Внешние геометрические потоки

Первое издание

Внешние геометрические потоки — это продвинутый учебник математики, в котором рассматриваются геометрические потоки , математические задачи, в которых кривая или поверхность непрерывно движутся по некоторому правилу. Он фокусируется на внешних потоках, в которых правило зависит от встраивания поверхности в пространство, а не на внутренних потоках, таких как поток Риччи , которые зависят от внутренней геометрии поверхности и могут быть определены безотносительно вложения.

«Внешние геометрические потоки» были написаны Беном Эндрюсом , Беннеттом Чоу, Кристиной Гюнтер и Мэтом Лэнгфордом и опубликованы в 2020 году как 206-й том книги « Аспирантура по математике» , серии книг Американского математического общества .

Темы

Книга состоит из четырех глав, условно разделенных на четыре раздела:

• Главы с 1 по 4 посвящены уравнению теплопроводности и определяемому на его основе потоку, сокращающему кривую , в котором кривая движется в евклидовой плоскости перпендикулярно самой себе со скоростью, пропорциональной ее кривизне. Он включает в себя материал о кривых, которые остаются самоподобными при движении, таких как круги и кривая мрачного жнеца. $y=-\log \cos x$, теорема Гейджа-Гамильтона-Грейсона, согласно которой каждая простая замкнутая кривая сходится к окружности, пока в конечном итоге не схлопнется в точку, никогда не пересекаясь с собой, и классификация древних решений потока.
• Главы с 5 по 14 посвящены потоку средней кривизны , более многомерному обобщению потока, сокращающего кривую, который использует среднюю кривизну поверхности для управления скоростью ее перпендикулярного движения. После вводной главы по геометрии гиперповерхностей , Он включает в себя результаты Эккера и Хейскена, касающиеся «локально липшицевых целых графов», и теорему Хейскена о том, что равномерно выпуклые поверхности остаются гладкими и выпуклыми, сходящимися к сфере, прежде чем они схлопнутся в точку. Приведена формула монотонности Хейскена , а также теоремы регулярности Бракке и Уайта, согласно которым поток почти всюду гладкий. Несколько глав этого раздела посвящены сингулярностям, которые могут возникнуть в этом потоке, а также поверхностям, которые остаются самоподобными при течении.
• Главы с 15 по 17 посвящены потоку кривизны Гаусса , другому способу обобщения потока, сокращающего кривую, на более высокие измерения с использованием гауссовой кривизны вместо средней кривизны. Хотя гауссова кривизна является внутренней, в отличие от средней кривизны, поток кривизны Гаусса является внешним, поскольку он включает в себя движение встроенной поверхности. Здесь вариации потока предполагают использование степени кривизны, а не самой кривизны, для определения скорости потока, и это поднимает вопросы, касающиеся существования потока на конечных интервалах времени, существования автомодельных решений и ограничивающие формы. Показатель кривизны здесь имеет решающее значение: выпуклые поверхности сходятся к эллипсоиду при показателе степени ${\tfrac {1}{d+2}}$ (генерируя поток, сокращающий аффинную кривую), и к круглой сфере для больших показателей.
• Главы 18–20 предоставляют более широкую панораму нелинейных геометрических потоков.

Содержание каждой главы включает как доказательства результатов, обсуждаемых в главе, так и ссылки на математическую литературу; дополнительные ссылки приведены в разделе комментариев в конце каждой главы, что также дает дополнительную информацию и описания открытых проблем, а также краткие описания дополнительных результатов в той же области. Помимо иллюстрации обсуждаемой математики множеством цифр, он очеловечивает содержание, предоставляя фотографии многих математиков, на которых он ссылается. Главы содержат упражнения, что делает эту книгу подходящей в качестве учебника для выпускников.

Аудитория и прием

Хотя внутренние потоки в последнее время стали предметом большого внимания в математике после того, как их использовал Григорий Перельман для решения как гипотезы Пуанкаре , так и гипотезы геометризации , внешние потоки также имеют долгую историю важных приложений в математике, тесно связанных с решениями частичных уравнений. дифференциальные уравнения . Их использование включает моделирование роста биологических клеток, зерен металлических кристаллов, пузырьков в пене, и даже «деформация катящихся камней на пляже».

Доказательства книги часто представляют собой упрощения доказательств в научной литературе, но, тем не менее, они по-прежнему довольно технические и предназначены для аспирантов и исследователей геометрического анализа . Ожидается, что читатели знакомы с основами дифференциальной геометрии и уравнениями в частных производных. В книге больше материала, чем можно было бы охватить в одном курсе, но она может стать основой для серии из нескольких курсов или тематического курса, в котором будет выбрана только часть материала. не только является учебником, но и Книга «Внешние геометрические потоки» может служить справочным материалом по потокам для специалистов в этой области.

Связанные работы

Это не первая книга о геометрических потоках. Другие включают:

• Чжоу, Кай-Сен; Чжу, Си-Пин (2001), Проблема сокращения кривой , Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9781420035704 , ISBN  1-58488-213-1 , МР   1888641
• Чжу, Си-Пин (2002), Лекции по потокам средней кривизны , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 32, International Press, doi : 10.1090/amsip/032 , ISBN.  0-8218-3311-1 , г-н   1931534
• Экер, Клаус (2004), Теория регулярности для потока средней кривизны , Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, том. 57, Биркхойзер, номер номера : 10.1007/978-0-8176-8210-1 , ISBN.  0-8176-3243-3 , МР   2024995
• Гига, Ёсикадзу (2006), Уравнения эволюции поверхности: подход, основанный на наборе уровней , Монографии по математике, том. 99, Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-2430-8 , МР   2238463

Хотя книга «Внешние геометрические потоки» является более полной и современной, чем эти работы, в ней опускаются некоторые из их тем, в том числе анизотропные потоки кривых в Чжоу и Чжу (2001) , приложения к теории относительности в Чжу (2002) и Гиги методы набора уровней ( 2006) .