные периодические решения (соответствующие кривым с самоподобной эволюцией) для любого периода, находящегося строго между π и $\pi {\sqrt {2}}$.

• Другие кривые, в том числе некоторые бесконечные спирали , остаются самоподобными с более сложными движениями, включая вращение или комбинации вращения, сжатие или расширение и перемещение.
• Для сетей гладких кривых, сходящихся по три в местах соединения под углами 2 π /3, самоподобные сокращающиеся решения включают двойной пузырь, окружающий две равные области, форму линзы ( vesica piscis ), ограниченную двумя конгруэнтными дугами окружностей вместе с два коллинеарных луча, вершины которых находятся в углах линзы, и «рыбовидная» сеть, ограниченная отрезком, двумя лучами и выпуклой кривой. Любые другие самоподобные сжимающиеся сети включают большее количество кривых. Другое семейство сетей растет гомотетически и остается самоподобным; это древовидная сеть кривых, встречающихся под углами 2 π /3 в тройных стыках, асимптотическая веер из двух или более лучей , встречающихся в общей конечной точке. Двухлучевой случай этих фигур представляет собой неограниченную гладкую кривую; для трех или более лучей эволюцию этих форм можно определить, используя обобщенные варианты потока, сокращающего кривую, например, для варифолдов. Данный веер из четырех или более лучей может быть асимптотичен более чем одному различному решению этого типа, поэтому эти решения не дают однозначного определения потока, сокращающего кривую, начинающегося с веера лучей.

Древние решения

проблемы Древнее решение потока — это кривая, эволюцию которой можно экстраполировать назад на все времена, без сингулярностей. Все самоподобные решения, которые сжимаются или остаются в том же размере, а не растут, в этом смысле являются древними решениями; их можно экстраполировать назад, обратив преобразование самоподобия , которому они подверглись бы при прямом потоке, сокращающем кривую. Так, например, круг, мрачный жнец и кривые Абреша–Лангера — все это древние решения.

Есть и примеры, не самоподобные. Ярким примером является овальное решение Ангенента, основанное на работе Ангенента (1992) . Это семейство кривых можно параметризовать, указав кривизну как функцию угла касания, используя формулу

$k(\theta ,t)={\sqrt {\cos 2\theta -\operatorname {coth} 2t}}$

и имеют в качестве предельной формы при обратной эволюции пару кривых мрачного жнеца, приближающихся друг к другу с противоположных направлений. В декартовой системе координат они могут быть заданы неявным уравнением кривой

$\cosh y-e^{-t}\cos x=0.$

В физической литературе те же формы известны как модель скрепки .

Решения Ангенентского овала и сжимающегося круга - единственные древние решения, временные интервалы которых ограничивали ограниченные выпуклые множества. «Мрачный жнец», стационарное полупространство и стационарные полосовые решения — единственные примеры, временные интервалы которых ограничивают неограниченные выпуклые множества. Существует множество дополнительных (невложенных) локально выпуклых примеров, а также множество дополнительных (невыпуклых) вложенных примеров.

Численные приближения

Чтобы эффективно вычислить поток, сокращающий кривую, как непрерывную кривую, так и ее непрерывную эволюцию необходимо заменить дискретной аппроксимацией.

Переднее отслеживание

Методы отслеживания фронтов уже давно используются в гидродинамике для моделирования и отслеживания движения границ между различными материалами, крутых градиентов свойств материалов, таких как погодные фронты , или ударных волн внутри одного материала. Эти методы включают в себя вывод уравнений движения границы и их использование для непосредственного моделирования движения границы, а не моделирование подстилающей жидкости и рассмотрение границы как возникающего свойства жидкости. Те же методы можно использовать и для моделирования потока, сокращающего кривую, даже если кривая, на которой протекает поток, не является границей или скачком.

В методах отслеживания фронта для сокращения кривой кривая, претерпевающая эволюцию, дискретизируется в виде многоугольника. Метод конечных разностей используется для вывода формул для приблизительного вектора нормали и кривизны в каждой вершине многоугольника, и эти значения используются для определения того, как перемещать каждую вершину на каждом временном шаге. Хотя поток, сокращающий кривую, определяется движением кривой перпендикулярно самой себе, некоторые параметризации потока, сокращающего кривую, могут позволить вершинам, аппроксимирующим кривую, двигаться неперпендикулярно. По сути, это позволяет вершинам перемещаться вдоль кривой по мере ее развития. Выбор тщательной перепараметризации может помочь более равномерно перераспределить вершины вдоль кривой в ситуациях, когда перпендикулярное движение может привести к их сбивке. Мерриман, Бенс и Ошер (1992) пишут, что эти методы быстрые и точные, но гораздо сложнее распространить их на версии потока сокращения кривой, которые применимы к более сложным входным данным, чем простые замкнутые кривые, где необходимо иметь дело с особенностями и изменениями топологии.

