Ундулоид

В геометрии ундулоид по фиксированной , или , — это поверхность с постоянной ненулевой средней кривизной, полученная как поверхность вращения эллиптической цепной линии : то есть путем прокатки эллипса ондулоид линии, отслеживания фокуса и вращения полученной кривой вокруг линия. В 1841 году Делоне доказал, что единственными поверхностями вращения с постоянной средней кривизной являются поверхности, полученные вращением рулеток коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид , ундулоид и нодоид . ^{[ 1 ]}

Формула

Позволять $\operatorname {sn} (u,k)$ представляют собой нормальную синусоидальную функцию Якоби и $\operatorname {dn} (u,k)$ — нормальная эллиптическая функция Якоби и пусть $\operatorname {F} (z,k)$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и $\operatorname {E} (z,k)$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a эллипса — длина большой оси , а e — эксцентриситет эллипса. Пусть k — фиксированное значение от 0 до 1, называемое модулем.

Учитывая эти переменные,

\operatorname {x} (u)=-a(1-e)(\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a(1+e)(\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,

\operatorname {y} (u)=a(1+e)\operatorname {dn} (u,k)\,

Тогда формула для поверхности вращения, которая является ундулоидом, будет равна

\operatorname {X} (u,v)=\langle \operatorname {x} (u),\operatorname {y} (u)\cos(v),\operatorname {y} (u)\sin(v)\rangle \,

Характеристики

Одним из интересных свойств ундулоида является то, что средняя кривизна постоянна. Фактически, средняя кривизна по всей поверхности всегда обратна удвоенной длине главной оси: 1/(2a ) .

Кроме того, геодезические на ондулоиде подчиняются соотношению Клеро , и поэтому их поведение предсказуемо.

Встреча в материаловедении

Ундулоиды не являются распространенным явлением в природе. Однако есть несколько обстоятельств, при которых они образуются. Впервые зарегистрировано в 1970 году, прохождение сильного электрического тока через тонкую (0,16–1,0 мм), горизонтально установленную, твердотянутую (незакаленную ) серебряную проволоку приводит к образованию ондулоидов по ее длине. ^{[ 2 ]} Позже было обнаружено, что это явление наблюдается и в молибденовой проволоке. ^{[ 3 ]} Ундулоиды также образуются с помощью феррожидкостей . ^{[ 4 ]} Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый пленкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра.

Ссылки

^ Делоне, Ш. (1841). «На поверхности вращения, средняя кривизна которой постоянна» . Журнал чистой и прикладной математики . 6 :309–314.
^ Липски, Т.; Фурдал, А. (1970), «Новые наблюдения за образованием ондулоидов на проводах» , Труды Института инженеров-электриков , 117 (12): 2311-2314, doi : 10.1049/piee.1970.0425
^ «Периодические видео, взрывающиеся провода» на YouTube
^ Вайднер, DE (2017), «Формирование капель в магнитной жидкости, покрывающей горизонтальный цилиндр, по которому течет осевой электрический ток» , Physics of Fluids , 29 (5): 052103, doi : 10.1063/1.4982618

[1] Делоне, Ш. (1841). «На поверхности вращения, средняя кривизна которой постоянна» . Журнал чистой и прикладной математики . 6 :309–314.

[2] Липски, Т.; Фурдал, А. (1970), «Новые наблюдения за образованием ондулоидов на проводах» , Труды Института инженеров-электриков , 117 (12): 2311-2314, doi : 10.1049/piee.1970.0425

[3] «Периодические видео, взрывающиеся провода» на YouTube

[4] Вайднер, DE (2017), «Формирование капель в магнитной жидкости, покрывающей горизонтальный цилиндр, по которому течет осевой электрический ток» , Physics of Fluids , 29 (5): 052103, doi : 10.1063/1.4982618

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]