Параметризация Вейерштрасса – Эннепера

В математике параметризация Вейерштрасса -Эннепера минимальных поверхностей является классической частью дифференциальной геометрии .

Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности еще в 1863 году.

Позволять $f$ и $g$ быть функциями либо на всей комплексной плоскости, либо на единичном круге, где $g$ является мероморфным и $f$ аналитичен , так что везде, где $g$ имеет полюс порядка $m$ , $f$ имеет нулевой порядок $2m$ (или, что то же самое, так, что произведение $fg^{2}$ голоморфен ) , и пусть $c_{1},c_{2},c_{3}$ быть константами. Тогда поверхность с координатами $(x_{1},x_{2},x_{3})$ минимальна, при этом $x_{k}$ определяются с использованием действительной части комплексного интеграла следующим образом: ${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Верно и обратное: каждой неплоской минимальной поверхности, определенной над односвязной областью, можно задать параметризацию этого типа. ^{[ 1 ]}

Например, поверхность Эннепера имеет $f (z) = 1$ , $g (z) = z м$ .

Параметрическая поверхность комплексных переменных

Модель Вейерштрасса-Эннепера определяет минимальную поверхность. $X$ ( $\mathbb {R} ^{3}$ ) на комплексной плоскости ( $\mathbb {C}$ ). Позволять $\omega =u+vi$ (комплексная плоскость как $uv$ пространстве), матрицу Якоби поверхности можно записать в виде столбца комплексных записей: $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}$ где $f(\omega )$ и $g(\omega )$ являются голоморфными функциями $\omega$ .

Якобиан $\mathbf {J}$ представляет два ортогональных касательных вектора поверхности: ^{[ 2 ]} $\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}$

Нормаль к поверхности определяется выражением $\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}$

Якобиан $\mathbf {J}$ приводит к ряду важных свойств: $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ , $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ , $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ , $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$ . Доказательства можно найти в эссе Шармы: Представление Вейерштрасса всегда дает минимальную поверхность. ^{[ 3 ]} Производные можно использовать для построения матрицы первой фундаментальной формы : ${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

и формы вторая фундаментальная матрица ${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}$

Наконец, точка $\omega _{t}$ на комплексной плоскости отображается в точку $\mathbf {X}$ на минимальной поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$ к $\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}$ где $\omega _{0}=0$ для всех минимальных поверхностей в этой статье, за исключением минимальной поверхности Косты , где $\omega _{0}=(1+i)/2$ .

Встроенные минимальные поверхности и примеры

Классические примеры вложенных полных минимальных поверхностей в $\mathbb {R} ^{3}$ с конечной топологией включают плоскость, катеноид , геликоид и минимальную поверхность Косты . Поверхность Косты включает эллиптическую функцию Вейерштрасса. $\wp$ : ^{[ 4 ]} $g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}$ $f(\omega )=\wp (\omega )$ где $A$ является константой. ^{[ 5 ]}

Геликатеноид

Выбор функций $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ и $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ , получается однопараметрическое семейство минимальных поверхностей.

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$ $\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$ $\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$ $\mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Выбор параметров поверхности как $\omega =s+i(A\phi )$ : $\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

В крайних случаях поверхность представляет собой катеноид. $(\alpha =0)$ или геликоид $(\alpha =\pi /2)$ . В противном случае, $\alpha$ представляет собой угол смешивания. Полученная поверхность с областью, выбранной для предотвращения самопересечения, представляет собой цепную связь, вращающуюся вокруг $\mathbf {X} _{3}$ ось по спирали.

Линии кривизны

Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы как функцию $f$ и $g$ , например $\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')$

И, следовательно, вторую фундаментальную матрицу формы можно упростить как ${\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}$

Один из его собственных векторов ${\overline {\sqrt {fg'}}}$ которое представляет главное направление в комплексной области. ^{[ 6 ]} Таким образом, два основных направления в $uv$ космос оказывается $\phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2$

См. также

Ассоциированная семья
Поверхность Брайанта , найденная аналогичной параметризацией в гиперболическом пространстве.

Ссылки

^ Диркс, У.; Хильдебрандт, С.; Секстон, А.; Вольраб, О. (1992). Минимальные поверхности . Том И. Спрингер. п. 108. ИСБН 3-540-53169-6 .
^ Андерссон, С.; Хайд, Северная Каролина; Ларссон, К.; Лидин, С. (1988). «Минимальные поверхности и структуры: от неорганических и металлических кристаллов до клеточных мембран и биополимеров». хим. Преподобный . 88 (1): 221–242. дои : 10.1021/cr00083a011 .
^ Шарма, Р. (2012). «Представление Вейерштрасса всегда дает минимальную поверхность». arXiv : 1208.5689 [ math.DG ].
^ Лоуден, Д.Ф. (2011). Эллиптические функции и приложения . Прикладные математические науки. Том. 80. Берлин: Шпрингер. ISBN 978-1-4419-3090-3 .
^ Аббена, Э.; Саламон, С.; Грей, А. (2006). «Минимальные поверхности с помощью комплексных переменных». Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 719–766. ISBN 1-58488-448-7 .
^ Хуа, Х.; Цзя, Т. (2018). «Проволочная резка двусторонних минимальных поверхностей». Визуальный компьютер . 34 (6–8): 985–995. дои : 10.1007/s00371-018-1548-0 . S2CID 13681681 .

[DHWK-1] Диркс, У.; Хильдебрандт, С.; Секстон, А.; Вольраб, О. (1992). Минимальные поверхности . Том И. Спрингер. п. 108. ИСБН 3-540-53169-6 .

[2] Андерссон, С.; Хайд, Северная Каролина; Ларссон, К.; Лидин, С. (1988). «Минимальные поверхности и структуры: от неорганических и металлических кристаллов до клеточных мембран и биополимеров». хим. Преподобный . 88 (1): 221–242. дои : 10.1021/cr00083a011 .

[3] Шарма, Р. (2012). «Представление Вейерштрасса всегда дает минимальную поверхность». arXiv : 1208.5689 [ math.DG ].

[4] Лоуден, Д.Ф. (2011). Эллиптические функции и приложения . Прикладные математические науки. Том. 80. Берлин: Шпрингер. ISBN 978-1-4419-3090-3 .

[5] Аббена, Э.; Саламон, С.; Грей, А. (2006). «Минимальные поверхности с помощью комплексных переменных». Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 719–766. ISBN 1-58488-448-7 .

[6] Хуа, Х.; Цзя, Т. (2018). «Проволочная резка двусторонних минимальных поверхностей». Визуальный компьютер . 34 (6–8): 985–995. дои : 10.1007/s00371-018-1548-0 . S2CID 13681681 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]