Тройнопериодическая минимальная поверхность

В дифференциальной геометрии тройно -периодическая минимальная поверхность (TPMS) — это минимальная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ ранга 3 который инвариантен относительно решетки сдвигов .

Эти поверхности обладают симметрией кристаллографической группы . Известны многочисленные примеры с кубической, тетрагональной , ромбоэдрической и ромбической симметрией. Моноклинные и триклинные примеры наверняка существуют, но их сложно параметризовать. ^[1]

TPMS имеют актуальное значение в естествознании. TPMS наблюдались как биологические мембраны, ^[2] как блок-сополимеры , ^[3] эквипотенциальные поверхности в кристаллах ^[4] и т. д. Они также интересовались архитектурой, дизайном и искусством.

Характеристики

Почти все изученные TPMS не имеют самопересечений (т.е. встроены в $\mathbb {R} ^{3}$ ): с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей тривиально много). ^[5]

Все подключенные TPMS имеют род ≥ 3, ^[6] и в каждой решетке существуют ориентируемые вложенные ДПМС любого рода ≥3. ^[7]

Встроенные TPMS ориентируются и делят пространство на два непересекающихся подобъема (лабиринта). Если они конгруэнтны, поверхность называется равновесной. ^[8]

История

Первыми примерами TPMS были поверхности, описанные Шварцем в 1865 году, за которыми последовала поверхность, описанная его учеником Э. Р. Неовиусом в 1883 году. ^[9]^[10]

В 1970 году Алан Шон предложил 12 новых TPMS, основанных на скелетных графах, охватывающих кристаллографические ячейки. ^[11]^[12] Хотя поверхности Шона стали популярными в естествознании, их конструкция не поддавалась математическому доказательству существования и оставалась практически неизвестной в математике, пока Х. Керхер не доказал их существование в 1989 году. ^[13]

С помощью сопряженных поверхностей было найдено гораздо больше поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для более простых примеров, они неизвестны для многих поверхностей. методы дискретной дифференциальной геометрии . Вместо этого часто используются ^[5]

Семьи

Классификация TPMS является открытой проблемой.

TPMS часто встречаются в семьях, которые могут постоянно деформироваться друг в друга. Микс нашел явное 5-параметрическое семейство для TPMS рода 3, которое содержало все известные на тот момент примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида. ^[6] Члены этого семейства могут непрерывно деформироваться друг в друга, оставаясь включенными в процесс (хотя решетка может меняться). и Каждый гироид лидиноид находятся в отдельном однопараметрическом семействе. ^[14]

Другой подход к классификации TPMS — изучить их пространственные группы. Для поверхностей, содержащих линии, можно перечислить возможные граничные многоугольники, что обеспечивает классификацию. ^[8]^[15]

Обобщения

Периодические минимальные поверхности можно построить в S ³^[16] и Х ³. ^[17]

Можно обобщить деление пространства на лабиринты и найти трижды периодические (но, возможно, разветвленные) минимальные поверхности, которые делят пространство более чем на два подобъема. ^[18]

Квазипериодические минимальные поверхности были построены в $\mathbb {R} ^{2}\times {\textbf {S}}^{1}$ . ^[19] Было высказано предположение, но не доказано, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком в $\mathbb {R} ^{3}$ существовать. ^[20]

Внешние галереи изображений

TPMS в Минимальном поверхностном архиве [2]
Галерея периодических минимальных поверхностей [3]

