Герхард Хейскен

Герхард Хейскен
Герхард Хейскен в 2017 году
Рожденный	( 1958-05-20 ) 20 мая 1958 г. Гамбург , Германия
Национальность	немецкий
Альма-матер	Гейдельбергский университет
Известный	Формула монотонности Хейскена
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Австралийский национальный университет Тюбингенский университет Институт гравитационной физики Макса Планка Математический научно-исследовательский институт Обервольфаха
Диссертация	Регулярные капиллярные поверхности в отрицательных гравитационных полях   (1983)
Докторантура	Клаус Герхардт
Докторанты	Бен Эндрюс Саймон Брендл

Герхард Хейскен (родился 20 мая 1958 г.) — немецкий математик , чьи исследования касаются дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Он известен фундаментальным вкладом в теорию потока средней кривизны , включая формулу монотонности Хейскена , названную в его честь. Вместе с Томом Ильманеном он доказал версию риманова неравенства Пенроуза , которое является частным случаем более общей гипотезы Пенроуза в общей теории относительности .

Образование и карьера

После окончания средней школы в 1977 году Хейскен начал изучать математику в Гейдельбергском университете . В 1982 году, через год после получения диплома, он защитил докторскую диссертацию в том же университете под руководством Клауса Герхардта . Темой его диссертации были нелинейные уравнения в частных производных ( Reguläre Kapillarflächen in negaten Gravitationsfeldern ).

С 1983 по 1984 год Хьюскен работал исследователем в Центре математического анализа Австралийского национального университета (ANU) в Канберре. Там он обратился к дифференциальной геометрии , в частности к проблемам потоков средней кривизны и приложениям в общей теории относительности . В 1985 году он вернулся в Гейдельбергский университет, получив степень доктора философии в 1986 году. Через некоторое время в качестве приглашенного профессора в Калифорнийском университете в Сан-Диего он вернулся в АНУ с 1986 по 1992 год, сначала в качестве лектора, затем в качестве преподавателя. Читатель. В 1991 году он был приглашенным профессором в Стэнфордском университете . С 1992 по 2002 год Хейскен был профессором Тюбингенского университета , а с 1996 по 1998 год занимал должность декана математического факультета. С 1999 по 2000 год он был приглашенным профессором Принстонского университета .

В 2002 году Хейскен стал директором Института гравитационной физики Макса Планка (Институт Альберта Эйнштейна) в Потсдаме и одновременно почётным профессором Свободного университета Берлина . В апреле 2013 года он занял пост директора Математического научно-исследовательского института Обервольфаха , а также должность профессора Тюбингенского университета. Он остается внешним научным членом Института гравитационной физики Макса Планка.

В число аспирантов Хьюскена входят Бен Эндрюс и Саймон Брендл , а также еще более двадцати пяти человек.

Работа

Работа Хьюскена посвящена уравнениям в частных производных , дифференциальной геометрии и их приложениям в физике . многочисленные явления математической физики связаны С поверхностями и подмногообразиями и геометрии . Доминирующей темой работ Хьюскена было исследование деформации таких поверхностей в ситуациях, когда правила деформации определяются геометрией самих этих поверхностей. Такие процессы управляются уравнениями в частных производных.

Вклад Хейскена в определение течения средней кривизны особенно фундаментален. Благодаря его работам в значительной степени стало понятно течение средней кривизны гиперповерхностей в различных выпуклых условиях. Его открытие формулы монотонности Хейскена , справедливой для потоков общей средней кривизны, является особенно важным инструментом.

В ходе математического исследования общей теории относительности Хейскен и Том Ильманен ( ETH Zurich ) смогли доказать важный частный случай риманова неравенства Пенроуза . Их метод доказательства также внес решающий вклад в обратный поток средней кривизны . Позже Хьюберт Брэй доказал более общую версию своего результата альтернативными методами. Общая версия гипотезы о черных дырах или видимых горизонтах в лоренцевой геометрии все еще остается открытой проблемой (по состоянию на 2020 год).

Риччи Флоу

Хьюскен был одним из первых авторов, рассмотревших Ричарда Гамильтона работу о потоке Риччи в более высоких измерениях. В 1985 году Хьюскен опубликовал версию анализа Гамильтона в произвольных измерениях, в которой предположение Гамильтона о положительности кривизны Риччи заменяется количественной близостью к постоянной кривизне . ^[Н85] Это измеряется с точки зрения разложения Риччи . Почти все основные оценки Гамильтона, особенно оценка градиента скалярной кривизны и оценка сжатия собственных значений , были помещены Хьюскеном в контекст общих измерений.

