Уравнение Аллена – Кана

Численное решение одномерного уравнения Аллена-Кана

Уравнение Аллена-Кана (в честь Джона В. Кана и Сэма Аллена) представляет собой уравнение реакции-диффузии математической физики , которое описывает процесс фазового разделения в многокомпонентных системах сплавов, включая переходы порядок-беспорядок.

Уравнение описывает временную эволюцию скалярной переменной состояния. $\eta$ в домене $\Omega$ в течение интервала времени ${\mathcal {T}}$и определяется следующим образом:

${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\quad {\text{on }}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\quad {\text{on }}\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},$

$\quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\quad {\text{on }}\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\quad {\text{on }}\Omega \times \{0\},$

где $M_{\eta }$ это мобильность, $f$ представляет собой двухямный потенциал, ${\bar {\eta }}$ — управление переменной состояния на участке границы $\partial _{\eta }\Omega$, $q$ это система контроля версий в $\partial _{q}\Omega$, $\eta _{o}$ является начальным состоянием, а $m$ является внешней нормой для $\partial \Omega$.

это Л ² градиентный поток функционала свободной энергии Гинзбурга–Ландау . Оно тесно связано с уравнением Кана – Хиллиарда .

Математическое описание

Позволять

• $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым набором ,
• $v_{0}(x)\in L^{2}(\Omega )$ произвольная начальная функция,
• $\varepsilon >0$ и $T>0$ две константы.

Функция $v(x,t):\Omega \times [0,T]\to \mathbb {R}$ является решением уравнения Аллена – Кана, если оно решает

$\partial _{t}v-\Delta _{x}v=-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}f(v),\quad \Omega \times [0,T]$

где

• $\Delta _{x}$ является лапласианом относительно пространства $x$,
• $f(v)=F'(v)$ является производной неотрицательного $F\in C^{1}(\mathbb {R} )$ с двумя минимумами $F(\pm 1)=0$.

Обычно имеют место следующие начальные условия с граничным условием Неймана

${\begin{cases}v(x,0)=v_{0}(x),&\Omega \times \{0\}\\\partial _{n}v=0,&\partial \Omega \times [0,T]\\\end{cases}}$

где $\partial _{n}v$ — внешняя нормальная производная .

Для $F(v)$ один популярный кандидат

$F(v)={\frac {(v^{2}-1)^{2}}{4}},\qquad f(v)=v^{3}-v.$

Дальнейшее чтение

• http://www.ctcms.nist.gov/~wcraig/variational/node10.html
• Аллен, С.М.; Кан, JW (1975). «Когерентное и некогерентное равновесие в железо-алюминиевых сплавах с высоким содержанием железа». Акта Металл . 23 (9): 1017. doi : 10.1016/0001-6160(75)90106-6 .
• Аллен, С.М.; Кан, JW (1976). «О трикритических точках, возникающих в результате пересечения линий переходов высших порядков со спинодалями». Скрипта Металлургика . 10 (5): 451–454. дои : 10.1016/0036-9748(76)90171-x .
• Аллен, С.М.; Кан, JW (1976). «Механизмы фазового превращения в зоне смешивания железосодержащих сплавов Fe-Al». Акта Металл . 24 (5): 425–437. дои : 10.1016/0001-6160(76)90063-8 .
• Кан, JW; Аллен, С.М. (1977). «Микроскопическая теория движения доменных стенок и ее экспериментальная проверка в кинетике роста доменов сплава Fe-Al». Журнал де Физический . 38 : С7–51.
• Аллен, С.М.; Кан, JW (1979). «Микроскопическая теория противофазного граничного движения и ее применение к укрупнению противофазных доменов». Акта Металл . 27 (6): 1085–1095. дои : 10.1016/0001-6160(79)90196-2 .
• Бронсар, Л .; Райтих, Ф. (1993). «О трехфазном граничном движении и сингулярном пределе векторного уравнения Гинзбурга – Ландау». Арх. Крыса. Мех. Анал . 124 (4): 355–379. Бибкод : 1993ArRMA.124..355B . дои : 10.1007/bf00375607 . S2CID   123291032 .

Внешние ссылки

• Моделирование Нильсом Берглундом решения уравнения Аллена – Кана