Александр двойственность

В математике Павлом двойственность Александра относится к теории двойственности, инициированной Дж. В. Александром в 1915 году и впоследствии получившей дальнейшее развитие, в частности, Александровым и Львом Понтрягиным . Это применимо к свойствам теории гомологии дополнения к подпространству X в евклидовом пространстве , сфере или другом многообразии . Он обобщается двойственностью Спэньера–Уайтхеда .

Общее заявление по сферам

Позволять $X$ — компактное локально стягиваемое подпространство сферы $S^{n}$ размерности n . Позволять $S^{n}\setminus X$ быть дополнением $X$ в $S^{n}$ . Тогда, если ${\tilde {H}}$ обозначает приведенные гомологии или приведенные когомологии с коэффициентами в данной абелевой группе , существует изоморфизм

{\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)

для всех $q\geq 0$ . Обратите внимание, что мы можем отказаться от локальной сократимости как части гипотезы, если будем использовать когомологии Чеха , которые предназначены для борьбы с локальными патологиями.

Приложения

Это полезно для вычисления когомологий дополнений узлов и связей в $S^{3}$ . Напомним, что узел — это вложение $K\colon S^{1}\hookrightarrow S^{3}$ а ссылка — это непересекающееся объединение узлов, таких как кольца Борромео . Тогда, если мы напишем ссылку/узел как $L$ , у нас есть

{\tilde {H}}_{q}(S^{3}\setminus L)\cong {\tilde {H}}^{3-q-1}(L)

,

дающий метод вычисления групп когомологий. Затем можно различать разные ссылки, используя продукты Massey . ^[1]Например, для колец Борромео $L$ , группы гомологии

{\begin{aligned}{\tilde {H}}_{0}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{2}(L)=0\\{\tilde {H}}_{1}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{1}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 3}\\{\tilde {H}}_{2}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{0}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\{\tilde {H}}_{3}(S^{3}\setminus L)&\cong 0\\\end{aligned}}

Комбинаторная двойственность Александера

Позволять $X$ быть абстрактным симплициальным комплексом на множестве вершин $V$ размера $n$ .Александр-двойник $X^{*}$ из $X$ определяется как симплициальный комплекс на $V$ чьи лица являются дополнением не-лиц $X$ . То есть

X^{*}=\{\sigma \ \colon \ V\setminus \sigma \not \in X\}

.

Обратите внимание, что $(X^{*})^{*}=X$ .

Двойственность Александера подразумевает следующий комбинаторный аналог (для приведенных гомологий и когомологий с коэффициентами в любой заданной абелевой группе ):

{\tilde {H}}_{q}(X^{*})\cong {\tilde {H}}^{n-q-3}(X)

для всех $q\geq 0$ .Действительно, это можно вывести, если $Y\simeq S^{n-2}$ быть $(n-2)$ -скелет полного симплекса на $V$ (то есть, $Y$ является семейством всех подмножеств размером не более $n-1$ ) и покажем, что геометрическая реализация $|X^{*}|$ гомотопически эквивалентен $|Y|\setminus |X|$ . Бьёрнер и Тансер представили элементарное комбинаторное доказательство и суммировали несколько обобщений. ^[2]

Двойственность Александера для конструктивных пучков

Для гладких многообразий двойственность Александера является формальным следствием двойственности Вердье для пучков абелевых групп . Точнее, если мы позволим $X$ обозначим гладкое многообразие и положим $Y\subset X$ быть замкнутым подпространством (например, подпространством, представляющим цикл или подмногообразие), представленным включением $i\colon Y\hookrightarrow X$ , и если $k$ является полем, то если ${\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} _{k}(Y)$ представляет собой сноп $k$ -векторных пространствах имеем следующий изоморфизм ^[3]^: 307

H_{c}^{s}(Y,{\mathcal {F}})^{\vee }\cong \operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-s])

,

где группа когомологий слева — когомологии с компактным носителем . Мы можем расшифровать это утверждение дальше, чтобы лучше понять, что оно означает. Во-первых, если ${\mathcal {F}}={\underline {k}}$ – постоянный пучок и $Y$ является гладким подмногообразием, то получаем

\operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-r])\cong H_{Y}^{n-s}(X,\omega _{X})

,

где группа когомологий справа — это локальные когомологии с носителем в $Y$ . Путем дальнейших редукций можно выявить гомологию $X\setminus Y$ с когомологиями $Y$ . Это полезно в алгебраической геометрии для вычисления групп когомологий проективных многообразий и используется для построения базиса структуры Ходжа гиперповерхностей степени $d$ с помощью кольца Якобиана .