Несколько лет спустя справедливость теорем Хейскена о сходимости была распространена на более широкие условия кривизны с помощью новых алгебраических идей Кристофа Бема и Буркхарда Вилкинга. В рамках основного применения работы Бема и Уилкинга Брендл и Ричард Шон установили новую теорему сходимости для потока Риччи, содержащую давно выдвигаемую гипотезу о дифференцируемой сфере как частный случай.

Поток средней кривизны

известен своей основополагающей работой по потоку средней кривизны гиперповерхностей Хейскен широко . В 1984 году он адаптировал основополагающую работу Гамильтона о потоке Риччи к условиям потока средней кривизны, доказав, что нормализация потока, сохраняющая площадь поверхности, деформирует любую гладкую замкнутую выпуклую гиперповерхность евклидова пространства в круглую сферу. ^[Н84] Основное различие между его работой и работой Гамильтона состоит в том, что, в отличие от работы Гамильтона, соответствующее уравнение в доказательстве «оценки сжатия» не подчиняется принципу максимума . Вместо этого Хуйскен использовал итерационные интегральные методы, следуя более ранним работам аналитиков Эннио Де Джорджи и Гвидо Стампаккья . По аналогии с результатом Гамильтона, результаты Хьюскена можно рассматривать как доказательство того, что любая гладкая замкнутая выпуклая гиперповерхность евклидова пространства диффеоморфна сфере и является границей области, диффеоморфной шару. Однако оба эти результата элементарны при анализе карты Гаусса .

Позже Хьюскен расширил вычисления в своем доказательстве, включив в него гиперповерхности в общих римановых многообразиях . ^[Н86] Его результат гласит, что если гиперповерхность достаточно выпукла относительно геометрии риманова многообразия, то поток средней кривизны сожмет ее в точку, и что нормализация площади поверхности в геодезических нормальных координатах приведет к плавной деформации сферы. в евклидовом пространстве (представленном координатами). Это показывает, что такие гиперповерхности диффеоморфны сфере и что они являются границей области риманова многообразия, диффеоморфной шару. В этой общности не существует простого доказательства с использованием отображения Гаусса.

В 1987 году Хьюскен адаптировал свои методы для рассмотрения альтернативного потока, движимого «средней кривизной», для замкнутых гиперповерхностей в евклидовом пространстве, в котором объем, заключенный поверхностью, остается постоянным; результат прямо аналогичный. ^[Н87] Позже, в сотрудничестве с Шинг-Тунг Яу , эта работа была распространена на римановы условия. ^[HY96] Соответствующий результат существования и сходимости Хейскена-Яу иллюстрирует геометрическое явление многообразий с положительной массой ADM , а именно то, что они расслоены поверхностями постоянной средней кривизны . Получив соответствующий результат о единственности, они интерпретировали это слоение как меру центра масс в общей теории относительности .

Следуя за работой Йошиказу Гиги и Роберта Кона , в которых широко использовалась энергия Дирихле , взвешенная по экспоненте, Хьюскен в 1990 году доказал интегральное тождество, известное как формула монотонности Хейскена , которое показывает, что при потоке средней кривизны интеграл назад» Евклидово тепловое ядро ​​над развивающейся гиперповерхностью всегда не возрастает. ^[H90] Позже он расширил свою формулу, чтобы учесть общую коразмерность и общие положительные решения «обратного» уравнения теплопроводности ; монотонность в этой общности в решающей степени использует Ричарда Гамильтона . матричную оценку Ли – Яу ^[H93] Расширение римановой ситуации было также дано Гамильтоном. Идеи Хьюскена и Гамильтона были позже адаптированы Григорием Перельманом для постановки «обратного» уравнения теплопроводности для объемных форм вдоль потока Риччи .

