Кривая Осгуда
В математическом анализе кривая Осгуда — это несамопересекающаяся кривая , имеющая положительную площадь . Несмотря на свою площадь, такая кривая не может покрыть какую-либо двумерную область , что отличает ее от кривых, заполняющих пространство . Кривые Осгуда названы в честь Уильяма Фогга Осгуда .
Определение и свойства [ править ]
Кривая в евклидовой плоскости называется кривой Осгуда, если она не является самопересекающейся (то есть является либо жордановой кривой , либо жордановой дугой ) и имеет положительную площадь. [1] Более формально, оно должно иметь положительную двумерную меру Лебега .
Кривые Осгуда имеют размерность Хаусдорфа два, как и кривые, заполняющие пространство . Однако они не могут быть кривыми, заполняющими пространство: по теореме Нетто , покрытие всех точек плоскости или любой двумерной области плоскости приведет к самопересечениям. [2]
История [ править ]
Первые примеры кривых Осгуда были найдены Уильямом Фоггом Осгудом ( 1903 ) и Анри Лебегом ( 1903 ). Оба примера имеют положительную площадь в некоторых частях кривой и нулевую площадь в других частях; этот недостаток был исправлен Кноппом (1917) , который нашел кривую, имеющую положительную площадь в каждой окрестности каждой из ее точек, на основе более ранней конструкции Вацлава Серпинского . Пример Кноппа имеет то дополнительное преимущество, что его площадь можно сделать сколь угодно близкой к площади его выпуклой оболочки . [3]
Строительство [ править ]
Можно изменить рекурсивное построение некоторых фракталов и кривых, заполняющих пространство, чтобы получить кривую Осгуда. [4] Например, конструкция Кноппа включает рекурсивное разбиение треугольников на пары меньших треугольников, встречающихся в общей вершине, путем удаления треугольных клиньев. Когда каждый уровень этой конструкции удаляет одну и ту же долю площади своих треугольников, в результате получается фрактал Чезаро, такой как снежинка Коха .Вместо этого уменьшение доли удаленной площади на каждом уровне достаточно быстро, чтобы оставить постоянную часть площади неудаленной, дает кривую Осгуда. [3]
Другой способ построить кривую Осгуда — сформировать двумерную версию множества Смита–Вольтерра–Кантора , полностью несвязного множества точек с ненулевой площадью, а затем применить теорему Данжуа–Рисса, согласно которой каждое ограниченное и вполне несвязное подмножество плоскости является подмножеством жордановой кривой. [5]
Примечания [ править ]
- ^ Радо (1948) .
- ^ Саган (1994) , с. 131
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кнопп (1917) ; Саган (1994) , раздел 8.3, Кривые Осгуда Серпинского и Кноппа, стр. 136–140 .
- ^ Кнопп (1917) ; Лэнс и Томас (1991) ; Сказка (1993)
- ^ Бальцерзак и Харазишвили (1999) .
Ссылки [ править ]
- Бальцерзак, М.; Харазишвили, А. (1999), «О несчетных объединениях и пересечениях измеримых множеств», Грузинский математический журнал , 6 (3): 201–212, doi : 10.1023/A:1022102312024 , MR 1679442 .
- Кнопп, К. (1917), «Равномерное создание и представление кривых Пеано, Осгуда и фон Коха», Архив математики и физики , 26 : 103–115 .
- Лэнс, Тимоти; Томас, Эдвард (1991), «Дуги с положительной мерой и кривая, заполняющая пространство», American Mathematical Monthly , 98 (2): 124–127, doi : 10.2307/2323941 , JSTOR 2323941 , MR 1089456 .
- Лебег, Х. (1903), «К проблеме площадей» , Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 31 : 197–203, doi : 10.24033/bsmf.694
- Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Жордановая кривая положительной площади», Труды Американского математического общества , 4 (1): 107–112, doi : 10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5 , ISSN 0002 -9947 , JFM 34.0533.02 , JSTOR 1986455 , MR 1500628 .
- Радо, Тибор (1948), Длина и площадь , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 30, Американское математическое общество, Нью-Йорк, с. 157, ISBN 9780821846216 , МР 0024511 .
- Саган, Ханс (1993), «Геометризация кривой заполнения пространства Лебега», The Mathematical Intelligencer , 15 (4): 37–43, doi : 10.1007/BF03024322 , MR 1240667 , S2CID 122497728 , Zbl 0795.54022 .
- Саган, Ганс (1994), Кривые заполнения пространства , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3 , МР 1299533 .
Внешние ссылки [ править ]
- Диккау, Роберт, Конструкция кривой Осгуда Кноппа , Демонстрационный проект Вольфрама , получено 20 октября 2013 г.