Поток кривизны Гаусса

В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа представляет поток кривизны Гаусса собой геометрический поток для ориентированных гиперповерхностей римановых многообразий . В случае кривых в двумерном многообразии это идентично кривому, сокращающему поток . Поток средней кривизны представляет собой другой геометрический поток, который также имеет поток, укорачивающий кривую, как особый случай.

Определенность и корректность

Пусть S — гладкое n- мерное многообразие и ( M , g ) — гладкое риманово многообразие размерности n +1 . Учитывая погружение f S M в вторую вместе с единичным нормальным векторным полем вдоль f , фундаментальную форму можно f рассматривать как симметричное 2-тензорное поле на S . Через первую фундаментальную форму его также можно рассматривать как (1,1)-тензорное поле на S , где оно известно как оператор формы . Гауссова кривизна или кривизна Гаусса-Кронекера f , обозначаемая K , может затем быть определена как поточечный определитель оператора формы или, что то же самое (относительно локальных координат), как определитель второй фундаментальной формы, разделенный на определитель первой фундаментальной формы.

Уравнение, определяющее поток кривизны Гаусса, имеет вид

${\frac {\partial F}{\partial t}}=-K\nu .$

Таким образом, поток кривизны Гаусса состоит из гладкого многообразия S , гладкого риманова многообразия M размерности на единицу больше и однопараметрического семейства погружений S в M вместе с гладким единичным нормальным векторным полем вдоль каждого погружения, таким, что приведенное выше уравнение удовлетворяется.

Корректность потока кривизны Гаусса устанавливается, S замкнута если . Тогда, если n больше единицы и если данное погружение, вдоль которого выбрано гладкое единичное нормальное векторное поле, имеет положительно определенную вторую фундаментальную форму, то существует единственное решение потока гауссовой кривизны с «начальными данными» " ф . Если n равно единице, так что единица находится в настройке потока, сокращающего кривую, условие второй фундаментальной формы является ненужным.

Теоремы сходимости

Из-за приведенной выше теоремы существования и единственности поток кривизны Гаусса по существу изучался только в случаях потока, сокращающего кривую, и в более высоких измерениях для замкнутых выпуклых гиперповерхностей. Независимо от размерности, наиболее широко оно изучалось в случае, когда ( M , g ) — евклидово пространство ℝ ^{п + 1} .

В случае потока, сокращающего кривую, Майкл Гейдж и Ричард Гамильтон показали, что любое выпуклое вложение круга в плоскость деформируется до точки за конечное время, таким образом, что изменение масштаба кривых в потоке плавно приближается к круглому кругу. . Это было усилено результатом Мэтью Грейсона, показавшего, что любой вложенный круг на плоскости деформируется в выпуклое вложение, и в этот момент применяется результат Гейджа и Гамильтона. С тех пор были найдены доказательства, которые не рассматривают два случая выпуклости и невыпуклости отдельно. В более общем случае полного двумерного риманова многообразия, имеющего некоторую выпуклость вблизи бесконечности, Грейсон доказал сходимость к замкнутой геодезической или к круглой точке.

Кайсинг Цо применил методы Шиу-Юэнь Ченга и Шинг-Тунг Яу решения проблемы Минковского для изучения многомерной версии результата Гейджа и Гамильтона. В частности, он представил поток кривизны Гаусса как параболическое уравнение Монжа – Ампера для опорной функции гиперповерхностей. Ему удалось показать, что максимальное время существования является явным постоянным кратным объема, заключенного в исходной гиперповерхности, и что каждая гиперповерхность в потоке гладкая и строго выпуклая, с диаметром, стремящимся к нулю по мере приближения времени к максимуму.

В 1999 году Бену Эндрюсу удалось доказать известную гипотезу Файри , показав, что для выпуклых поверхностей в ℝ ³ , поверхности в результате Цо можно масштабировать так, чтобы они плавно сходились к круглой сфере. Ключом его доказательства было применение принципа максимума к величине H ² − 4 K , показывая, что наибольший размер поточечной разницы двух собственных значений оператора формы не может увеличиваться во времени. Предыдущие результаты Эндрюса для выпуклых гиперповерхностей евклидова пространства, а также неравенство Ли-Яу Харнака, найденное Беннеттом Чоу, затем примененное для получения равномерного геометрического контроля над поверхностями, составляющими поток. Для полной сходимости к сфере использовалась теорема Крылова–Сафонова.

Источники

• Эндрюс, Бен (1994). «Сжатие выпуклых гиперповерхностей в евклидовом пространстве». Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . 2 (2): 151–171. дои : 10.1007/BF01191340 . МР   1385524 . Збл   0805.35048 .
• Эндрюс, Бен (1999). «Поток кривизны Гаусса: судьба катящихся камней». Математические изобретения . 138 (1): 151–161. дои : 10.1007/s002220050344 . МР   1714339 . Збл   0936.35080 .
• Эндрюс, Бен ; Чоу, Беннетт; Гюнтер, Кристина ; Лэнгфорд, Мэт (2020). Внешние геометрические потоки . Аспирантура по математике . Том. 206. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/gsm/206 . ISBN  978-1-4704-5596-5 . МР   4249616 . Збл   1475.53002 .
• Гейдж, М .; Гамильтон, РС (1986). «Уравнение теплопроводности, сжимающее выпуклые плоские кривые» . Журнал дифференциальной геометрии . 23 (1): 69–96. дои : 10.4310/jdg/1214439902 . МР   0840401 . Збл   0621.53001 .
• Грейсон, Мэтью А. (1987). «Уравнение теплопроводности сжимает встроенные плоские кривые до круглых точек» . Журнал дифференциальной геометрии . 26 (2): 285–314. дои : 10.4310/jdg/1214441371 . МР   0906392 . Збл   0667.53001 .
• Грейсон, Мэтью А. (1989). «Укорачивание встроенных кривых». Анналы математики . Вторая серия. 129 (1): 71–111. дои : 10.2307/1971486 . МР   0979601 . Збл   0686.53036 .
• Хейскен, Герхард ; Полден, Александр (1999). «Геометрические уравнения эволюции гиперповерхностей». В Хильдебрандте, С.; Струве, М. (ред.). Вариационное исчисление и задачи геометрической эволюции . Вторая сессия Centro Internazionale Matematico Estivo (Четраро, Италия, 15–22 июня 1996 г.). Конспект лекций по математике . Том. 1713. Берлин: Шпрингер . стр. 45–84. дои : 10.1007/BFb0092667 . МР   1731639 . Збл   0942.35047 .
• Цо, Кайсинг (1985). «Деформация гиперповерхности за счет ее кривизны Гаусса – Кронекера». Сообщения по чистой и прикладной математике . 38 (6): 867–882. дои : 10.1002/cpa.3160380615 . МР   0812353 . Збл   0612.53005 .