Лимон (геометрия)

В геометрии лимон менее половины полного круга, вращающейся вокруг оси , — это геометрическая фигура , которая представляет собой поверхность вращения дуги окружности с углом проходящей через конечные точки линзы (или дуги). Поверхность вращения дополнительной дуги того же круга, проходящей через ту же ось, называется яблоком .

Яблоко и лимон вместе составляют веретенообразный тор (или самопересекающийся тор , или самопересекающийся тор ). Лимон образует границу выпуклого множества , а окружающее его яблоко невыпуклое. ^[1]^[2]

Мяч в североамериканском футболе имеет форму, напоминающую геометрический лимон. Однако, хотя термин «футбол» используется в геометрии в схожем значении, он чаще используется для обозначения поверхности вращения, гауссова кривизна которой положительна и постоянна и образована из более сложной кривой, чем дуга окружности. ^[3] В качестве альтернативы, футбольный мяч может относиться к более абстрактному орбифолду , поверхности, локально смоделированной на сфере, за исключением двух точек. ^[4]

Площадь и объём

Лимон создается вращением дуги радиуса $R$ и полуугол $\phi _{m}$ меньше, чем $\pi /2$ о его аккорде. Обратите внимание, что $\phi$ обозначает широту, используемую в геофизике. Площадь поверхности определяется выражением ^[5]

$A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d\phi$

Объем определяется

$V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi d\phi$

Эти интегралы можно оценить аналитически, дав

$A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})$

$V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]$

Яблоко создается вращением дуги на половину угла. $\phi _{m}$ больше, чем $\pi /2$ о его аккорде. Приведенные выше уравнения справедливы как для лимона, так и для яблока.

См. также

Ссылки

^ Крипак, Иржи (февраль 1997 г.), «Механизм постоянного именования топологических объектов в параметрических твердотельных моделях на основе истории», Computer-Aided Design , 29 (2): 113–122, doi : 10.1016/s0010-4485(96)00040 -1
^ Кривошапко С.Н.; Иванов В.Н. (2015), «Поверхности революции», Энциклопедия аналитических поверхностей , Springer International Publishing, стр. 99–158, doi : 10.1007/978-3-319-11773-7_2
^ Кумбс, Кевин Р.; Липсман, Рональд Л.; Розенберг, Джонатан М. (1998), Многомерное исчисление и математика , Springer New York, стр. 128, номер домена : 10.1007/978-1-4612-1698-8 , ISBN 978-0-387-98360-8
^ Борзеллино, Джозеф Э. (1994), «Теоремы о сжатии для капель и футбольных мячей революции», Бюллетень Австралийского математического общества , 49 (3): 353–364, doi : 10.1017/S0004972700016464 , MR 1274515
^ Верралл, Стивен С.; Аткинс, Мика; Каминский, Андрей; Фридерик, Эмили; Отто, Эндрю; Верралл, Келли С.; Линч, Питер (23 января 2023 г.), «Квантовая вихревая протонная модель основного состояния» , Foundations of Physics , 53 (1): 28, doi : 10.1007/s10701-023-00669-y , ISSN 1572-9516 , S2CID 256115776

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Поверхность лимона» , MathWorld
Поверхность футбольного мяча (веретенообразного типа) положительной постоянной кривизны в коллекции моделей Гронингенского университета.

[1] Крипак, Иржи (февраль 1997 г.), «Механизм постоянного именования топологических объектов в параметрических твердотельных моделях на основе истории», Computer-Aided Design , 29 (2): 113–122, doi : 10.1016/s0010-4485(96)00040 -1

[2] Кривошапко С.Н.; Иванов В.Н. (2015), «Поверхности революции», Энциклопедия аналитических поверхностей , Springer International Publishing, стр. 99–158, doi : 10.1007/978-3-319-11773-7_2

[3] Кумбс, Кевин Р.; Липсман, Рональд Л.; Розенберг, Джонатан М. (1998), Многомерное исчисление и математика , Springer New York, стр. 128, номер домена : 10.1007/978-1-4612-1698-8 , ISBN 978-0-387-98360-8

[4] Борзеллино, Джозеф Э. (1994), «Теоремы о сжатии для капель и футбольных мячей революции», Бюллетень Австралийского математического общества , 49 (3): 353–364, doi : 10.1017/S0004972700016464 , MR 1274515

[5] Верралл, Стивен С.; Аткинс, Мика; Каминский, Андрей; Фридерик, Эмили; Отто, Эндрю; Верралл, Келли С.; Линч, Питер (23 января 2023 г.), «Квантовая вихревая протонная модель основного состояния» , Foundations of Physics , 53 (1): 28, doi : 10.1007/s10701-023-00669-y , ISSN 1572-9516 , S2CID 256115776

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]