Поверхность перевода (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии поверхность переноса — это поверхность , возникающая в результате смещения:

Для двух пространственных кривых $c_{1},c_{2}$ с общей точкой $P$ , кривая $c_{1}$ сдвинута так, что точка $P$ движется дальше $c_{2}$ . По этой процедуре кривая $c_{1}$ генерирует поверхность: поверхность перевода .

Если обе кривые содержатся в общей плоскости, поверхность переноса плоская (часть плоскости). Этот случай обычно игнорируется.

эллипт. параболоид, парабол. цилиндр, гипербола. параболоид как поверхность перемещения

поверхность перевода: образующие кривые представляют собой синусоидальную дугу и дугу параболы.

Смещение горизонтального круга по спирали

Простые примеры :

Правый круглый цилиндр : $c_{1}$ представляет собой круг (или другое поперечное сечение) и $c_{2}$ это линия.
Эллиптический параболоид $\;z=x^{2}+y^{2}\;$ может быть сгенерировано $\ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\$ и $\ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\$ (обе кривые являются параболами ).
Гиперболический параболоид $z=x^{2}-y^{2}$ может быть сгенерировано $c_{1}:(x,0,x^{2})$ (парабола) и $c_{2}:(0,y,-y^{2})$ (разомкнутая вниз парабола).

Поверхности перемещения популярны в начертательной геометрии. ^[1]^[2] и архитектура, ^[3] потому что их можно легко смоделировать.
В дифференциальной геометрии минимальные поверхности представлены поверхностями перемещения или поверхностями средней хорды (см. ниже). ^[4]

Поверхности перемещения, определенные здесь, не следует путать с поверхностями перемещения в сложной геометрии .

Параметрическое представление

Для двух пространственных кривых $\ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\$ и $\ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\$ с $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}$ поверхность перевода $\Phi$ может быть представлено: ^[5]

(ТС)

\quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;

и содержит источник. Очевидно, это определение симметрично относительно кривых $c_{1}$ и $c_{2}$ . Поэтому обе кривые называются образующими (одна: образующая ). Любая точка $X$ поверхности содержится в сдвинутой копии $c_{1}$ и $c_{2}$ соотв.. Касательная плоскость при $X$ порождается касательными векторами образующих в этой точке, если эти векторы линейно независимы .

Если предварительное условие $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}$ не выполняется, поверхность, определяемая (TS), может не содержать начало координат и кривые $c_{1},c_{2}$ . Но в любом случае на поверхности имеются сдвинутые копии любой из кривых. $c_{1},c_{2}$ как параметрические кривые ${\vec {x}}(u_{0},v)$ и ${\vec {x}}(u,v_{0})$ соответственно.

Две кривые $c_{1},c_{2}$ может быть использован для создания так называемой соответствующей поверхности средней хорды . Его параметрическое представление

(МКС)

\quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.

Геликоид как поверхность перемещения и поверхность средней хорды

Геликоид как поверхность перемещения с одинаковыми образующими $c_{1},c_{2}$

Геликоид как поверхность перемещения: любая параметрическая кривая представляет собой сдвинутую копию фиолетовой спирали.

Геликоид — частный случай обобщенного геликоида и линейчатой поверхности . Это пример минимальной поверхности , который можно представить как поверхность перемещения.

Геликоид с параметрическим представлением

{\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)

имеет смену (нем. Ganghöhe) $2\pi k$ . Представляем новые параметры $\alpha ,\varphi$ ^[6] такой, что

u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}

и $a$ положительное действительное число, мы получаем новое параметрическое представление

${\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)$

=(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,

которое является параметрическим представлением поверхности трансляции с двумя одинаковыми (!) образующими

c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad

и

c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .

Общая точка, используемая для диаграммы, — это $P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)$ .(Идентичные) образующие представляют собой спирали со сдвигом поворота. $k\pi \;,$ лежащие на цилиндре с уравнением $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$ . Любая параметрическая кривая представляет собой сдвинутую копию образующей. $c_{1}$ (на схеме: фиолетовый) и содержится в правом круглом цилиндре радиусом $a$ , который содержит ось z .

