Ассоциированная семья

Анимация, показывающая деформацию геликоида в катеноид при изменении θ .

В дифференциальной геометрии ассоциированное семейство (или семейство Бонне ) минимальной поверхности представляет собой однопараметрическое семейство минимальных поверхностей, которые имеют одни и те же данные Вейерштрасса . То есть, если поверхность имеет представление

$x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3$

семья описана

$x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]$

где $\Re$ указывает действительную часть комплексного числа .

При θ = π /2 поверхность называется сопряженной к поверхности θ = 0.

Преобразование можно рассматривать как локальное вращение главных направлений кривизны . Нормали к поверхности точки с фиксированным ζ остаются неизменными при θ изменении ; сама точка движется по эллипсу.

Некоторыми примерами связанных семейств поверхностей являются: семейство катеноидов и геликоидов , семейство Шварца P , Шварца D и гироидов семейство , а также первое и второе семейство поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена сама с собой: она остается инвариантной при изменении θ .

Сопряженные поверхности обладают тем свойством, что любая прямая линия на поверхности отображается в плоскую геодезическую на сопряженной поверхности и наоборот. Если участок одной поверхности ограничен прямой линией, то сопряженный участок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно для построения минимальных поверхностей путем перехода к сопряженному пространству: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником.

Существуют аналоги ассоциированных семейств минимальных поверхностей в многомерных пространствах и многообразиях.