Теорема Жордана о кривой

Иллюстрация теоремы о жордановой кривой. Кривая Жордана (нарисованная черным цветом) делит плоскость на «внутреннюю» область (голубой) и «внешнюю» область (розовый).

В топологии теорема о жордановой кривой , сформулированная Камиллой Жорданом в 1887 году, утверждает, что каждая жордановая кривая (плоская простая замкнутая кривая) делит плоскость на « внутреннюю » область, ограниченную кривой, и « внешнюю » область, содержащую все ближайшие и дальние внешние точки. Каждый непрерывный путь, соединяющий точку одного региона с точкой другого, где-то пересекается с кривой. Хотя теорема кажется интуитивно очевидной, требуется некоторая изобретательность, чтобы доказать ее элементарными средствами. «Хотя JCT — одна из самых известных топологических теорем, многие, даже среди профессиональных математиков, никогда не читали ее доказательства». ( Тверберг (1980 , Введение)). Более прозрачные доказательства опираются на математический аппарат алгебраической топологии и приводят к обобщениям на многомерные пространства.

Теорема о кривой Жордана названа в честь математика Камиля Джордана (1838–1922), который опубликовал свое первое заявленное доказательство в 1887 году. На протяжении десятилетий математики считали, что это доказательство ошибочно и что первое строгое доказательство было проведено Освальдом Вебленом . Однако это мнение было опровергнуто Томасом К. Хейлзом и другими.

Определения и формулировка теоремы Жордана

Кривая Жордана или простая замкнутая кривая в плоскости R ² — образ C инъективного φ непрерывного отображения на окружности , S : плоскость ¹ → Р ² . Жорданова дуга на плоскости — это образ инъективного непрерывного отображения замкнутого и ограниченного интервала [ a , b ] на плоскость. Это плоская кривая , которая не обязательно является гладкой или алгебраической .

Альтернативно, жордановая кривая — это образ непрерывного отображения φ : [0,1] → R ² такая, что φ (0) = φ (1) и ограничение φ на [0,1) инъективно. Первые два условия говорят, что C является непрерывной петлей, тогда как последнее условие предполагает, что C не имеет точек самопересечения.

С помощью этих определений теорему Жордана о кривой можно сформулировать следующим образом:

Теорема . Пусть C — жорданова кривая в плоскости R. ² . Тогда его дополнение , R ² \ C , состоит ровно из двух компонент связности . Один из этих компонентов ограничен ( внутренний ), а другой неограничен ( внешний ), а кривая C является границей каждого компонента.

Напротив, дополнение к жордановой дуге на плоскости связно.

Доказательство и обобщения

Теорема Жордана о кривой была независимо обобщена на более высокие измерения Х. Лебегом и Л. Э. Дж. Брауэром в 1911 году, что привело к теореме разделения Джордана-Брауэра .

Теорема . Пусть X — n - мерная топологическая сфера в ( n +1)-мерном евклидовом пространстве R. ^{п +1} ( n > 0), т. е. образ инъективного непрерывного отображения n -сферы S ^н в Р ^{п +1} . Тогда дополнение Y к X в R ^{п +1} состоит ровно из двух компонент связности. Одна из этих компонент ограничена (внутренняя), а другая неограничена (внешняя). Множество X является их общей границей.

В доказательстве используется теория гомологии . Впервые установлено, что, в более общем смысле, если X гомеоморфно k -сфере, то гомологий приведенные целочисленные группы Y = R ^{п +1} \ X следующие:

$${\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=n-k{\text{ or }}q=n,\\\{0\},&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Это доказывается индукцией по k с помощью последовательности Майера–Виеториса . Когда n = k , нулевая приведенная гомология Y имеет ранг 1, что означает, что Y имеет 2 связных компонента (которые, кроме того, путями ), и с небольшой дополнительной работой можно показать, что их общая граница — это X. связаны Дальнейшее обобщение было найдено Дж. У. Александером , который установил двойственность Александера между приведенными гомологиями компактного подмножества X в R ^{п +1} и приведенные когомологии его дополнения. Если X — n -мерное компактное связное подмногообразие в R ^{п +1} (или С ^{п +1} ) без края, его дополнение имеет 2 компонента связности.

Существует усиление теоремы о жордановой кривой, называемое теоремой Джордана-Шенфлиса , которая утверждает, что внутренние и внешние плоские области, определяемые жордановой кривой в R ² гомеоморфны единичного внутренней и внешней части круга . В частности, для любой точки Р во внутренней области и точки А на жордановой кривой существует жордановая дуга, соединяющая Р с А и, за исключением конца А , полностью лежащая во внутренней области. Альтернативная и эквивалентная формулировка теоремы Жордана–Шенфлиса утверждает, что любая жорданова кривая φ : S ¹ → Р ² , где S ¹ рассматривается как единичная окружность на плоскости, может быть продолжена до гомеоморфизма ψ : R ² → Р ² самолета. В отличие от обобщения Лебега и Брауэра теоремы о жордановой кривой, это утверждение становится неверным в более высоких измерениях: в то время как внешность единичного шара в R ³ , просто связен поскольку стягивается на единичную сферу, рогатая сфера Александера является подмножеством R ³ гомеоморфна сфере , но настолько искривлена ​​в пространстве, что неограниченная компонента ее дополнения в R ³ не односвязен и, следовательно, не гомеоморфен внешности единичного шара.

