Поверхность революции

Часть кривой x = 2 + cos( z ) повернута вокруг z . оси

Тор как квадрат вращался вокруг оси по диагонали квадрата.

Поверхность вращения — это поверхность в евклидовом пространстве, ( образующей ) созданная вращением кривой на один полный оборот вокруг оси вращения (обычно не пересекающей образующую, за исключением ее конечных точек). Объем, ограниченный поверхностью, созданной этим вращением, является телом вращения .

Примерами поверхностей вращения, образуемых прямой линией, являются цилиндрические и конические поверхности в зависимости от того, параллельна ли линия оси или нет. Круг, вращающийся вокруг любого диаметра, порождает сферу, в которой он тогда является большим кругом , а если круг вращается вокруг оси, которая не пересекает внутреннюю часть круга, то он порождает тор, который не пересекает сам себя ( кольцевой тор ).

Свойства

Сечения поверхности вращения, выполненные плоскостями, проходящими через ось, называются меридиональными сечениями . Любое меридиональное сечение можно рассматривать как образующую в плоскости, определяемой им и осью.

Сечения поверхности вращения, образованные плоскостями, перпендикулярными оси, представляют собой окружности.

Некоторые частные случаи гиперболоидов (одно- или двухлистных) и эллиптических параболоидов представляют собой поверхности вращения. Их можно определить как квадратичные поверхности, все сечения которых , перпендикулярные оси, являются круглыми.

Формула площади

Если кривая описывается параметрическими функциями x ( t ) , y ( t ) , где t находится в пределах некоторого интервала [ a , b ] , а ось вращения — это ось y , то площадь поверхности A _y задается интегралом ​

$$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$$

при условии, что x ( t ) никогда не бывает отрицательным между конечными точками a и b . Эта формула является эквивалентом теоремы Паппа о центроиде . Количество

$${\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}$$

происходит из теоремы Пифагора и представляет собой небольшой сегмент дуги кривой, как в формуле длины дуги . Величина 2π x ( t ) — это путь (центр тяжести) этого небольшого отрезка, как того требует теорема Паппа.

Аналогично, когда осью вращения является ось x и при условии, что y ( t ) никогда не бывает отрицательным, площадь определяется выражением

$$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$$

Если непрерывная кривая описывается функцией y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b , то интеграл принимает вид

$$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx$$

для вращения вокруг оси x , и

$$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$$

для вращения вокруг оси y (при условии a ≥ 0 ). Они берутся из приведенной выше формулы.

Это также может быть получено путем многовариантной интеграции. Если плоская кривая задана формулой $\langle x(t),y(t)\rangle$ тогда его соответствующая поверхность вращения при вращении вокруг оси x имеет декартовы координаты, определяемые выражением $\mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle$ с $0\leq \theta \leq 2\pi$. Тогда площадь поверхности определяется поверхностным интегралом

$$A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.$$

Вычисление результатов частных производных

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,$$

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle$$

и вычисляем перекрестного произведения доходность

$${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle$$

где тригонометрическое тождество $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ был использован. Используя это векторное произведение, мы получаем

$${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}$$

где снова использовалось то же тригонометрическое тождество. Вывод для поверхности, полученной вращением вокруг оси y, аналогичен.

Например, сферическая поверхность с единичным радиусом генерируется кривой y ( t ) = sin( t ) , x ( t ) = cos( t ) , когда t находится в пределах [0,π] . Следовательно, его площадь

$${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}$$

Для случая сферической кривой радиуса y r ( x ) = √ r ² − х ² повернут вокруг x оси

$${\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}$$

Минимальная поверхность вращения — это поверхность вращения кривой между двумя заданными точками, которая минимизирует площадь поверхности . Основная проблема вариационного исчисления — найти кривую между двумя точками, которая образует минимальную поверхность вращения.

Существует только две минимальные поверхности вращения ( поверхности вращения , которые также являются минимальными поверхностями): плоскость и катеноид .

Координатные выражения

Поверхность вращения, заданная вращением кривой, описываемой формулой $y=f(x)$ вокруг оси x проще всего описать формулой $y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}$. Это дает параметризацию в терминах $x$ и $\theta$ как $(x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))$. Если вместо этого мы вращаем кривую вокруг оси Y, то кривая описывается выражением $y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})$, что дает выражение $(x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))$ по параметрам $x$ и $\theta$.

Если x и y определены через параметр $t$, то мы получим параметризацию в терминах $t$ и $\theta$. Если $x$ и $y$ являются функциями $t$, то поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси x, описывается выражением $(x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))$, а поверхность вращения, полученная вращением кривой вокруг оси y, описывается выражением $(x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))$.

Геодезика

Меридианы всегда являются геодезическими на поверхности вращения. Другие геодезические подчиняются соотношению Клеро .

Тороиды

Основная статья: Тороид

Тороид, созданный из квадрата

Поверхность вращения с отверстием, ось вращения которого не пересекает поверхность, называется тороидом. Например, если прямоугольник повернуть вокруг оси, параллельной одному из его краев, получится полое кольцо квадратного сечения. Если вращающаяся фигура представляет собой круг , то объект называется тором .

См. также

• Поверхность канала , обобщение поверхности вращения.
• Рог Габриэля
• Обобщенный геликоид
• Лимон (геометрия) , поверхность вращения дуги окружности
• Поверхность Лиувилля , еще одно обобщение поверхности вращения.
• Сфероид
• Поверхностный интеграл
• Поверхность перевода (дифференциальная геометрия)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность революции» . Математический мир .
• «Поверхность революции» . Энциклопедия замечательных математических форм (на французском языке).