Сниженная гомология

В математике алгебраической редуцированная гомология — это незначительная модификация теории гомологии в топологии , основанная на интуитивном понимании того, что все группы гомологии одной точки должны быть равны нулю. Эта модификация позволяет делать более краткие утверждения (как в двойственности Александера ) и устраняет многие исключительные случаи (как в группах гомологий сфер ).

Если P — одноточечное пространство, то при обычных определениях целая группа гомологий

Ч ₀ ( П )

изоморфен $\mathbb {Z}$ ( бесконечная циклическая группа ), а для i ≥ 1 имеем

ЧАС _я ( п ) знак равно {0}.

В более общем смысле, если X является симплициальным комплексом или конечным комплексом CW , то группа H ₀ ( X ) является свободной абелевой группой со связными компонентами X в качестве генераторов. Приведенные гомологии должны заменить эту группу, скажем, ранга r , на группу ранга r − 1. В противном случае группы гомологий должны остаться неизменными. Специальный способ сделать это - думать о 0-м классе гомологии не как о формальной сумме компонентов связности, а как о такой формальной сумме, в которой сумма коэффициентов равна нулю.

В обычном определении гомологии пространства X рассмотрим цепной комплекс

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0$

и определим группы гомологии с помощью $H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$.

Чтобы определить приведенную гомологию, мы начнем с расширенного цепного комплекса

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0$

где $\epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}$. Теперь мы определим приведенные группы гомологии формулой

${\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$ для положительного n и ${\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})$.

Можно показать, что $H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z}$; очевидно $H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)$ для всех положительных n .

Вооружившись этим модифицированным комплексом, можно применить стандартные способы получения гомологии с коэффициентами путем применения тензорного произведения или приведенных групп когомологий из коцепного комплекса , созданного с помощью функтора Hom .

Ссылки

• Хэтчер, А. , (2002) Алгебраическая топология Издательство Кембриджского университета, ISBN   0-521-79540-0 . Подробное обсуждение теорий гомологии симплициальных комплексов и многообразий, сингулярных гомологии и т. д.