Дискретная версия

Теорема Жордана о кривой может быть доказана на основе теоремы Брауэра о неподвижной точке (в двух измерениях): а теорема Брауэра о неподвижной точке может быть доказана на основе теоремы Hex: «в каждой игре Hex есть хотя бы один победитель», из которой мы получаем логическое следствие: из теоремы Hex следует теорема Брауэра о неподвижной точке, из которой следует теорема Жордана о кривой.

Ясно, что теорема о кривой Жордана подразумевает «сильную теорему Hex»: «каждая игра в Hex заканчивается ровно одним победителем, без возможности проигрыша обеих сторон или победы обеих сторон», таким образом, теорема о кривой Жордана эквивалентна сильному Hex. теорема, которая является чисто дискретной теоремой.

Теорема Брауэра о неподвижной точке, будучи зажатой между двумя эквивалентными теоремами, также эквивалентна обеим.

В обратной математике и компьютерно-формализованной математике теорема о кривой Жордана обычно доказывается путем сначала преобразования ее в эквивалентную дискретную версию, аналогичную сильной теореме Hex, а затем доказательства дискретной версии.

Приложение для обработки изображений

При обработке изображений двоичное изображение представляет собой дискретную квадратную сетку из 0 и 1 или, что то же самое, компактное подмножество $\mathbb {Z} ^{2}$. Топологические инварианты на $\mathbb {R} ^{2}$, такие как количество компонентов, могут не быть четко определены для $\mathbb {Z} ^{2}$ если $\mathbb {Z} ^{2}$ не имеет надлежащим образом определенной структуры графа .

Есть две очевидные графовые структуры на $\mathbb {Z} ^{2}$:

Квадратные сетки с 8 соседями и 4 соседями.

• «квадратная сетка с 4 соседями», где каждая вершина $(x,y)$ связано с $(x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)$.
• «квадратная сетка с 8 соседями», где каждая вершина $(x,y)$ связано с $(x',y')$ если только $|x-x'|\leq 1,|y-y'|\leq 1$, и $(x,y)\neq (x',y')$.

Обе структуры графов не удовлетворяют сильной теореме Hex. Квадратная сетка с 4 соседями допускает ситуацию без победителя, а квадратная сетка с 8 соседями допускает ситуацию с двумя победителями. Следовательно, свойства связности в $\mathbb {R} ^{2}$, такие как теорема Жордана о кривой, не обобщаются на $\mathbb {Z} ^{2}$ в любой графовой структуре.

Если наложить структуру «квадратная сетка с 6 соседями» $\mathbb {Z} ^{2}$, то это шестиугольная сетка и, таким образом, удовлетворяет сильной теореме Hex, что позволяет обобщить теорему Жордана о кривой. По этой причине при вычислении связанных компонентов в двоичном изображении обычно используется квадратная сетка с 6 соседями.

Теорема Штайнхауза о шахматной доске

Теорема Штайнхауза о шахматной доске в некотором смысле показывает, что сетка с 4 соседями и сетка с 8 соседями «вместе» подразумевают теорему о кривой Жордана, а сетка с 6 соседями представляет собой точную интерполяцию между ними.

Теорема гласит: предположим, что вы положили бомбы на несколько клеток на $n\times n$ шахматная доска, так что король не может перейти с нижней стороны на верхнюю, не наступив на бомбу, тогда ладья может перейти с левой стороны на правую, наступая только на бомбы.

История и дальнейшие доказательства

Утверждение теоремы о жордановой кривой на первый взгляд может показаться очевидным, но доказать ее довольно сложно. Бернар Больцано был первым, кто сформулировал точную гипотезу, отметив, что это не самоочевидное утверждение, а требующее доказательства. Этот результат легко установить для многоугольников , но проблема заключалась в том, чтобы обобщить его на все виды кривых с плохим поведением, к которым относятся нигде не дифференцируемые кривые, такие как снежинка Коха и другие фрактальные кривые , или даже кривая Жордана положительной площади. построенная Осгуда (1903) .