предупреждает , что для большинства таких методов Цао (2003) «условия устойчивости нелегко определить, и шаг по времени должен выбираться специально». Другой метод конечных разностей, предложенный Crandall & Lions (1996), изменяет формулу для кривизны в каждой вершине, добавляя к ней небольшой член, основанный на операторе Лапласа . Эта модификация называется эллиптической регуляризацией , и ее можно использовать для доказательства существования обобщенных потоков, а также при их численном моделировании. Используя его, можно доказать, что метод Крэндалла и Лайонса сходится, и это единственный численный метод, перечисленный Цао, который имеет ограничения на скорость сходимости. Эмпирическое сравнение прямого Эйлера , обратного Эйлера и более точных Кранка – Николсона методов конечных разностей см. в Balažovjech & Mikula (2009) .

Повторная выборка свертки

Мохтариан и Макворт (1992) предлагают численный метод расчета аппроксимации потока, сокращающего кривую, который поддерживает дискретную аппроксимацию кривой и чередует два шага:

• Повторно дискретизируйте текущую кривую, разместив новые точки выборки на одинаковом расстоянии, измеренном по нормализованной длине дуги.
• Сверните местоположения точек с помощью функции Гаусса с небольшим стандартным отклонением, по сути заменяя местоположение каждой точки средневзвешенным значением местоположений соседних точек вдоль кривой с гауссовскими весами. Стандартное отклонение гауссианы должно быть выбрано достаточно малым, чтобы после этого шага точки выборки все еще имели почти одинаковое расстояние.

Как они показывают, этот метод сходится к распределению укорочения кривой в пределе, когда количество точек выборки увеличивается и нормированная длина дуги радиуса свертки уменьшается.

Медианная фильтрация

Мерриман, Бенс и Ошер (1992) описывают схему, работающую на двумерной квадратной сетке – фактически массиве пикселей . Кривая, которую необходимо построить, представляется путем присвоения значения 0 (черный) пикселям снаружи кривой и 1 (белый) пикселям внутри кривой, что дает индикаторную функцию для внутренней части кривой. Это представление обновляется путем чередования двух шагов:

• Сверните пиксельное изображение с помощью теплового ядра , чтобы смоделировать его эволюцию согласно уравнению теплопроводности за короткий временной шаг. Результатом является по Гауссу размытие изображения или, что то же самое, преобразование Вейерштрасса индикаторной функции с радиусом, пропорциональным квадратному корню из временного шага.
• Установите каждый пиксель с числовым значением менее 1/2 на 0 и каждый пиксель с числовым значением больше 1/2 на 1, возвращая изображение к исходным значениям в новых позициях.

Чтобы эта схема была точной, шаг по времени должен быть достаточно большим, чтобы кривая сдвинулась хотя бы на один пиксель даже в точках с низкой кривизной, но достаточно малым, чтобы радиус размытия был меньше минимального радиуса. кривизны. Следовательно, размер пикселя должен быть O (min κ /max κ ² ) , достаточно малый, чтобы можно было выбрать подходящий промежуточный шаг по времени.

Этот метод можно обобщить на эволюцию сетей кривых, пересекающихся в местах соединения и разделяющих плоскость более чем на три области, применяя один и тот же метод одновременно к каждой области. Вместо размытия и определения порога этот метод альтернативно можно описать как применение медианного фильтра с гауссовыми весами к каждому пикселю. Можно использовать ядра, отличные от теплового ядра, или адаптивно уточнять сетку так, чтобы она имела высокое разрешение вблизи кривой, но не тратила время и память на пиксели, расположенные далеко от кривой, которые не влияют на результат. Вместо использования только двух значений в пикселизированном изображении версия этого метода, в которой используется изображение, значения пикселей которого представляют расстояние со знаком до кривой, может обеспечить субпиксельную точность и потребовать более низкое разрешение.

Приложения

Отжиг металлических листов

) на поток, сокращающий кривую, Ранняя ссылка Уильяма В. Маллинза ( 1956 мотивирует его как модель физического процесса отжига , при котором термообработка вызывает смещение границ между зернами кристаллизованного металла. В отличие от мыльных пленок , которые из-за разницы в давлении воздуха превращаются в поверхности постоянной средней кривизны , границы зерен при отжиге подвергаются только локальным воздействиям, которые заставляют их перемещаться в соответствии с потоком средней кривизны. Одномерный случай этого потока, поток, укорачивающий кривую, соответствует отжигу листов металла, которые достаточно тонкие, чтобы зерна стали фактически двумерными, а их границы стали одномерными.

Анализ формы

В области обработки изображений и зрения компьютерного Мохтариан и Макворт (1992) предлагают применять поток сокращения кривой к контуру формы, полученной из цифрового изображения, чтобы удалить шум из формы и обеспечить масштабное пространство , обеспечивающее упрощенное описание. формы на разных уровнях разрешения. Метод Мохтаряна и Макворта включает в себя вычисление потока, сокращающего кривую, отслеживание точек перегиба кривой по мере их продвижения по потоку и построение графика, который отображает положение точек перегиба вокруг кривой в зависимости от параметра времени. Точки перегиба обычно удаляются с кривой парами, когда кривая становится выпуклой (согласно теореме Гейджа – Гамильтона – Грейсона), а время жизни пары точек соответствует выраженности особенности формы. Из-за метода свертки с повторной выборкой, который они описывают для расчета численной аппроксимации потока, сокращающего кривую, они называют свой метод передискретизированное пространство масштаба кривизны . Они отмечают, что это масштабное пространство инвариантно относительно евклидовых преобразований данной формы, и утверждают, что оно однозначно определяет форму и устойчиво к небольшим изменениям формы. Они экспериментально сравнивают его с несколькими связанными альтернативными определениями масштабного пространства для форм и обнаруживают, что масштабное пространство кривизны с повторной выборкой требует меньше вычислительных затрат, более устойчиво к неоднородному шуму и менее сильно подвержено влиянию мелкомасштабных различий в форме.

