Сжимаемое пространство

В математике топологическое пространство X является стягиваемым , если тождественное отображение на X является нуль-гомотопным, т. е. если оно гомотопно некоторому постоянному отображению. ^[1]^[2] Интуитивно понятно, что сжимаемое пространство — это пространство, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри этого пространства.

Характеристики

Стягиваемое пространство — это пространство, имеющее гомотопический тип точки. Отсюда следует, что все гомотопические группы стягиваемого пространства тривиальны . Поэтому любое пространство с нетривиальной гомотопической группой не может быть стягиваемым. Аналогично, поскольку сингулярные гомологии являются гомотопическими инвариантами, все приведенные группы гомологий стягиваемого пространства тривиальны.

Для непустого топологического пространства X все следующие условия эквивалентны:

X стягиваемо (т. е. тождественное отображение нуль-гомотопно).
X гомотопически эквивалентно одноточечному пространству.
X Деформация стягивается в точку. (Однако существуют сжимаемые пространства, которые не сильно деформируются, стягиваются в точку.)
Для любого линейно-связного пространства Y любые два отображения f , g : X → Y гомотопны.
Для любого пространства Y любое отображение f : Y → X является нуль-гомотопным.

Конус . в пространстве X всегда стягиваем Следовательно, любое пространство можно вложить в стягиваемое (что также показывает, что подпространства сжимаемых пространств не обязательно должны быть стягиваемыми).

Более того, X сжимаемо тогда и только тогда, когда существует ретракция из конуса X в X .

Каждое сжимаемое пространство линейно связно и односвязно . Более того, поскольку все высшие гомотопические группы исчезают, каждое стягиваемое пространство n -связно для всех n ≥ 0.

Локально сжимаемые пространства

Топологическое пространство X локально стягиваемо в точке x , если для каждой окрестности U точки x существует окрестность V точки x, содержащаяся в U, такая, что включение V нульгомотопно в U . Пространство локально стягиваемо , если оно локально стягиваемо в каждой точке. Это определение иногда называют «локально сжимаемым геометрическим топологом», хотя это наиболее распространенное использование этого термина. В стандартном тексте Хэтчера по алгебраической топологии это определение называется «слабо локально сжимаемым», хотя этот термин имеет и другие значения.

Если каждая точка имеет локальную базу стягиваемых окрестностей, то мы говорим, что X сильно локально стягиваемо . Стягиваемые пространства не обязательно являются локально стягиваемыми, и наоборот. Например, гребенчатое пространство сжимаемо, но не локально сжимаемо (если бы оно было так, оно было бы локально связным, чего на самом деле нет). Локально стягиваемые пространства локально n -связны для всех n ≥ 0. В частности, они локально односвязны , локально линейно связны и локально связны . Окружность (сильно) локально стягиваема, но не сжимаема.

Сильная локальная сжимаемость является строго более сильным свойством, чем локальная сжимаемость; контрпримеры сложны, первый из них был приведен Борсуком и Мазуркевичем в их статье Sur les retractes absolus indécomposables , CR. акад. наук. Париж 199 (1934), 110–112).

Существуют некоторые разногласия по поводу того, какое определение является «стандартным» определением локальной сжимаемости; первое определение чаще используется в геометрической топологии, особенно исторически, тогда как второе определение лучше соответствует типичному использованию термина «локальный» по отношению к топологическим свойствам. Всегда следует проявлять осторожность в отношении определений при интерпретации результатов об этих свойствах.

Примеры и контрпримеры

Любое евклидово пространство сжимаемо, как и любая звездная область в евклидовом пространстве.
Многообразие Уайтхеда стягиваемо.
Сферы любой конечной размерности не сжимаемы.
Единичная сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве сжимаема .
Дом с двумя комнатами — стандартный пример сжимаемого пространства, но это не интуитивно понятно.
Шляпа Дунса сжимается, но не складная .
Конус на гавайской серьге сжимаем (поскольку он является конусом), но не локально стягиваем и даже не локально односвязен.
Все многообразия и комплексы CW стягиваемы локально , но, вообще говоря, нестягиваемы.
Варшавский круг получается «замыканием» синусоидальной кривой тополога дугой, соединяющей (0,−1) и (1,sin(1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но он нестягиваем.

См. также

Поддельный 4-шар - Математическое топологическое многообразие

Ссылки

^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .

[1] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

[2] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .

[1]

[2]