Хьюскен и Клаус Эккер неоднократно использовали результат монотонности, чтобы показать, что для определенного класса некомпактных графических гиперповерхностей в евклидовом пространстве поток средней кривизны существует в течение всего положительного времени и деформирует любую поверхность в классе до саморасширяющегося решения поток средней кривизны. ^[EH89] Такое решение движется только за счет постоянного изменения масштаба одной гиперповерхности. Используя методы принципа максимума , они также смогли получить чисто локальные оценки производных, примерно параллельные тем, которые ранее были получены Ван-Сюн Ши для потока Риччи. ^[EH91]

Учитывая сингулярность потока средней кривизны за конечное время, существует несколько способов выполнить микроскопические изменения масштаба для анализа локальной геометрии в областях вблизи точек большой кривизны . Основываясь на своей формуле монотонности, Хьюскен показал, что многие из этих областей, особенно те, которые известны как особенности типа I , точно моделируются самосжимающимися решениями потока средней кривизны. ^[H90]

Теперь существует достаточно полное понимание процесса изменения масштаба в условиях потоков средней кривизны, которые включают только гиперповерхности, средняя кривизна которых строго положительна. Следуя предварительной работе Хьюскена, Тобиас Колдинг и Уильям Миникоцци показали, что (при некоторых технических условиях) единственными самосужающимися решениями потока средней кривизны, которые имеют неотрицательную среднюю кривизну, являются круглые цилиндры, что дает полную локальную картину типа I. особенности в «средне-выпуклой» постановке. ^{[H90] [H93]} В случае других сингулярных областей, известных как особенности типа II , Ричард Гамильтон разработал методы изменения масштаба в условиях потока Риччи, которые можно перенести в поток средней кривизны. Модифицировав интегральные методы, разработанные им в 1984 году, Хьюскен и Карло Синестрари провели тщательное индуктивное рассуждение об элементарных симметричных полиномах второй фундаментальной формы, чтобы показать, что любая модель сингулярности, возникающая в результате такого изменения масштаба, должна быть потоком средней кривизны, который движется путем перемещения единственная выпуклая гиперповерхность в некотором направлении. ^{[HSS99a] [HS99b]} Этот переход от средней выпуклости к полной выпуклости сравним с гораздо более простой оценкой Гамильтона – Айви для потока Риччи, которая гласит, что любая модель особенностей потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии должна иметь неотрицательную секционную кривизну .

поток

В 1970-х годах физики Роберт Героч , Понг-Су Джанг и Роберт Уолд разработали идеи, связывающие асимптотическое поведение потока обратной средней кривизны с справедливостью гипотезы Пенроуза, которая связывает энергию асимптотически плоского пространства-времени с размером черные дыры, которые он содержит. Это можно рассматривать как уточнение или количественную оценку теоремы о положительной энергии , которая обеспечивает более слабое утверждение о том, что энергия неотрицательна.

В 1990-х годах Юн Ган Чен, Ёсикадзу Гига и Шуничи Гото, а также независимо Лоуренс Эванс и Джоэл Спрук разработали теорию слабых решений для потока средней кривизны, рассматривая множества уровней решений определенного эллиптического уравнения в частных производных . Том Ильманен добился прогресса в понимании теории таких эллиптических уравнений посредством аппроксимации эллиптическими уравнениями более стандартного характера. Хейскен и Ильманен смогли адаптировать эти методы к потоку обратной средней кривизны, тем самым сделав методологию Героха, Янга и Вальда математически точной. Их результат касается некомпактных трехмерных римановых многообразий с границей неотрицательной скалярной кривизны , граница которых минимальна , что связывает геометрию вблизи бесконечности с площадью поверхности наибольшего граничного компонента. ^[HI01] Хьюберт Брей , используя теорему о положительной массе вместо обратного потока средней кривизны, смог улучшить неравенство Хейскена и Ильманена, включив в него общую площадь поверхности границы.

Почести и награды

Хейскен — член Гейдельбергской академии наук и гуманитарных наук , Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук , Академии наук Леопольдина и Американского математического общества .

• 1991: Медаль Австралийского математического общества.
• 1998: приглашенный докладчик на Международном конгрессе математиков.
• 2002: Лекция Гаусса Немецкого математического общества.
• 2003: Премия Готфрида Вильгельма Лейбница

Основные публикации

Х84.

Хейскен, Герхард (1984). «Течение средней кривизны выпуклых поверхностей в сферы» (PDF) . Журнал дифференциальной геометрии . 20 (1): 237–266. дои : 10.4310/jdg/1214438998 . МР   0772132 . Збл   0556.53001 .

Х85.

Хейскен, Герхард (1985). «Деформация Риччи метрики на римановом многообразии» . Журнал дифференциальной геометрии . 21 (1): 47–62. дои : 10.4310/jdg/1214439463 . МР   0806701 . Збл   0606.53026 .

Х86.