Реакция-диффузия

В реакционно-диффузионных системах , моделируемых уравнением Аллена-Кана , предельное поведение для быстрой реакции, медленной диффузии и двух или более локальных минимумов энергии с одинаковым энергетическим уровнем заключается в том, что система располагается в областях с различными локальными уровнями. минимумы, причем фронты, ограничивающие границы между этими областями, развиваются в соответствии с течением, сокращающим кривую.

Клеточные автоматы

Клеточный автомат Anneal, 1600 шагов после случайного старта

В клеточном автомате каждая ячейка в бесконечной сетке ячеек может иметь одно из конечного набора состояний, и все ячейки обновляют свои состояния одновременно, основываясь только на конфигурации небольшого набора соседних ячеек. Правило клеточного автомата, похожее на жизнь, — это правило, в котором сетка представляет собой бесконечную квадратную решетку, существует ровно два состояния ячеек, набор соседей каждой ячейки — это восемь соседей окрестности Мура , и правило обновления зависит только от количества соседей с каждым из двух состояний, а не от какой-либо более сложной функции этих состояний. В одном конкретном жизненном правиле, введенном Жераром Вишняком и названном правилом искаженного большинства или правилом отжига, правило обновления устанавливает новое значение для каждой ячейки как большинство среди девяти ячеек, заданных ею и ее восемью соседями, за исключением когда эти ячейки разделены между четырьмя с одним состоянием и пятью с другим состоянием, и в этом случае новым значением ячейки является меньшинство, а не большинство. Детальная динамика этого правила сложна, включая существование небольших стабильных структур. Однако в совокупности (при запуске со всеми ячейками в случайных состояниях) он имеет тенденцию образовывать большие области ячеек, которые все находятся в одном и том же состоянии друг с другом, причем границы между этими областями развиваются в соответствии с потоком, сокращающим кривую.

Строительство закрытых геодезических

Поток, сокращающий кривую, можно использовать для доказательства изопериметрического неравенства для поверхностей, гауссова кривизна которых является невозрастающей функцией расстояния от начала координат , таких как параболоид . На такой поверхности гладкий компакт, имеющий любую заданную площадь и минимальный периметр для этой площади, обязательно представляет собой круг с центром в начале координат. Доказательство применяет поток, сокращающий кривую, к двум кривым, метрической окружности и границе любого другого компакта, и сравнивает изменение периметра двух кривых, когда они обе сводятся потоком к точке. Поток, сокращающий кривую, также можно использовать для доказательства теоремы о трех геодезических , согласно которой каждое гладкое риманово многообразие, топологически эквивалентное сфере, имеет три геодезические, образующие простые замкнутые кривые .

Связанные потоки

Другие геометрические потоки, связанные с потоком сокращения кривой, включают следующие.

• Для моделирования поведения кристаллов или других анизотропных материалов важно иметь варианты течения, укорачивающего кривую, для которых скорость течения зависит как от ориентации кривой, так и от ее кривизны. Один из способов сделать это — определить энергию кривой как интеграл от гладкой функции γ ее нормальных векторов и сформировать градиентный поток этой энергии, согласно которому нормальная скорость, с которой течет кривая, пропорциональна анизотропный аналог кривизны. Этот поток можно смоделировать, дискретизировав кривую в виде многоугольника. В численных экспериментах исходные кривые сходятся к форме Вульфа для γ, а затем сжимаются в точку. Альтернативно, можно позволить кривой течь со скоростью a ( θ ) κ + b ( θ ), где κ — (обычная) кривизна, а a и b — гладкие функции ориентации θ . Когда a ( θ + π ) = a ( θ ) и b ( θ + π ) = − b ( θ ) (так что поток инвариантен относительно точечного отражения ), можно показать, что результирующий поток подчиняется принципу избегания и аналог теоремы Гейджа–Гамильтона–Грейсона.
• Поток , сокращающий аффинную кривую, был впервые исследован Альваресом и др. (1993) и Сапиро и Танненбаум (1993) . В этом потоке нормальная скорость кривой пропорциональна кубическому корню кривизны. Результирующий поток инвариантен (с соответствующим масштабированием времени) относительно аффинных преобразований евклидовой плоскости, большей группы симметрии , чем преобразования подобия, относительно которых инвариантен поток, сокращающий кривую. В рамках этого потока применяется аналог теоремы Гейджа–Гамильтона–Грейсона, согласно которому любая простая замкнутая кривая со временем становится выпуклой, а затем сходится к эллипсу при схлопывании в точку.
• Преобразование кривой с одинаковыми нормальными скоростями во всех точках называется преобразованием травяного пожара . Кривые, построенные таким образом, обычно имеют острые углы, следы которых образуют медиальную ось кривой. Тесно связанная эволюция кривой, которая перемещает прямые сегменты многоугольной кривой с одинаковыми скоростями, но позволяет вогнутым углам двигаться быстрее, чем единичная скорость, вместо этого образует другой тип топологического скелета данной кривой, ее прямой скелет .
• Для поверхностей в более высоких измерениях существует более одного определения кривизны, включая внешние (зависящие от встраивания) меры, такие как средняя кривизна , и внутренние меры, такие как скалярная кривизна и кривизна Риччи . Соответственно, существует несколько способов определения геометрических потоков на основе кривизны, включая поток средней кривизны (в котором нормальная скорость вложенной поверхности является ее средней кривизной), поток Риччи (внутренний поток в метрике пространства, основанный на его кривизна Риччи), поток кривизны Гаусса и поток Уиллмора (градиентный поток для функционала энергии, сочетающий среднюю кривизну и гауссову кривизну). Поток, сокращающий кривую, является частным случаем потока средней кривизны и потока кривизны Гаусса для одномерных кривых.
• При планировании пути в реальном времени для мобильных роботов использовалась модифицированная версия потока, сокращающего кривую, с дополнительными силами, чтобы найти пути, которые обеспечивают баланс между краткостью и отсутствием препятствий.
• Вдохновленные потоком, сокращающим кривую на гладких кривых, исследователи изучили методы плавных многоугольников , чтобы они оставались полигональными, с приложениями, включая формирование шаблонов и синхронизацию в распределенных системах роботов. Сохраняющие длину многоугольные потоки можно использовать для решения задачи правила плотника .
• В компьютерном зрении модель активного контура для обнаружения краев и сегментации изображения основана на укорочении кривой и создает кривые на основе комбинации их кривизны и особенностей изображения.