Первое доказательство этой теоремы было дано Камилем Жорданом в его лекциях по реальному анализу и опубликовано в его книге « Кур анализа политехнической школы» . Существуют некоторые разногласия по поводу того, было ли доказательство Джордана полным: большинство комментаторов утверждали, что первое полное доказательство было дано позже Освальдом Вебленом , который сказал о доказательстве Джордана следующее:

Однако его доказательство неудовлетворительно для многих математиков. Он предполагает теорему без доказательства в важном частном случае простого многоугольника, и в рассуждениях с этого момента следует признать, что, по крайней мере, не даны все детали.

Однако Томас К. Хейлз писал:

Почти все современные цитаты, которые я нашел, подтверждают, что первое правильное доказательство принадлежит Веблену... Ввиду резкой критики доказательства Джордана я был удивлен, когда сел читать его доказательство и не нашел в нем ничего предосудительного. С тех пор я связался с рядом авторов, критиковавших Джордана, и в каждом случае автор признавал, что не знает об ошибке в доказательстве Джордана.

Хейлз также отметил, что частный случай простых многоугольников не только является простым упражнением, но и вообще не использовался Джорданом, и процитировал слова Майкла Рикена:

Доказательство Джордана по существу верно... Доказательство Джордана не дает удовлетворительного представления деталей. Но идея верна, и при некоторой доработке доказательство будет безупречным.

Ранее доказательство Джордана и еще одно раннее доказательство Шарля Жана де ла Валле Пуссена уже были критически проанализированы и завершены Шенфлисом (1924).

Из-за важности теоремы о жордановой кривой в маломерной топологии и комплексном анализе она привлекла большое внимание выдающихся математиков первой половины 20 века. Различные доказательства теоремы и ее обобщения были построены Дж. В. Александром , Луи Антуаном , Людвигом Бибербахом , Луиценом Брауэром , Арно Данжуа , Фридрихом Хартогсом , Белой Керекьярто , Альфредом Прингсхаймом и Артуром Морицем Шенфлисом .

Продолжаются новые элементарные доказательства теоремы о жордановой кривой, а также упрощения предыдущих доказательств.

• Элементарные доказательства были представлены Филипповым (1950) и Твербергом (1980) .
• Доказательство с использованием нестандартного анализа Наренса (1971) .
• Доказательство с использованием конструктивной математики Гордона О. Берга, В. Джулиана и Р. Майнса и др. ( 1975 ).
• Доказательство с использованием теоремы Брауэра о неподвижной точке Маэхары (1984) .
• Доказательство с использованием непланарности полного двудольного графа K _3,3 было дано Томассеном (1992) .

Корень этой трудности объясняется Твербергом (1980) следующим образом. Сравнительно несложно доказать, что теорема о жордановой кривой справедлива для любого жорданового многоугольника (лемма 1) и каждая кривая Жордана может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована жордановым многоугольником (лемма 2). Жордановый многоугольник — это цепь многоугольников , граница ограниченного связного открытого множества , назовем его открытым многоугольником, а его замыкание — замкнутым многоугольником. Рассмотрим диаметр $\delta$ самого большого диска, содержащегося в замкнутом многоугольнике. Очевидно, $\delta$ является положительным. Используя последовательность жордановых многоугольников (которые сходятся к заданной жордановой кривой), мы имеем последовательность $\delta _{1},\delta _{2},\dots$ предположительно сходящийся к положительному числу, диаметр $\delta$ наибольшего диска, лежащего в замкнутой области, ограниченной жордановой кривой. Однако нам нужно доказать , что последовательность $\delta _{1},\delta _{2},\dots$ не сходится к нулю, используя только данную жорданову кривую, а не область, предположительно ограниченную этой кривой. В этом суть леммы 3 Тверберга. Грубо говоря, замкнутые многоугольники не должны везде уменьшаться до нуля. Более того, они не должны где-то утончаться до нуля, в чем и состоит смысл леммы 4 Тверберга.

Первое формальное доказательство теоремы о кривой Жордана было создано Хейлсом (2007a) в системе HOL Light в январе 2005 года и содержало около 60 000 строк. Еще одно строгое формальное доказательство, состоящее из 6500 строк, было создано в 2005 году международной командой математиков с использованием системы Mizar . И доказательство Mizar, и доказательство HOL Light основаны на библиотеках ранее доказанных теорем, поэтому эти два размера несопоставимы. Нобуюки Сакамото и Кейта Ёкояма ( 2007 ) показали, что в обратной математике теорема о жордановой кривой эквивалентна слабой лемме Кенига над системой. ${\mathsf {RCA}}_{0}$.

Приложение

Если начальная точка ( p _a ) луча области (красного цвета) лежит вне простого многоугольника ( А ) число пересечений луча и многоугольника четное .
Если начальная точка ( p _b ) луча лежит внутри многоугольника (области B ), число пересечений нечетное.

Основная статья: Точка в многоугольнике § Алгоритм преобразования лучей

В вычислительной геометрии теорема Жордана о кривой может использоваться для проверки того, находится ли точка внутри или снаружи простого многоугольника .

