Средняя кривизна потока

В области дифференциальной геометрии в математике является поток средней кривизны примером геометрического потока гиперповерхностей ) в римановом многообразии (например, гладких поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве . Интуитивно понятно, что семейство поверхностей развивается при потоке средней кривизны, если нормальная составляющая скорости, с которой движется точка на поверхности, определяется средней кривизной поверхности. Например, круглая сфера развивается под действием потока средней кривизны, равномерно сжимаясь внутрь (поскольку вектор средней кривизны сферы направлен внутрь). За исключением особых случаев, поток средней кривизны имеет особенности .

При условии, что заключенный объем постоянен, это называется поверхностного натяжения потоком .

Это параболическое уравнение в частных производных , которое можно интерпретировать как «сглаживание».

Существование и уникальность

Следующее было показано Майклом Гейджем и Ричардом С. Гамильтоном как применение общей теоремы Гамильтона о существовании параболических геометрических потоков.

Позволять $M$ — компактное гладкое многообразие , пусть $(M',g)$ — полное гладкое риманово многообразие , и пусть $f:M\to M'$ быть плавным погружением . Тогда есть положительное число $T$, который может быть бесконечным, и карта $F:[0,T)\times M\to M'$ со следующими свойствами:

• $F(0,\cdot )=f$
• $F(t,\cdot ):M\to M'$ плавное погружение для любого $t\in [0,T)$
• как $t\searrow 0,$ у одного есть $F(t,\cdot )\to f$ в $C^{\infty }$
• для любого $(t_{0},p)\in (0,T)\times M$, производная кривой $t\mapsto F(t,p)$ в $t_{0}$ равен средней кривизны вектору $F(t_{0},\cdot )$ в $p$.
• если ${\widetilde {F}}:[0,{\widetilde {T}})\times M\to M'$ это любая другая карта с четырьмя указанными выше свойствами, тогда ${\widetilde {T}}\leq T$ и ${\widetilde {F}}(t,p)=F(t,p)$ для любого $(t,p)\in [0,{\widetilde {T}})\times M.$

Обязательно ограничение $F$ к $(0,T)\times M$ является $C^{\infty }$.

Один относится к $F$ как (максимально расширенное) течение средней кривизны с начальными данными $f$.

Выпуклые решения

Следуя эпохальной работе Гамильтона о потоке Риччи в 1982 году , в 1984 году Герхард Хейскен применил те же методы для потока средней кривизны, чтобы получить следующий аналогичный результат:

• Если $(M',g)$ это евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n+1}$, где $n\geq 2$ обозначает размерность $M$, затем $T$ обязательно конечно. Если вторая фундаментальная форма «начального погружения» $f$ строго положительна, то вторая фундаментальная форма погружения $F(t,\cdot )$ также строго положителен для каждого $t\in (0,T)$, и, кроме того, если выбрать функцию $c:(0,T)\to (0,\infty )$ такой, что объем риманова многообразия $(M,(c(t)F(t,\cdot ))^{\ast }g_{\text{Euc}})$ не зависит от $t$, тогда как $t\nearrow T$ погружения $c(t)F(t,\cdot ):M\to \mathbb {R} ^{n+1}$ плавно сходятся к погружению, образ которого в $\mathbb {R} ^{n+1}$ представляет собой круглую сферу.

Обратите внимание, что если $n\geq 2$ и $f:M\to \mathbb {R} ^{n+1}$ является гладким гиперповерхностным погружением, вторая фундаментальная форма которого положительна, то отображение Гаусса $\nu :M\to S^{n}$ является диффеоморфизмом, поэтому с самого начала известно, что $M$ диффеоморфен $S^{n}$ и, исходя из элементарной дифференциальной топологии, все рассмотренные выше погружения являются вложениями.

Гейдж и Гамильтон распространили результат Хьюскена на этот случай $n=1$. Мэтью Грейсон (1987) показал, что если $f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ — любое гладкое вложение, то поток средней кривизны с начальными данными $f$ в конечном итоге состоит исключительно из вложений со строго положительной кривизной, и в этот момент применим результат Гейджа и Гамильтона. В итоге:

• Если $f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ является гладким вложением, то рассмотрим поток средней кривизны $F:[0,T)\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ с исходными данными $f$. Затем $F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ это плавное встраивание для каждого $t\in (0,T)$ и существует $t_{0}\in (0,T)$ такой, что $F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ имеет положительную (внешнюю) кривизну для каждого $t\in (t_{0},T)$. Если выбрать функцию $c$ как в результате Хейскена, тогда как $t\nearrow T$ вложения $c(t)F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ плавно сходятся к вложению, изображением которого является круглый круг.