Ссылки

• Абреш, У.; Лангер, Дж. (1986), «Поток, сокращающий нормализованную кривую, и гомотетические решения», Journal of Differential Geometry , 23 (2): 175–196, doi : 10.4310/jdg/1214440025 , MR   0845704 .
• Айххольцер, Освин; Ауренхаммер, Франц ; Альбертс, Дэвид; Гертнер, Бернд (1995), «Новый тип скелета для многоугольников» , Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, CiteSeerX   10.1.1.135.9800 , doi : 10.1007/978-3-642-80350 -5_65 , МР   1392429 .
• Альтшулер, Стивен Дж. (1991), «Особенности сжимающегося потока для пространственных кривых», Journal of Differential Geometry , 34 (2): 491–514, doi : 10.4310/jdg/1214447218 , MR   1131441 .
• Альтшулер, Дилан Дж.; Альтшулер, Стивен Дж.; Ангенент, Сигурд Б .; Ву, Лани Ф. (2013), «Зоопарк солитонов для сокращения кривых в $\mathbb {R} ^{n}$", Нелинейность , 26 (5): 1189–1226, arXiv : 1207.4051 , Bibcode : 2013Nonli..26.1189A , doi : 10.1088/0951-7715/26/5/1189 , MR   3043378 , S2CID   1959 710 .
• Альтшулер, Стивен Дж.; Грейсон, Мэтью А. (1992), «Сокращение пространственных кривых и поток через особенности», Журнал дифференциальной геометрии , 35 (2): 283–298, doi : 10.4310/jdg/1214448076 , MR   1158337 .
• Альварес, Луис; Гишар, Фредерик; Львы, Пьер-Луи; Морель, Жан-Мишель (1993), «Аксиомы и фундаментальные уравнения обработки изображений», Архив Rational Mechanics and Analysis , 123 (3): 199–257, Бибкод : 1993ArRMA.123..199A , doi : 10.1007/BF00375127 , МР   1225209 , S2CID   121702431 .
• Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2011), «Оценка кривизны потока, сокращающего кривую, посредством сравнения расстояний и прямое доказательство теоремы Грейсона», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2011 (653): 179–187, arXiv : 0908.2682 , doi : 10.1515 /CRELLE.2011.026 , MR   2794630 , S2CID   16124939 .
• Ангенент, Сигурд (1991a), «Параболические уравнения для кривых на поверхностях. II. Пересечения, разрушения и обобщенные решения», Annals of Mathematics , Second Series, 133 (1): 171–215, doi : 10.2307/2944327 , JSTOR   2944327 , МР   1087347 .
• Ангенент, Сигурд (1991b), «О формировании особенностей в потоке, сокращающем кривую», Journal of Differential Geometry , 33 (3): 601–633, doi : 10.4310/jdg/1214446558 , MR   1100205 .
• Ангенент, Сигурд Б. (1992), «Сжимающиеся пончики» (PDF) , Нелинейные уравнения диффузии и их состояния равновесия, 3 (Gregynog, 1989) , Прогресс в области нелинейных дифференциальных уравнений и их приложений, том. 7, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, стр. 21–38, MR   1167827 .
• Ангенент, С. (1999), «Точки перегиба, экстатические точки и сокращение кривой» (PDF) , Гамильтоновы системы с тремя или более степенями свободы (С'Агаро, 1995) , NATO Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук, том. 533, Дордрехт: Клювер Акад. Опубл., стр. 3–10, МР   1720878.
• Ангенент, Сигурд ; Сапиро, Гильермо ; Танненбаум, Аллен (1998), «Об аффинном уравнении теплопроводности для невыпуклых кривых», Журнал Американского математического общества , 11 (3): 601–634, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00262-8 , HDL : 1853/32428 , MR   1491538
• Ангенент, Сигурд ; Ю, Цянь (2021), «Древние решения проблемы сокращения кривой с конечной полной кривизной», Transactions of the American Mathematical Society , 374 (2): 863–880, arXiv : 1803.01399 , doi : 10.1090/tran/8186 , MR   4196380 , S2CID   59366007
• Ау, Томас Квок-Кеунг (2010), «О свойстве седловой точки кривых Абреша-Лангера при потоке, сокращающем кривую», Communications in Analysis and Geometry , 18 (1): 1–21, arXiv : math/0102088 , doi : 10.4310/CAG.2010.v18.n1.a1 , MR   2660456 , S2CID   16046863 .
• Балажович, Мартин; Микула, Кароль (2009), «Схема высшего порядка для потока плоских кривых, сокращающего кривые» (PDF) , Алгоритмы 2009 , стр. 165–175 .