Результат Александра 1915 года

Ссылаясь на оригинальную работу Александра, предполагается, что X является симплициальным комплексом .

У Александра было мало современной аппаратуры, и его результат был только для чисел Бетти с коэффициентами, взятыми по модулю 2. Чего ожидать, следует из примеров. Например, конструкция тора Клиффорда в трехмерной сфере показывает, что дополнением к полноторию является другой полноторий; который будет открыт, если другой закрыт, но это не влияет на его гомологию. Каждый из полноторий является с гомотопической точки зрения окружностью . Если мы просто запишем числа Бетти

1, 1, 0, 0

круга (до $H_{3}$ , поскольку мы находимся в 3-сфере), то обратный порядок

0, 0, 1, 1

а затем сдвиньте один влево, чтобы получить

0, 1, 1, 0

тут возникает трудность, так как мы не получаем того, с чего начали. С другой стороны, та же процедура, что и для приведенных чисел Бетти, для которых исходное число Бетти уменьшается на 1, начинается с

0, 1, 0, 0

и дает

0, 0, 1, 0

откуда

0, 1, 0, 0.

Это действительно работает, предсказывая уменьшенные числа Бетти для дополнения.

Прототипом здесь является теорема Жордана о кривой , топологически касающаяся дополнения окружности в сфере Римана . Там тоже рассказывается та же история. У нас есть честные цифры Бетти

1, 1, 0

круга и, следовательно,

0, 1, 1

перевернув и

1, 1, 0

путем смещения влево. Это дает нечто отличное от того, что утверждает теорема Джордана, а именно, что есть два компонента, каждый из которых сжимаем ( теорема Шенфлиса , если быть точным в отношении того, что здесь используется). То есть правильный ответ в честных числах Бетти:

2, 0, 0.

Опять же, работают уменьшенные числа Бетти. С ними мы начнем с

0, 1, 0

закончить с

1, 0, 0.

Таким образом, из этих двух примеров можно вывести формулировку Александера: приведенные числа Бетти ${\tilde {b}}_{i}$ связаны в дополнениях

{\tilde {b}}_{i}\to {\tilde {b}}_{n-i-1}

.

Ссылки

^ Мэсси, Уильям С. (1 мая 1998 г.). «Связывающие числа высшего порядка» (PDF) . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 7 (3): 393–414. дои : 10.1142/S0218216598000206 . ISSN 0218-2165 . Архивировано из оригинала 2 февраля 2021 года.
^ Бьёрнер, Андерс; Тансер, Мартин (декабрь 2009 г.). «Примечание: комбинаторная двойственность Александра — краткое и элементарное доказательство». Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (4): 586–593. arXiv : 0710.1172 . дои : 10.1007/s00454-008-9102-x .
^ Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-82783-9 . ISBN 0-387-16389-1 . OCLC 13269489 .

Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 254. ИСБН 0-521-79540-0 .
«Александровская двойственность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Дальнейшее чтение

Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том 227. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . Глава 5 Александр Двойственность . ISBN 0-387-22356-8 .

[1] Мэсси, Уильям С. (1 мая 1998 г.). «Связывающие числа высшего порядка» (PDF) . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 7 (3): 393–414. дои : 10.1142/S0218216598000206 . ISSN 0218-2165 . Архивировано из оригинала 2 февраля 2021 года.

[2] Бьёрнер, Андерс; Тансер, Мартин (декабрь 2009 г.). «Примечание: комбинаторная двойственность Александра — краткое и элементарное доказательство». Дискретная и вычислительная геометрия . 42 (4): 586–593. arXiv : 0710.1172 . дои : 10.1007/s00454-008-9102-x .

[3] Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-82783-9 . ISBN 0-387-16389-1 . OCLC 13269489 .

[1]

[2]

[3]