Хейскен, Герхард (1986). «Сжатие выпуклых гиперповерхностей в римановых многообразиях посредством их средней кривизны». Математические изобретения . 84 (3): 463–480. Бибкод : 1986InMat..84..463H . дои : 10.1007/BF01388742 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-592E-F . МР   0837523 . S2CID   55451410 . Збл   0589.53058 .

Х87.

Хейскен, Герхард (1987). «Сохранение объема означает кривизну потока». Журнал чистой и прикладной математики . 1987 (382): 35–48. дои : 10.1515/crll.1987.382.35 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5DAA-8 . МР   0921165 . S2CID   118368038 . Збл   0621.53007 .

ЕН89.

Экер, Клаус; Хейскен, Герхард (1989). «Эволюция средней кривизны целых графиков». Анналы математики . Вторая серия. 130 (3): 453–471. дои : 10.2307/1971452 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5D0F-6 . JSTOR   1971452 . МР   1025164 . Збл   0696.53036 .

Х89.

Хейскен, Герхард (1989). «Непараметрическая эволюция средней кривизны с граничными условиями» . Журнал дифференциальных уравнений . 77 (2): 369–378. Бибкод : 1989JDE....77..369H . дои : 10.1016/0022-0396(89)90149-6 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5D38-6 . МР   0983300 . Збл   0686.34013 .

Х90.

Хейскен, Герхард (1990). «Асимптотика особенностей течения средней кривизны» . Журнал дифференциальной геометрии . 31 (1): 285–299. дои : 10.4310/jdg/1214444099 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CFE-3 . МР   1030675 . Збл   0694.53005 .

ЕН91.

Экер, Клаус; Хейскен, Герхард (1991). «Внутренние оценки гиперповерхностей, движущихся по средней кривизне». Математические изобретения . 105 (3): 547–569. Бибкод : 1991InMat.105..547E . дои : 10.1007/BF01232278 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5CAC-A . МР   1117150 . S2CID   122642136 . Збл   0707.53008 .

Х93.

Хейскен, Герхард (1993). «Локальное и глобальное поведение гиперповерхностей, движущихся по средней кривизне». В Грине, Роберт ; Яу, С.Т. (ред.). Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях . Летний институт дифференциальной геометрии Американского математического общества (Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, 9–27 июля 1990 г.). Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 175–191. дои : 10.1090/pspum/054.1 . ISBN  9780821814949 . МР   1216584 . Збл   0791.58090 .

HY96.

Хейскен, Герхард; Яу, Шинг-Тунг (1996). «Определение центра масс изолированных физических систем и уникальных слоений устойчивыми сферами с постоянной средней кривизной». Математические изобретения . 124 (1–3): 281–311. Бибкод : 1996InMat.124..281H . дои : 10.1007/s002220050054 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5B63-3 . МР   1369419 . S2CID   122669931 . Збл   0858.53071 .

ХП99.

Хейскен, Герхард; Полден, Александр (1999). «Геометрические уравнения эволюции гиперповерхностей». В Хильдебрандте, С.; Струве, М. (ред.). Вариационное исчисление и задачи геометрической эволюции . Вторая сессия Centro Internazionale Matematico Estivo (Четраро, Италия, 15–22 июня 1996 г.). Конспект лекций по математике . Том. 1713. Берлин: Шпрингер . стр. 45–84. дои : 10.1007/BFb0092667 . ISBN  978-3-540-65977-8 . МР   1731639 . Збл   0942.35047 .

ХС99а.

Хейскен, Герхард; Синестрари, Карло (1999). «Особенности потока средней кривизны для средних выпуклых поверхностей». Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . 8 (1): 1–14. дои : 10.1007/s005260050113 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5853-1 . МР   1666878 . S2CID   1692710 . Збл   0992.53052 .

ХС99б.

Хейскен, Герхард; Синестрари, Карло (1999). «Оценки выпуклости потока средней кривизны и особенности средних выпуклых поверхностей» . Акта Математика . 183 (1): 45–70. дои : 10.1007/BF02392946 . МР   1719551 . Збл   0992.53051 .

HI01.

Хейскен, Герхард; Ильманен, Том (2001). «Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза» . Журнал дифференциальной геометрии . 59 (3): 353–437. дои : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . МР   1916951 . Збл   1055.53052 .

Внешние ссылки

• Laudatio на премию Лейбница
• Страница Хейскена в MPI гравитационной физики , Гольм Потсдам (английский)