• Барретт, Джон В.; Гарке, Харальд; Нюрнберг, Роберт (2011), «Аппроксимация эволюции плоских кривых с помощью стабильных полностью неявных схем конечных элементов с равнораспределением» (PDF) , Численные методы для уравнений в частных производных , 27 : 1–30, doi : 10.1002/num.20637 , MR   2743598 , S2CID   23031256 .
• Беллеттини, Джованни; Новага, Маттео (2011), «Эволюция кривизны невыпуклых областей в форме линз», Журнал чистой и прикладной математики , 2011 (656): 17–46, arXiv : 0906.0166 , doi : 10.1515/CRELLE.2011.041 , MR   2818854 , S2CID   14158286 .
• Бенджамини, Итай ; Цао, Цзянго (1996), «Новая теорема изопериметрического сравнения для поверхностей переменной кривизны», Duke Mathematical Journal , 85 (2): 359–396, doi : 10.1215/S0012-7094-96-08515-4 , MR   1417620 .
• Бракке, Кеннет А. (1978), Движение поверхности по ее средней кривизне (PDF) , Mathematical Notes, vol. 20, Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, ISBN  0-691-08204-9 , МР   0485012 .
• Бурни, Теодора; Лэнгфорд, Мэт; Тинаглиа, Джузеппе (2020), «Выпуклые древние решения для сокращения кривой потока», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 59 (4): 133, arXiv : 1903.02022 , doi : 10.1007/s00526-020-01784-8 , MR   4127403 .
• Бродбридж, Филип; Василиу, Питер (2011), «Роль симметрии и разделения в эволюции поверхности и сокращении кривых», SIGMA , 7 : Paper 052, 19, arXiv : 1106.0092 , Bibcode : 2011SIGMA...7..052B , doi : 10.3842/ СИГМА.2011.052 , МР   2804584 , S2CID   8998552 .
• Брук, Александр; Брукштейн, Альфред М.; Киммел, Рон (2005), «О мерах справедливости, инвариантных по сходству», Киммел, Рон ; Сочен, Нир А.; Вайкерт, Иоахим (ред.), Масштабное пространство и методы PDE в компьютерном зрении: 5-я Международная конференция, Scale-Space 2005, Хофгайсмар, Германия, 7–9 апреля 2005 г., Труды , Конспекты лекций по информатике, том. 3459, Springer-Verlag, стр. 456–467, CiteSeerX   10.1.1.67.1807 , doi : 10.1007/11408031_39 , ISBN  978-3-540-25547-5 .
• Брайант, Роберт Л .; Гриффитс, Филлип А. (1995), «Характеристические когомологии дифференциальных систем. II. Законы сохранения для одного класса параболических уравнений», Duke Mathematical Journal , 78 (3): 531–676, doi : 10.1215/S0012-7094-95 -07824-7 , МР   1334205 . См., в частности, пример 1, стр. 542–544 и 601–604.
• Кантарелла, Джейсон Х.; Демейн, Эрик Д .; Ибен, Хейли Н.; О'Брайен, Джеймс Ф. (2004), «Энергетический подход к раскрытию связей», Труды двадцатого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии (SCG '04) , Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 134– 143, CiteSeerX   10.1.1.1001.9683 , номер doi : 10.1145/997817.997840 , ISBN  1-58113-885-7 , S2CID   6694097 .
• Цао, Фредерик (2003), Эволюция геометрических кривых и обработка изображений , Конспект лекций по математике, том. 1805, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/b10404 , ISBN  3-540-00402-5 , МР   1976551 .
• Шопар, Бастьен; Дро, Мишель (1998), «2.2.4 Правило отжига», Моделирование физических систем клеточными автоматами , Сборник Алеа-Сакле: Монографии и тексты по статистической физике, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 37–38, doi : 10.1017 /CBO9780511549755 , ISBN  0-521-46168-5 , МР   1669736 .
• Чжоу, Кай-Сен; Чжу, Си-Пин (1998), «Укорачивание полных плоских кривых», Журнал дифференциальной геометрии , 50 (3): 471–504, doi : 10.4310/jdg/1214424967 , MR   1690737 .
• Чжоу, Кай-Сен; Чжу, Си-Пин (2001), Проблема сокращения кривой , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9781420035704 , ISBN  1-58488-213-1 , МР   1888641 .
• Крэндалл, Майкл Г.; Лайонс, Пьер-Луи (1996), «Сходящиеся разностные схемы для нелинейных параболических уравнений и движения средней кривизны», Numerische Mathematik , 75 (1): 17–41, doi : 10.1007/s002110050228 , MR   1417861 , S2CID   119792668 .