Ссылки

^ «Тройно-периодические минимальные поверхности» . Математика проекта EPINET . Архивировано из оригинала 28 февраля 2023 г.
^ Дэн, Юру; Мечковски, Марк (1998). «Трехмерная периодическая кубическая структура мембраны в митохондриях амеб Chaos carolinensis». Протоплазма . 203 (1–2). ООО «Спрингер Сайенс и Бизнес Медиа»: 16–25. дои : 10.1007/bf01280583 . ISSN 0033-183X . S2CID 25569139 .
^ Цзян, Симей; Гёпферт, Астрид; Абец, Волкер (2003). «Новая морфология смесей блок-сополимеров посредством водородной связи». Макромолекулы . 36 (16). Американское химическое общество (ACS): 6171–6177. Бибкод : 2003MaMol..36.6171J . дои : 10.1021/ma0342933 . ISSN 0024-9297 .
^ Маккей, Алан Л. (1985). «Периодические минимальные поверхности». Физика B+C . 131 (1–3). Эльзевир Б.В.: 300–305. Бибкод : 1985PhyBC.131..300M . дои : 10.1016/0378-4363(85)90163-9 . ISSN 0378-4363 . S2CID 4267918 .
^ Jump up to: ^а ^б Керхер, Герман; Полтье, Конрад (16 сентября 1996 г.). «Построение тройно-периодических минимальных поверхностей» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 354 (1715). Королевское общество: 2077–2104 гг. arXiv : 1002.4805 . Бибкод : 1996RSPTA.354.2077K . дои : 10.1098/rsta.1996.0093 . ISSN 1364-503X . S2CID 15540887 .
^ Jump up to: ^а ^б Уильям Х. Микс, III. Геометрия и конформная структура трижды периодических минимальных поверхностей в R3. Докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 1975 г.
^ Трайзе, М. (2008). «О роде трижды периодических минимальных поверхностей» (PDF) . Журнал дифференциальной геометрии . 79 (2). Международная пресса Бостона: 243–275. дои : 10.4310/jdg/1211512641 . ISSN 0022-040X .
^ Jump up to: ^а ^б «Без самопересечений» . Архивировано из оригинала 22 февраля 2007 г.
^ HA Шварц, Сборник математических трактатов, Springer, Берлин, 1933.
^ Э. Р. Неовиус, «Определение двух специальных периодических минимальных поверхностей», Академические трактаты , Гельсингфорс, 1883.
^ Алан Х. Шон, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая заметка НАСА TN D-5541 (1970) «Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений Алана Х. Шона» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2018 г. Проверено 12 апреля 2019 г.
^ «Тройно-периодические минимальные поверхности Алана Х. Шона» . Архивировано из оригинала 22 октября 2018 г. Проверено 12 апреля 2019 г.
^ Керхер, Герман (5 марта 1989 г.). «Тройно-периодические минимальные поверхности Алана Шона и их спутники постоянной средней кривизны». Манускрипта Математика . 64 (3): 291–357. дои : 10.1007/BF01165824 . S2CID 119894224 .
^ Адам Г. Вейхаупт. Новые семейства вложенных трижды периодических минимальных поверхностей рода три в евклидовом пространстве. Докторская диссертация, Университет Индианы, 2006 г.
^ Фишер, В.; Кох, Э. (16 сентября 1996 г.). «Охват минимальных поверхностей». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 354 (1715). Королевское общество: 2105–2142 гг. Бибкод : 1996RSPTA.354.2105F . дои : 10.1098/rsta.1996.0094 . ISSN 1364-503X . S2CID 118170498 .
^ Керхер, Х.; Пинкал, Ю. ; Стерлинг, И. (1988). «Новые минимальные поверхности в S ³ 10.4310 / Журнал дифференциальной геометрии . 28 (2). International Press of Boston: 169–185. doi : jdg/1214442276 . ISSN 0022-040X .
^ К. Полтье. Новые периодические минимальные поверхности в h3. В Г. Дзюке, Г. Хуйскене и Дж. Хатчинсоне , редакторах, «Теоретические и численные аспекты геометрических вариационных задач», том 26, страницы 201–210. ЦМА Канберра, 1991 год.
^ Годзь, Войцех Т.; Холист, Роберт (1 ноября 1996 г.). «Тройно-периодические поверхности и кратно-непрерывные структуры из модели микроэмульсий Ландау». Физический обзор E . 54 (5). Американское физическое общество (APS): 5012–5027. Бибкод : 1996PhRvE..54.5012G . дои : 10.1103/physreve.54.5012 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9965680 .
^ Лоран Мазе, Мартен Трайзе, Квазипериодическая минимальная поверхность, Helvetic Mathematical Commentaries, стр. 573–601, 2008 [1]
^ Шэн, Цин; Эльзер, Вейт (1 апреля 1994 г.). «Квазикристаллические минимальные поверхности». Физический обзор B . 49 (14). Американское физическое общество (APS): 9977–9980. Бибкод : 1994PhRvB..49.9977S . дои : 10.1103/physrevb.49.9977 . ISSN 0163-1829 . ПМИД 10009804 .

[1] «Тройно-периодические минимальные поверхности» . Математика проекта EPINET . Архивировано из оригинала 28 февраля 2023 г.

[2] Дэн, Юру; Мечковски, Марк (1998). «Трехмерная периодическая кубическая структура мембраны в митохондриях амеб Chaos carolinensis». Протоплазма . 203 (1–2). ООО «Спрингер Сайенс и Бизнес Медиа»: 16–25. дои : 10.1007/bf01280583 . ISSN 0033-183X . S2CID 25569139 .