Свойства

Поток средней кривизны экстремализирует площадь поверхности, а минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны; минимумы решают изопериметрическую задачу.

Для многообразий, вложенных в многообразие Кэлера – Эйнштейна , если поверхность является лагранжевым подмногообразием , поток средней кривизны имеет лагранжев тип, поэтому поверхность развивается в классе лагранжевых подмногообразий.

Формула монотонности Хейскена дает свойство монотонности свертки обращенного во времени теплового ядра с поверхностью, подвергающейся потоку средней кривизны.

Связанные потоки:

• Поток, сокращающий кривую , одномерный случай течения средней кривизны
• поток поверхностного натяжения
• лагранжев поток средней кривизны
• обратный поток средней кривизны

трехмерной

Дифференциальное уравнение течения средней кривизны поверхности: $z=S(x,y)$ дается

${\frac {\partial S}{\partial t}}=2D\ H(x,y){\sqrt {1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}}}$

с $D$ являющаяся константой, связывающей кривизну и скорость нормали к поверхности, исредняя кривизна

${\begin{aligned}H(x,y)&={\frac {1}{2}}{\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

В пределах $\left|{\frac {\partial S}{\partial x}}\right|\ll 1$ и $\left|{\frac {\partial S}{\partial y}}\right|\ll 1$, так что поверхность почти плоская, а ее нормаль почтипараллельно оси z, это сводится к уравнению диффузии

${\frac {\partial S}{\partial t}}=D\ \nabla ^{2}S$

Хотя обычное уравнение диффузии представляет собой линейное параболическое уравнение в частных производных и не развиваетсясингулярности (при движении вперед во времени), поток средней кривизны может иметь сингулярности, поскольку это нелинейное параболическое уравнение. В общем, на поверхность необходимо наложить дополнительные ограничения, чтобы предотвратить сингулярности при потоки средней кривизны.

Всякая гладкая выпуклая поверхность схлопывается в точку под потоком средней кривизны, без других особенностей, и при этом сходится к форме сферы. Для поверхностей размерности два и более это теорема Герхарда Хейскена ; для одномерного потока, сокращающего кривую, это теорема Гейджа – Гамильтона – Грейсона. Однако существуют внедренные поверхности двух или более измерений, кроме сферы, которые остаются самоподобными, поскольку они сжимаются в точку под потоком средней кривизны, включая тор Ангенента .

Пример: поток средней кривизны m -мерных сфер

Простой пример потока средней кривизны представляет собой семейство концентрических круглых гиперсфер в $\mathbb {R} ^{m+1}$. Средняя кривизна $m$-мерная сфера радиуса $R$ является $H=m/R$.

В силу вращательной симметрии сферы (или вообще из-за инвариантности средней кривизны относительно изометрий ) уравнение течения средней кривизны $\partial _{t}F=-H\nu$ сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для исходной сферы радиуса $R_{0}$,

${\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}R(t)&=-{\frac {m}{R(t)}},\\R(0)&=R_{0}.\end{aligned}}$

Решение этого ОДУ (полученное, например, разделением переменных ) имеет вид

$R(t)={\sqrt {R_{0}^{2}-2mt}}$,

который существует для $t\in (-\infty ,R_{0}^{2}/2m)$.

Ссылки

• Экер, Клаус (2004), Теория регулярности для потока средней кривизны , Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, том. 57, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, номер номера : 10.1007/978-0-8176-8210-1 , ISBN.  0-8176-3243-3 , МР   2024995 .
• Мантегацца, Карло (2011), Конспект лекций по потоку средней кривизны , Progress in Mathematics, vol. 290, Базель: Биркхойзер/Шпрингер, номер номера : 10.1007/978-3-0348-0145-4 , ISBN.  978-3-0348-0144-7 2815949 МР   .
• Лу, Конглин; Цао, Ян; Мамфорд, Дэвид (2002), «Эволюция поверхности при кривизне потоков», Журнал визуальной коммуникации и представления изображений , 13 (1–2): 65–81, CiteSeerX   10.1.1.679.6535 , doi : 10.1006/jvci.2001.0476 , S2CID   7341932 . См., в частности, уравнения 3a и 3b.