Поверхность постоянной средней кривизны

Нодоид, поверхность с постоянной средней кривизной.

Ундулоид - поверхность с постоянной средней кривизной.

В дифференциальной геометрии поверхности постоянной средней кривизны (CMC) — это поверхности с постоянной средней кривизной . Сюда входят минимальные поверхности как подмножество, но обычно они рассматриваются как особый случай.

Обратите внимание, что эти поверхности в целом отличаются от поверхностей постоянной гауссовой кривизны , за важным исключением сферы .

История

В 1841 году Делоне доказал, что единственными поверхностями вращения с постоянной средней кривизной являются поверхности, полученные вращением рулеток с кониками. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид , ундулоид и нодоид .

В 1853 г. Джелле показал, что если $S$ представляет собой компактную звездообразную поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной средней кривизной, то это стандартная сфера. Впоследствии А. Д. Александров доказал, что компактная вложенная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной средней кривизной $H\neq 0$ должна быть сфера, и Х. Хопф доказали, что сфера, погруженная в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной средней кривизной $H\neq 0$ должна быть стандартной сферой. На основании этого Х. Хопф в 1956 г. предположил, что любая погруженная компактная ориентируемая гиперповерхность постоянной средней кривизны в $\mathbb {R} ^{n}$должен быть стандартным встроенным $n-1$ сфера. Эта гипотеза была опровергнута в 1982 году У И Сяном с помощью контрпримера в $\mathbb {R} ^{4}$. В 1984 году Генри К. Венте построил тор Венте , погружение в $\mathbb {R} ^{3}$ тора . постоянной средней кривизны

До этого момента казалось, что поверхности CMC встречаются редко. Используя технику склеивания, в 1987 году Николаос Капулеас построил множество примеров полностью погруженных поверхностей из КМЦ в $\mathbb {R} ^{3}$ с большинством топологических типов и как минимум с двумя концами. Впоследствии Капулеас построил компактные поверхности CMC в $\mathbb {R} ^{3}$ причем каждый род больше одного. В частности, методы склеивания позволяют довольно произвольно комбинировать поверхности КМЦ. Поверхности Делоне также можно комбинировать с погруженными «пузырями», сохраняя при этом их свойства КМЦ.

Одинаковые размеры шеи

Неравные размеры шеи

С узловатым концом

Триундулоиды с разными размерами шеи. При изменении размеров шейки изменяются асимптотические направления.

Микс показал, что не существует встроенных поверхностей CMC, у которых был бы только один конец. $\mathbb {R} ^{3}$. Кореваар, Куснер и Соломон доказали, что полная вложенная поверхность CMC будет иметь концы, асимптотические по отношению к ондулоидам. Каждый конец несет $n(2\pi -n)$ «сила» вдоль асимптотической оси ундулоида (где n — окружность перешейков), сумма которых должна быть сбалансирована, чтобы поверхность существовала. Текущая работа включает классификацию семейств вложенных поверхностей CMC с точки зрения их пространств модулей . В частности, для $k\geq 3$ копланарные k -ундулоиды рода 0 удовлетворяют $\sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq (k-1)\pi$ для нечетного k и $\sum _{i=1}^{k}n_{i}\leq k\pi$ для четного k . Не более k − 2 концов могут быть цилиндрическими.

Методы генерации

Формула представления

Как и в случае с минимальными поверхностями, здесь существует тесная связь с гармоническими функциями. Ориентированная поверхность $S$ в $\mathbb {R} ^{3}$ имеет постоянную среднюю кривизну тогда и только тогда, когда ее отображение Гаусса является гармоническим . Формула представления Кенмоцу является аналогом параметризации Вейерштрасса – Эннепера минимальных поверхностей:

Позволять $V$ быть открытым односвязным подмножеством $\mathbb {C}$ и $H$ быть произвольной ненулевой вещественной константой. Предполагать $\phi :V\rightarrow \mathbb {C}$ — гармоническая функция в сфере Римана. Если $\phi _{\bar {z}}\neq 0$ затем $X:V\rightarrow R$ определяется

$X(z)=\Re \int _{z_{0}}^{z}X_{z}(z')\,dz'$

с

$X_{z}(z)={\frac {-1}{H(1+\phi (z){\bar {\phi }}(z))^{2}}}\left\{(1-\phi (z)^{2},i(1+\phi (z)^{2}),2\phi (z)){\frac {\bar {\partial \phi }}{\partial {\bar {z}}}}(z)\right\}$

для $z\in V$ представляет собой регулярную поверхность, имеющую $\phi$ как карта Гаусса и средняя кривизна $H$.

Для $\phi (z)=-1/{\bar {z}}$ и $H=1$ это создает сферу. $\phi (z)=-e^{ix}$ и $H=1/2$ дает цилиндр, где $z=x+iv$.

Метод сопряженного кузена

Лоусон показал в 1970 году, что каждая поверхность CMC $\mathbb {R} ^{3}$имеет изометрическую «двоюродную» минимальную поверхность в $\mathbb {S} ^{3}$. Это позволяет строить конструкции, начиная с геодезических многоугольников в $\mathbb {S} ^{3}$, которые охватываются минимальным участком, который можно расширить до полной поверхности путем отражения, а затем превратить в поверхность CMC.

CMC Тори

Хитчин, Пинкал , Стерлинг и Бобенко показали, что все погружения 2-тора постоянной средней кривизны в пространство образуют $\mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}$ и $\mathbb {H} ^{3}$ можно описать чисто алгебро-геометрическими данными. Это можно распространить на подмножество погружений CMC плоскости, имеющих конечный тип. Точнее, существует явная биекция между погружениями CMC $\mathbb {R} ^{2}$ в $\mathbb {R} ^{3},\mathbb {S} ^{3}$ и $\mathbb {H} ^{3}$, и спектральные данные вида $(\Sigma ,\lambda ,\rho ,\lambda _{1},\lambda _{2},L)$ где $\Sigma$ является гиперэллиптической кривой, называемой спектральной кривой, $\lambda$ является мероморфной функцией на $\Sigma$, $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ точки на $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, $\rho$ является антиголоморфной инволюцией и $L$ это линейный пучок на $\Sigma$ подчиняясь определенным условиям.

Дискретные численные методы

Дискретная дифференциальная геометрия может использоваться для получения аппроксимации поверхностей CMC (или дискретных аналогов), обычно путем минимизации подходящего функционала энергии.

Приложения

Поверхности КМК естественны для изображений мыльных пузырей , поскольку имеют кривизну, соответствующую ненулевой разности давлений .

Помимо макроскопических поверхностей пузырьков, поверхности КМК важны для формы границы раздела газ-жидкость на супергидрофобной поверхности.

Как и трижды периодические минимальные поверхности, периодические поверхности КМЦ вызывают интерес как модели блок-сополимеров , где различные компоненты имеют ненулевую межфазную энергию или натяжение. Были построены аналоги периодических минимальных поверхностей CMC, образующие неравные разбиения пространства. Структуры КМЦ наблюдались в триблок-сополимерах ABC.

В архитектуре поверхности CMC актуальны для воздухоопорных конструкций, таких как надувные купола и ограждения, а также являются источником плавных органических форм.

См. также

• Гипотеза о двойном пузыре
• Свободная поверхность
• Минимальная поверхность

Внешние ссылки

• Поверхности CMC в Проекте научной графики [10]
• Галерея поверхностей GeometrieWerkstatt [11]
• GANG галерея поверхностей CMC [12]
• Noid, программа для расчета n- ноидных поверхностей CMC [13]