[3] Цзян, Симей; Гёпферт, Астрид; Абец, Волкер (2003). «Новая морфология смесей блок-сополимеров посредством водородной связи». Макромолекулы . 36 (16). Американское химическое общество (ACS): 6171–6177. Бибкод : 2003MaMol..36.6171J . дои : 10.1021/ma0342933 . ISSN 0024-9297 .

[4] Маккей, Алан Л. (1985). «Периодические минимальные поверхности». Физика B+C . 131 (1–3). Эльзевир Б.В.: 300–305. Бибкод : 1985PhyBC.131..300M . дои : 10.1016/0378-4363(85)90163-9 . ISSN 0378-4363 . S2CID 4267918 .

[Karcher1-5] Jump up to: ^а ^б Керхер, Герман; Полтье, Конрад (16 сентября 1996 г.). «Построение тройно-периодических минимальных поверхностей» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 354 (1715). Королевское общество: 2077–2104 гг. arXiv : 1002.4805 . Бибкод : 1996RSPTA.354.2077K . дои : 10.1098/rsta.1996.0093 . ISSN 1364-503X . S2CID 15540887 .

[Meeks75-6] Jump up to: ^а ^б Уильям Х. Микс, III. Геометрия и конформная структура трижды периодических минимальных поверхностей в R3. Докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 1975 г.

[7] Трайзе, М. (2008). «О роде трижды периодических минимальных поверхностей» (PDF) . Журнал дифференциальной геометрии . 79 (2). Международная пресса Бостона: 243–275. дои : 10.4310/jdg/1211512641 . ISSN 0022-040X .

[Fischer-8] Jump up to: ^а ^б «Без самопересечений» . Архивировано из оригинала 22 февраля 2007 г.

[9] HA Шварц, Сборник математических трактатов, Springer, Берлин, 1933.

[10] Э. Р. Неовиус, «Определение двух специальных периодических минимальных поверхностей», Академические трактаты , Гельсингфорс, 1883.

[11] Алан Х. Шон, Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений, Техническая заметка НАСА TN D-5541 (1970) «Бесконечные периодические минимальные поверхности без самопересечений Алана Х. Шона» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2018 г. Проверено 12 апреля 2019 г.

[12] «Тройно-периодические минимальные поверхности Алана Х. Шона» . Архивировано из оригинала 22 октября 2018 г. Проверено 12 апреля 2019 г.

[13] Керхер, Герман (5 марта 1989 г.). «Тройно-периодические минимальные поверхности Алана Шона и их спутники постоянной средней кривизны». Манускрипта Математика . 64 (3): 291–357. дои : 10.1007/BF01165824 . S2CID 119894224 .

[14] Адам Г. Вейхаупт. Новые семейства вложенных трижды периодических минимальных поверхностей рода три в евклидовом пространстве. Докторская диссертация, Университет Индианы, 2006 г.

[15] Фишер, В.; Кох, Э. (16 сентября 1996 г.). «Охват минимальных поверхностей». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 354 (1715). Королевское общество: 2105–2142 гг. Бибкод : 1996RSPTA.354.2105F . дои : 10.1098/rsta.1996.0094 . ISSN 1364-503X . S2CID 118170498 .

[16] Керхер, Х.; Пинкал, Ю. ; Стерлинг, И. (1988). «Новые минимальные поверхности в S ³ 10.4310 / Журнал дифференциальной геометрии . 28 (2). International Press of Boston: 169–185. doi : jdg/1214442276 . ISSN 0022-040X .

[17] К. Полтье. Новые периодические минимальные поверхности в h3. В Г. Дзюке, Г. Хуйскене и Дж. Хатчинсоне , редакторах, «Теоретические и численные аспекты геометрических вариационных задач», том 26, страницы 201–210. ЦМА Канберра, 1991 год.

[18] Годзь, Войцех Т.; Холист, Роберт (1 ноября 1996 г.). «Тройно-периодические поверхности и кратно-непрерывные структуры из модели микроэмульсий Ландау». Физический обзор E . 54 (5). Американское физическое общество (APS): 5012–5027. Бибкод : 1996PhRvE..54.5012G . дои : 10.1103/physreve.54.5012 . ISSN 1063-651X . ПМИД 9965680 .

[19] Лоран Мазе, Мартен Трайзе, Квазипериодическая минимальная поверхность, Helvetic Mathematical Commentaries, стр. 573–601, 2008 [1]

[20] Шэн, Цин; Эльзер, Вейт (1 апреля 1994 г.). «Квазикристаллические минимальные поверхности». Физический обзор B . 49 (14). Американское физическое общество (APS): 9977–9980. Бибкод : 1994PhRvB..49.9977S . дои : 10.1103/physrevb.49.9977 . ISSN 0163-1829 . ПМИД 10009804 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]