Теорема Данжуа – Рисса

В топологии теорема Данжуа-Рисса утверждает, что каждый компактный набор полностью несвязных точек евклидовой плоскости может быть покрыт непрерывным образом единичного интервала без самопересечений ( йордановой дуги ).

Определения и заявление

Топологическое пространство является нульмерным согласно размерности покрытия Лебега , если каждое конечное открытое покрытие имеет уточнение, которое также является открытым покрытием непересекающимися множествами. Топологическое пространство называется вполне несвязным , если оно не имеет нетривиальных связных подмножеств; для точек на плоскости полная несвязность эквивалентна нульмерности. Теорема Данжуа–Рисса утверждает, что каждое компактное полностью несвязное подмножество плоскости является подмножеством жордановой дуги. ^{[ 1 ]}

История

Куратовский (1968) приписывает этот результат публикациям Фриджеса Рисса в 1906 году и Арно Данжуа в 1910 году, оба в Comptes rendus de l'Académie des Sciences . ^{[ 2 ]} Как Мур и Клайн (1919) : описывают ^{[ 3 ]} На самом деле Рисс привел неверный аргумент о том, что каждое полностью несвязное множество на плоскости является подмножеством жордановой дуги. Это обобщало предыдущий результат Л. Зоретти, который использовал более общий класс множеств, чем жордановые дуги, но Зоретти нашел ошибку в доказательстве Рисса: оно ошибочно предполагало, что одномерные проекции полностью несвязных множеств остаются полностью несвязными. Затем Данжуа (не цитируя ни Зоретти, ни Рисса) потребовал доказательство теоремы Рисса, но с небольшими подробностями. Мур и Клайн формулируют и доказывают обобщение, которое полностью характеризует подмножества плоскости, которые могут быть подмножествами жордановых дуг, и которое включает в себя теорему Данжуа-Рисса как частный случай. ^{[ 3 ]}

Приложения и связанные с ними результаты

Применяя эту теорему к двумерной версии множества Смита–Вольтерра–Кантора , можно найти кривую Осгуда , жордановую дугу или замкнутую жорданову кривую, мера Лебега которой положительна. ^{[ 4 ]}

Связанным с этим результатом является теорема коммивояжера аналитика , описывающая множества точек, которые образуют подмножества кривых конечной длины дуги . Не каждое компактное полностью несвязное множество обладает этим свойством, поскольку для некоторых компактных полностью несвязных множеств требуется, чтобы любая покрывающая их дуга имела бесконечную длину.

Ссылки

^ Крупка, Деметра (2015), Введение в глобальную вариационную геометрию , Исследования Атлантиды в вариационной геометрии, том. 1, Атлантис Пресс, Париж, с. 158, номер домена : 10.2991/978-94-6239-073-7 , ISBN 978-94-6239-072-0 , МР 3290001 .
^ Куратовский, К. (1968), Топология. Том. II , Новое издание, исправленное и дополненное. Перевод с французского А. Киркора, Польское научное издательство Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава, с. 539, ISBN 9781483271798 , МР 0259835 .
^ Jump up to: ^а ^б Мур, РЛ ; Клайн, младший (1919), «О наиболее общей плоскости, замкнутом множестве точек, через которое можно пройти простую непрерывную дугу», Annals of Mathematics , Second Series, 20 (3): 218–223, doi : 10.2307/ 1967872 , JSTOR 1967872 , MR 1502556 .
^ Бальцерзак, М.; Харазишвили, А. (1999), «О несчетных объединениях и пересечениях измеримых множеств», Грузинский математический журнал , 6 (3): 201–212, doi : 10.1023/A:1022102312024 , MR 1679442 , S2CID 1486611 . О более ранней конструкции жордановой кривой положительной площади без использования этой теоремы см. Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Жордановая кривая положительной площади», Труды Американского математического общества , 4 (1): 107–112, doi : 10.2307/1986455 , JSTOR 1986455 .

[1] Крупка, Деметра (2015), Введение в глобальную вариационную геометрию , Исследования Атлантиды в вариационной геометрии, том. 1, Атлантис Пресс, Париж, с. 158, номер домена : 10.2991/978-94-6239-073-7 , ISBN 978-94-6239-072-0 , МР 3290001 .

[2] Куратовский, К. (1968), Топология. Том. II , Новое издание, исправленное и дополненное. Перевод с французского А. Киркора, Польское научное издательство Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава, с. 539, ISBN 9781483271798 , МР 0259835 .

[mk-3] Jump up to: ^а ^б Мур, РЛ ; Клайн, младший (1919), «О наиболее общей плоскости, замкнутом множестве точек, через которое можно пройти простую непрерывную дугу», Annals of Mathematics , Second Series, 20 (3): 218–223, doi : 10.2307/ 1967872 , JSTOR 1967872 , MR 1502556 .

[4] Бальцерзак, М.; Харазишвили, А. (1999), «О несчетных объединениях и пересечениях измеримых множеств», Грузинский математический журнал , 6 (3): 201–212, doi : 10.1023/A:1022102312024 , MR 1679442 , S2CID 1486611 . О более ранней конструкции жордановой кривой положительной площади без использования этой теоремы см. Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Жордановая кривая положительной площади», Труды Американского математического общества , 4 (1): 107–112, doi : 10.2307/1986455 , JSTOR 1986455 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]