• Даскалопулос, Панайота ; Гамильтон, Ричард ; Сесум, Натаса (2010), «Классификация компактных древних решений потока, сокращающего кривую», Журнал дифференциальной геометрии , 84 (3): 455–464, arXiv : 0806.1757 , doi : 10.4310/jdg/1279114297 , MR   2669361 , S2CID   18747005 .
• Декельник, Клаус (2000), «Границы погрешности для разностной схемы, аппроксимирующей вязкостные решения потока средней кривизны», Интерфейсы и свободные границы , 2 (2): 117–142, doi : 10.4171/IFB/15 , MR   1760409 .
• Декельник, К.; Дзюк, Г. (1995), «Об аппроксимации потока, сокращающего кривую», Вариационное исчисление, приложения и вычисления (Pont-à-Mousson, 1994) , Pitman Res. Примечания Матем. Сер., вып. 326, Longman Sci. Tech., Харлоу, стр. 100–108, MR   1419337 .
• Девадосс, Сатьян Л. ; О'Рурк, Джозеф (2011), «Сокращение кривой 5.5», Дискретная и вычислительная геометрия , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 138–144, ISBN  978-0-691-14553-2 , МР   2790764 .
• Дзюк, Герхард (1999), «Дискретная анизотропная кривая, сокращающая поток», SIAM Journal on Numerical Analysis , 36 (6): 1808–1830, doi : 10.1137/S0036142998337533 , MR   1712165 .
• Эллиотт, Чарльз М.; Фриц, Ханс (2017), «Об аппроксимациях потока, сокращающего кривую, и потока средней кривизны на основе трюка ДеТурка», IMA Journal of Numerical Analysis , 37 (2): 543–603, arXiv : 1602.07143 , doi : 10.1093 /imanum/drw020 , MR   3649420 .
• Эпштейн, CL ; Вайнштейн, М.И. (1987), «Теорема об устойчивом многообразии для уравнения сокращения кривой», Communications on Pure and Applied Mathematics , 40 (1): 119–139, doi : 10.1002/cpa.3160400106 , MR   0865360 .
• Эседохлу, Селим; Руут, Стивен; Цай, Ричард (2010), «Диффузия, генерируемая движением с использованием знаковых функций расстояния» (PDF) , Journal of Computational Physics , 229 (4): 1017–1042, Bibcode : 2010JCoPh.229.1017E , doi : 10.1016/j.jcp.2009.10 .002 , МР   2576237 .
• Гейдж, Майкл Э. (1983), «Изопериметрическое неравенство с применением к сокращению кривой», Duke Mathematical Journal , 50 (4): 1225–1229, doi : 10.1215/S0012-7094-83-05052-4 , MR   0726325 .
• Гейдж, Мэн (1984), «Сокращение кривых делает выпуклые кривые круглыми», Inventiones Mathematicae , 76 (2): 357–364, Bibcode : 1984InMat..76..357G , doi : 10.1007/BF01388602 , MR   0742856 , S2CID   1219819 87 .
• Гейдж, М .; Гамильтон, Р.С. (1986), «Уравнение теплопроводности, сжимающее выпуклые плоские кривые», Журнал дифференциальной геометрии , 23 (1): 69–96, doi : 10.4310/jdg/1214439902 , MR   0840401 .
• Грейсон, Мэтью А. (1987), «Уравнение теплопроводности сжимает встроенные плоские кривые до круглых точек», Journal of Differential Geometry , 26 (2): 285–314, doi : 10.4310/jdg/1214441371 , MR   0906392 .
• Грейсон, Мэтью А. (1989a), «Форма восьмерки под кривой, сокращающей поток» , Inventiones Mathematicae , 96 (1): 177–180, Бибкод : 1989InMat..96..177G , doi : 10.1007/ BF01393973 , MR   0981740 , S2CID   120965191 .
• Грейсон, Мэтью А. (1989b), «Сокращение встроенных кривых» (PDF) , Annals of Mathematics , Second Series, 129 (1): 71–111, doi : 10.2307/1971486 , JSTOR   1971486 , MR   0979601 .
• Халлдорссон, Хёскульдур П. (2012), «Автомодельные решения для потока, сокращающего кривую», Transactions of the American Mathematical Society , 364 (10): 5285–5309, arXiv : 1007.1617 , doi : 10.1090/S0002-9947-2012 -05632-7 , МР   2931330 , S2CID   54018685 .
• Хауссер, Франк; Фойгт, Аксель (2006), «Численная схема для потока, сокращающего регуляризованную анизотропную кривую», Applied Mathematics Letters , 19 (8): 691–698, doi : 10.1016/j.aml.2005.05.011 , MR   2232241 .
• Холден, Хельге; Рисебро, Нильс Хенрик (2015), Отслеживание фронта для гиперболических законов сохранения , Applied Mathematical Sciences, vol. 152 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3-662-47507-2 .
• Хуискен, Герхард (1990), «Асимптотическое поведение особенностей потока средней кривизны», Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi : 10.4310/jdg/1214444099 , hdl : 11858/00-001M-0000 -0013-5CFE-3 , МР   1030675 .