Из заданной точки проследить луч , не проходящий ни через одну вершину многоугольника (удобны все лучи, кроме конечного числа). Затем вычислите количество n пересечений луча с ребром многоугольника. Доказательство теоремы о жордановой кривой подразумевает, что точка находится внутри многоугольника тогда и только тогда, n нечетно когда .

Вычислительные аспекты

Адлер, Даскалакис и Демейн доказать, что вычислительная версия теоремы Джордана является PPAD-полной . Как следствие, они показывают, что из теоремы Джордана следует теорема Брауэра о неподвижной точке . Это дополняет более ранний результат Маехары о том, что из теоремы Брауэра о неподвижной точке следует теорема Джордана.

См. также

• Теорема Данжуа–Рисса , описание определенных наборов точек на плоскости, которые могут быть подмножествами жордановых кривых.
• Озера Вада
• Квазифуксова группа — математическая группа, сохраняющая жорданову кривую.

Ссылки

• Берг, Гордон О.; Джулиан, В.; Минс, Р.; Ричман, Фред (1975), «Теорема о конструктивной кривой Жордана», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 5 (2): 225–236, doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-225 , ISSN   0035-7596 , MR   0410701
• Курант, Ричард (1978). «В. Топология». Написано в Оксфорде. Что такое математика? : элементарный подход к идеям и методам . Герберт Роббинс ([4-е изд.] изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. п. 267. ИСБН  978-0-19-502517-0 . OCLC   6450129 .
• Филиппов А. Ф. (1950), "Элементарное доказательство теоремы Жордана" (PDF) , Успехи матем. Наук , 5 (5): 173–176.
• Хейлз, Томас К. (2007a), «Теорема о кривой Джордана, формально и неформально», The American Mathematical Monthly , 114 (10): 882–894, doi : 10.1080/00029890.2007.11920481 , ISSN   0002-9890 , MR   2363054 , S2CID   887392
• Хейлз, Томас (2007b), «Доказательство Джордана теоремы о жордановой кривой» (PDF) , Исследования по логике, грамматике и риторике , 10 (23)
• Джордан, Камилла (1887), Курс анализа (PDF) , стр. 587–594
• Маэхара, Рюдзи (1984), «Теорема о жордановой кривой на основе теоремы Брауэра о фиксированной точке», The American Mathematical Monthly , 91 (10): 641–643, doi : 10.2307/2323369 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2323369 , MR   0769530
• Наренс, Луи (1971), «Нестандартное доказательство теоремы о кривой Жордана» , Pacific Journal of Mathematics , 36 : 219–229, doi : 10.2140/pjm.1971.36.219 , ISSN   0030-8730 , MR   0276940
• Осгуд, Уильям Ф. (1903), «Жордановая кривая положительной площади», Труды Американского математического общества , 4 (1): 107–112, doi : 10.2307/1986455 , ISSN   0002-9947 , JFM   34.0533.02 , JSTOR   1986455
• Росс, Фиона; Росс, Уильям Т. (2011), «Теорема о кривой Джордана нетривиальна», Journal of Mathematics and the Arts , 5 (4): 213–219, doi : 10.1080/17513472.2011.634320 , S2CID   3257011 . авторский сайт
• Сакамото, Нобуюки; Ёкояма, Кейта (2007), «Теорема Жордана о кривой и теорема Шенфлиса в слабой арифметике второго порядка», Архив математической логики , 46 (5): 465–480, doi : 10.1007/s00153-007-0050-6 , ISSN   0933-5846 , MR   2321588 , S2CID   33627222
• Томассен, Карстен (1992), «Теорема Джордана-Шенфлиса и классификация поверхностей», American Mathematical Monthly , 99 (2): 116–130, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR   2324180
• Тверберг, Хельге (1980), «Доказательство теоремы о жордановой кривой» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 12 (1): 34–38, CiteSeerX   10.1.1.374.2903 , doi : 10.1112/blms/12.1 .34
• Веблен, Освальд (1905), «Теория плоских кривых в неметрическом анализе ситуации», Труды Американского математического общества , 6 (1): 83–98, doi : 10.2307/1986378 , JSTOR   1986378 , MR   1500697

Внешние ссылки

• М. И. Войцеховский (2001) [1994], «Теорема Жордана» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Полное формальное доказательство теоремы Джордана о кривой в 6500 строк в Mizar .
• Сборник доказательств теоремы Жордана о кривой на домашней странице Эндрю Раницки.
• Простое доказательство теоремы Жордана о кривой (PDF) Дэвида Б. Голда
• Браун, Р.; Антолино-Камарена, О. (2014). «Исправление к «Группоидам, свойству Фрагмена-Брауэра и теореме о жордановой кривой», J. Homotopy and родственные структуры 1 (2006) 175-183». arXiv : 1404.0556 [ math.AT ].