Геодезическая выпуклость

В математике — в частности, в римановой геометрии — геодезическая выпуклость является естественным обобщением выпуклости множеств и функций на римановы многообразия . Приставку «геодезический» обычно оставляют и ссылаются просто на «выпуклость» множества или функции.

Определения

Пусть ( M , g ) — риманово многообразие.

Подмножество C из M называется геодезически выпуклым множеством , если для любых двух точек из C существует единственная минимизирующая геодезическая, содержащаяся внутри C , которая соединяет эти две точки.
Пусть C — геодезически выпуклое подмножество M . Функция $f:C\to \mathbf {R}$ называется ( строго ) геодезически выпуклой функцией , если композиция

f\circ \gamma :[0,T]\to \mathbf {R}

является (строго) выпуклой функцией в обычном смысле для каждой геодезической дуги γ с единичной скоростью : [0, T ] → M, содержащейся внутри C .

Геодезически выпуклое (подмножество а) риманово многообразие также является выпуклым метрическим пространством относительно геодезического расстояния.

Подмножество n -мерного евклидова пространства E ^н со своей обычной плоской метрикой геодезически выпукла тогда и только тогда, когда она выпукла в обычном смысле, и аналогично для функций.
«Северное полушарие» двумерной сферы S ² со своей обычной метрикой является геодезически выпуклой. Однако подмножество A из S ² состоящая из точек с широтой севернее 45° южной широты , не является геодезически выпуклой, поскольку минимизирующая геодезическая ( большая окружность ) дуга, соединяющая две отдельные точки на южной границе А, оставляет А (например, в случае двух точек, находящихся на расстоянии 180° друг от друга в долготы , геодезическая дуга проходит над южным полюсом).

Рапчак, Тамаш (1997). Гладкая нелинейная оптимизация в R ^н. Невыпуклая оптимизация и ее приложения. Том. 19. Дордрехт: Академическое издательство Kluwer. ISBN 0-7923-4680-7 . МР 1480415 .

Удристе, Константин (1994). Выпуклые функции и методы оптимизации на римановых многообразиях . Математика и ее приложения. Том. 297. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3002-1 .