• Хьюскен, Герхард (1998), «Принцип сравнения расстояний для развивающихся кривых», Азиатский журнал математики , 2 (1): 127–133, doi : 10.4310/ajm.1998.v2.n1.a2 , hdl : 11858/ 00-001М-0000-0013-5965-2 , МР   1656553 .
• Хейскен, Герхард ; Синестрари, Карло (2015), «Выпуклые древние решения потока средней кривизны», Журнал дифференциальной геометрии , 101 (2): 267–287, arXiv : 1405.7509 , doi : 10.4310/jdg/1442364652 , MR   3399098 , S2CID   11912951 0 .
• Гуптих, Марсель; Рёк, Саша (28 января 2021 г.), «Планирование траектории в динамичных средах для беспилотных летательных аппаратов с использованием метода потока, сокращающего кривую», International Journal of Advanced Robotic Systems , 18 (1), doi : 10.1177/1729881420968687 , S2CID   232093372 .
• Ильманен, Том (1994), «Эллиптическая регуляризация и частичная регулярность движения по средней кривизне», Мемуары Американского математического общества , 108 (520), doi : 10.1090/memo/0520 , MR   1196160 .
• Ильманен, Том; Невес, Андре ; Шульце, Феликс (2014), О кратковременном существовании плоского сетевого потока , arXiv : 1407.4756 , Bibcode : 2014arXiv1407.4756I .
• Ишимура, Наоюки (1995), «Эволюция кривизны плоских кривых с заданным углом раскрытия», Бюллетень Австралийского математического общества , 52 (2): 287–296, doi : 10.1017/S0004972700014714 , MR   1348488 .
• Киченассами, С.; Кумар, А.; Олвер, П .; Танненбаум, А .; Йеззи, А. (1995), «Градиентные потоки и геометрические активные контурные модели», Труды Международной конференции IEEE по компьютерному зрению , стр. 810–815, CiteSeerX   10.1.1.331.6675 , doi : 10.1109/iccv.1995.466855 , ISBN  0-8186-7042-8 , S2CID   10355426 .
• Киммел, Рон (2004), Численная геометрия изображений: теория, алгоритмы и приложения , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-21637-9 , МР   2028182 .
• Кимура, М. (1994), «Точная численная схема течения по кривизне», Applied Mathematics Letters , 7 (1): 69–73, doi : 10.1016/0893-9659(94)90056-6 , MR   1349897 .
• Лам, Кейси; Лауэр, Джозеф (2016), Установленный уровень потока синусоидальной кривой тополога гладкий , arXiv : 1601.02442 , Bibcode : 2016arXiv160102442L
• Лауэр, Джозеф (2013), «Новая оценка длины для потока, сокращающего кривую, и исходных данных низкой регулярности», Geometric and Functional Analysis , 23 (6): 1934–1961, arXiv : 1102.5110 , doi : 10.1007/s00039-013-0248 -1 , МР   3132906 , S2CID   119339054 .
• Лукьянов С.Л.; Витчев, Е.С.; Замолодчиков, А.Б. (2004), «Интегрируемая модель граничного взаимодействия: скрепка», Nuclear Physics B , 683 (3): 423–454, arXiv : hep-th/0312168 , Bibcode : 2004NuPhB.683..423L , doi : 10.1016/j.nuclphysb.2004.02.010 , S2CID   119124585 .
• Мерриман, Барри; Бенс, Джеймс; Ошер, Стэнли (апрель 1992 г.), Движение, вызванное диффузией посредством средней кривизны (PDF) , Отчет CAM 92-18, Департамент математики, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес . Также опубликовано в Тейлор, Джин Э. (1992), Семинар по вычислительному выращиванию кристаллов: материалы семинара Центра геометрии, состоявшегося в Миннеаполисе, Миннесота, 22–28 февраля 1992 г. , Избранные лекции по математике, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 73– 83, ISBN  0-8218-8072-1 , МР   1224451 .
• Микула, Кароль; Шевчович, Дэниел (1999), «Решение эволюции плоских кривых, вызванной нелинейной кривизной», Applied Numerical Mathematics , 31 (2): 191–207, doi : 10.1016/S0168-9274(98)00130-5 , MR   1708959 .
• Микула, Кароль; Шевчович, Дэниел (2001), «Эволюция плоских кривых, обусловленная нелинейной функцией кривизны и анизотропии», SIAM Journal on Applied Mathematics , 61 (5): 1473–1501 (электронный), CiteSeerX   10.1.1.32.1138 , doi : 10.1137/S0036139999359288 , МР   1824511 .
