к -ноид

В дифференциальной геометрии k - ноид — это минимальная поверхность с k катеноидными отверстиями. В частности, 3-ноид часто называют триноидом. Первые k -ноидные минимальные поверхности были описаны Хорхе и Миксом в 1983 году. ^[1]

Термин k -ноид и триноид также иногда используется для поверхностей постоянной средней кривизны , особенно разветвленных версий ундулоида ( «триундулоидов»). ^[2]

k -ноиды топологически эквивалентны k -проколотым сферам (сферам с удаленными k точками). k -ноиды с симметричными отверстиями могут быть созданы с использованием параметризации Вейерштрасса – Эннепера. $f(z)=1/(z^{k}-1)^{2},g(z)=z^{k-1}\,\!$ . ^[3] Это дает явную формулу

{\begin{aligned}X(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {-1}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}-(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k+z^{2}-1{\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}Y(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {i}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}+(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k-z^{2}-1){\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

Z(z)=\Re \left\{{\frac {1}{k-kz^{k}}}\right\}

где $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ Гаусса — гипергеометрическая функция и $\Re \{z\}$ обозначает действительную часть $z$ .

Также возможно создание к-ноидов с отверстиями разных направлений и размеров. ^[4] к-ноиды, соответствующие платоновым телам , и к-ноиды с ручками. ^[5]

Ссылки

^ LP Хорхе и WH Meeks III, Топология полных минимальных поверхностей конечной полной гауссовой кривизны, Топология 22 (1983)
^ Н. Шмитт (2007). « П -ноиды постоянной средней кривизны с платоновыми симметриями». arXiv : math/0702469 .
^ Матиас Вебер (2001). «Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах» (PDF) . Индиана.edu . Проверено 5 октября 2012 г.
^ Х. Керхер. «Построение минимальных поверхностей», в «Обзорах в геометрии», Токийский университет, 1989 г., и в конспектах лекций № 12, SFB 256, Бонн, 1989 г., стр. 1–96» (PDF) . Math.uni-bonn-de . Проверено 5 октября 2012 г.
^ Йорген Берглунд, Уэйн Россман (1995). «Минимальные поверхности с катеноидными концами». Пасифик Дж. Математика . 171 (2): 353–371. arXiv : 0804.4203 . Бибкод : 2008arXiv0804.4203B . дои : 10.2140/pjm.1995.171.353 . S2CID 11328539 .

Внешние ссылки

[1] LP Хорхе и WH Meeks III, Топология полных минимальных поверхностей конечной полной гауссовой кривизны, Топология 22 (1983)

[2] Н. Шмитт (2007). « П -ноиды постоянной средней кривизны с платоновыми симметриями». arXiv : math/0702469 .

[3] Матиас Вебер (2001). «Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах» (PDF) . Индиана.edu . Проверено 5 октября 2012 г.

[4] Х. Керхер. «Построение минимальных поверхностей», в «Обзорах в геометрии», Токийский университет, 1989 г., и в конспектах лекций № 12, SFB 256, Бонн, 1989 г., стр. 1–96» (PDF) . Math.uni-bonn-de . Проверено 5 октября 2012 г.

[5] Йорген Берглунд, Уэйн Россман (1995). «Минимальные поверхности с катеноидными концами». Пасифик Дж. Математика . 171 (2): 353–371. arXiv : 0804.4203 . Бибкод : 2008arXiv0804.4203B . дои : 10.2140/pjm.1995.171.353 . S2CID 11328539 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]