Поверхность Шерка

Анимация преобразования первой и второй поверхностей Шерка друг в друга: они являются членами одного и того же ассоциированного семейства минимальных поверхностей.

В математике поверхность Шерка (названная в честь Генриха Шерка ) является примером минимальной поверхности . Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году; его первая поверхность — двоякопериодическая поверхность, вторая поверхность — однопериодическая. Это были третьи нетривиальные примеры минимальных поверхностей (первые два — катеноид и геликоид ). Обе поверхности являются сопряженными друг с другом.

Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых предельных задач о минимальных поверхностях и при изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства .

Первая поверхность Шерка

Первая поверхность Шерка является асимптотикой двух бесконечных семейств параллельных плоскостей, ортогональных друг другу, которые встречаются вблизи z = 0 в виде шахматной доски перемычек. Он содержит бесконечное количество прямых вертикальных линий.

Построение простой поверхности Шерка

Элементарная ячейка STL первой поверхности Шерка

Пять элементарных ячеек, помещенных вместе

Рассмотрим следующую задачу о минимальной поверхности на квадрате евклидовой плоскости: для натурального числа n найдите минимальную поверхность Σ _n как график некоторой функции

$u_{n}:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

такой, что

$\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<x<+{\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<y<+{\frac {\pi }{2}}.$

То есть un _{удовлетворяет} уравнению минимальной поверхности

$\mathrm {div} \left({\frac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2}}}}\right)\equiv 0$

и

$\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right.\right\}.$

Что является предельной поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Г. Шерк в 1834 г.: предельная поверхность Σ является графиком

$u:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,$

$u(x,y)=\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right).$

То есть поверхность Шерка над квадратом равна

$\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right)\right)\in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right\}.$

Более общие поверхности Шерка

Аналогичные задачи о минимальной поверхности можно рассмотреть и на других четырехугольниках евклидовой плоскости. Ту же задачу можно рассмотреть и на четырехугольниках в гиперболической плоскости . В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма комплексной плоскости на гиперболическую плоскость (единичный круг с гиперболической метрикой), тем самым опровергнув гипотезу Шона–Яу .

Вторая поверхность Шерка

Вторая поверхность Шерка

Элементарная ячейка STL второй поверхности Шерка

Вторая поверхность Шерка в целом выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Его пересечения с горизонтальными плоскостями состоят из чередующихся гипербол.

Он имеет неявное уравнение:

$\sin(z)-\sinh(x)\sinh(y)=0$

Он имеет параметризацию Вейерштрасса – Эннепера. $f(z)={\frac {4}{1-z^{4}}}$, $g(z)=iz$и может быть параметризован как:

$x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)$

$y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}-2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)$

$z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i\theta }))=2\tan ^{-1}\left({\frac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)$

для $\theta \in [0,2\pi )$ и $r\in (0,1)$. Это дает один период поверхности, который затем можно расширить в направлении z за счет симметрии.

Поверхность была обобщена Х. Керхером в седловой башни семейство периодических минимальных поверхностей .

Несколько сбивает с толку то, что в литературе эту поверхность иногда называют пятой поверхностью Шерка. Чтобы свести к минимуму путаницу, полезно называть ее однопериодической поверхностью Шерка или башней Шерка.

Внешние ссылки

• Сабитов, И.Х. (2001) [1994], «Поверхность Шерка» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Первая поверхность Шерка в MSRI Geometry [2]
• Вторая поверхность Шерка в MSRI Geometry [3]
• Минимальные поверхности Шерка в Mathworld [4]