• Минарчик, Иржи; Бенеш, Михал (2020), «Долгосрочное поведение потока, сокращающего кривую в $\mathbb {R} ^{3}$", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 52 (2): 1221–1231, arXiv : 2212.11907 , doi : 10.1137/19M1248522 , MR   4076813 , S2CID   216464044 .
• Мохтарян Ф.; Макворт, А.К. (1992), «Теория многомасштабного представления формы плоских кривых на основе кривизны» (PDF) , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 14 (8): 789–805, doi : 10.1109/34.149591 .
• Маллинз, WW (1956), «Двумерное движение идеализированных границ зерен», Journal of Applied Physics , 27 (8): 900–904, Бибкод : 1956JAP....27..900M , doi : 10.1063/1.1722511 . Перепечатано в Болл, Джон М .; Киндерлерер, Дэвид ; Подио-Гидугли, Пауло; Слемрод, Маршалл, ред. (1999), «Фундаментальный вклад в континуальную теорию развивающихся фазовых границ в твердых телах: сборник переизданий 14 основополагающих статей» , Springer-Verlag, стр. 70–74, doi : 10.1007/978-3-642-59938-5_3 , ISBN  978-3-642-59938-5 .
• Пиковер, Клиффорд А. (1993), «Лавовые лампы в 21 веке», The Visual Computer , 10 (3): 173–177, doi : 10.1007/bf01900906 , S2CID   29417478 .
• Райнс, Фредерик Н.; Крейг, Кеннет Р.; ДеХофф, Роберт Т. (1974), «Механизм устойчивого роста зерен в алюминии», Metallurgical Transactions , 5 (2): 413–425, Бибкод : 1974MT......5..413R , doi : 10.1007 /bf02644109 , S2CID   136991523 .
• Риторе, Мануэль; Синестрари, Карло (2010), «2.2 Поток, сокращающий кривую» , «Поток средней кривизны и изопериметрические неравенства » , Курсы углубленного изучения математики – CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, стр. 72–75, doi : 10.1007/978-3-0346-0213-6_13 , ISBN  978-3-0346-0213-6 .
• Рубинштейн, Джейкоб; Штернберг, Питер; Келлер, Джозеф Б. (1989), «Быстрая реакция, медленная диффузия и сокращение кривой», SIAM Journal on Applied Mathematics , 49 (1): 116–133, doi : 10.1137/0149007 , MR   0978829 .
• Сапиро, Гильермо ; Танненбаум, Аллен (1993), «Аффинное инвариантное масштабное пространство», International Journal of Computer Vision , 11 (1): 25–44, doi : 10.1007/bf01420591 , S2CID   13163111 .
• Шнурер, Оливер К.; Азуани, Абдеррахим; Георгий, Марк; Черт возьми, Джульетта; Джангл, Нихар; Келлер, Амос; Марксен, Тобиас; Ритталер, Сандра; Саес, Мариэль; Шульце, Феликс; Смит, Брайан (2011), «Эволюция сетей в форме выпуклых линз в условиях потока, сокращающего кривую», Transactions of the American Mathematical Society , 363 (5): 2265–2294, arXiv : 0711.1108 , doi : 10.1090/S0002-9947- 2010-04820-2 , МР   2763716 , S2CID   16595310 .
• Скривен, Л.Е. (1960), «Динамика границы раздела жидкостей. Уравнение движения ньютоновских поверхностных жидкостей», Chemical Engineering Science , 12 (2): 98–108, Бибкод : 1960ChEnS..12...98S , doi : 10.1016/ 0009-2509(60)87003-0 .
• Смит, Стивен Л.; Брук, Мирей Э .; Фрэнсис, Брюс А. (2007), «Сокращение кривой и проблема встречи для мобильных автономных роботов», IEEE Transactions on Auto Control , 52 (6): 1154–1159, arXiv : cs/0605070 , doi : 10.1109/tac.2007.899024 , S2CID   574140 .
• Вишняк, Жерар Ю. (1986), «Модели беспорядка и организации клеточных автоматов», в Биненштоке, Э.; Фогельман Сулье, Ф.; Вейсбух, Г. (ред.), Неупорядоченные системы и биологическая организация , Серия NATO ASI, том. 20, Springer-Verlag, стр. 3–20, номер документа : 10.1007/978-3-642-82657-3_1 , ISBN.  978-3-642-82659-7 .
• Уайт, Брайан (1989), «Некоторые последние достижения в дифференциальной геометрии», The Mathematical Intelligencer , 11 (4): 41–47, doi : 10.1007/BF03025885 , MR   1016106 , S2CID   122335761 .
• Уайт, Брайан (2002), «Эволюция кривых и поверхностей посредством средней кривизны», Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Пекин, 2002 г.) , Высшее изд. Press, Пекин, стр. 525–538, arXiv : math/0212407 , Bibcode : 2002math.....12407W , MR   1989203 .
• Ю, Цянь (2014), Некоторые древние решения сокращения кривой , доктор философии. диссертация, Университет Висконсина – Мэдисон, ПроКвест   1641120538 .