Новое параметрическое представление представляет только те точки геликоида, которые находятся внутри цилиндра с уравнением $x^{2}+y^{2}=4a^{2}$ .

Геликоид как поверхность средней хорды двух одинаковых образующих (зеленая спираль).

Из нового параметрического представления становится понятно, что геликоид также является поверхностью средней хорды:

{\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}

где

d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad

и

d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad

две одинаковые образующие.

На схеме: $P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})$ лежит на спирали $d_{1}$ и $P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})$ на (идентичной) спирали $d_{2}$ . Середина аккорда находится $\ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\$ .

Преимущества переводной поверхности

Архитектура

Поверхность (например, крышу) можно изготовить с помощью шаблона для изгиба. $c_{2}$ и несколько одинаковых приспособлений кривой $c_{1}$ . Приспособления можно сконструировать без каких-либо знаний математики. При размещении приспособлений необходимо соблюдать только правила перемещения поверхности.

Начертательная геометрия

Устанавливая параллельную проекцию поверхности трансляции, нужно 1) построить проекции двух образующих, 2) изготовить шаблон кривой $c_{1}$ и 3) нарисовать с помощью этого шаблона копии кривой, соблюдая правила поверхности перевода. Контур поверхности — это огибающая кривых, нарисованных шаблоном. Эта процедура работает для ортогональных и косых проекций, но не для центральных проекций .

Дифференциальная геометрия

Для поверхности перевода с параметрическим представлением ${\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;$ частные производные ${\vec {x}}(u,v)$ являются простыми производными кривых. Следовательно, смешанные производные всегда $0$ и коэффициент $M$ второй фундаментальной формы $0$ , слишком. Это существенно облегчает задачу показать, что (например) геликоид является минимальной поверхностью.

Ссылки

^ Х. Браунер: Учебник конструктивной геометрии , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709187788 , 9783709187784, с. 236
^ Фриц Хоэнберг: Конструктивная геометрия в технологии , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488 , 9783709181485, с. 208
^ Ганс Шобер: Прозрачные оболочки: форма, топология, опорная структура , John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X , 9783433605981, С. 74
^ Вильгельм Блашке, Курт Райдемайстер: Лекции по дифференциальной геометрии и геометрическим основам теории относительности Эйнштейна II: Аффинная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 364247392X , 9783642473920, с. 94
^ Эрвин Круппа: Аналитическая и конструктивная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673 , 9783709178676, с. 45
^ JCC Nitsche: Лекции по минимальным поверхностям , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196 , 9783642656194, с. 59

Ж. Дарбу: Уроки общей теории поверхностей и ее геометрических приложений исчисления бесконечно малых , 1–4, Челси, переиздание, 972, стр. Разделы. 81–84, 218
Георг Глезер: Геометрия и ее применение в искусстве, природе и технике , Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X , с. 259
В. Хаак: Элементарная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , с. 140
К. Леопольд: Геометрические основы архитектурного изображения. Кольхаммер Верлаг , Штутгарт, 2005 г., ISBN 3-17-018489-X , с. 122
DJ Струик: Лекции по классической дифференциальной геометрии , Дувр, переиздание, 1988, стр. 103, 109, 184.

Внешние ссылки

Энциклопедия математики

[1] Х. Браунер: Учебник конструктивной геометрии , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709187788 , 9783709187784, с. 236

[2] Фриц Хоэнберг: Конструктивная геометрия в технологии , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488 , 9783709181485, с. 208

[3] Ганс Шобер: Прозрачные оболочки: форма, топология, опорная структура , John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X , 9783433605981, С. 74

[4] Вильгельм Блашке, Курт Райдемайстер: Лекции по дифференциальной геометрии и геометрическим основам теории относительности Эйнштейна II: Аффинная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 364247392X , 9783642473920, с. 94

[5] Эрвин Круппа: Аналитическая и конструктивная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673 , 9783709178676, с. 45

[6] JCC Nitsche: Лекции по минимальным поверхностям , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196 , 9783642656194, с. 59

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]